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专题39圆有的位置关系在二次函数中的综合问题
1、如图,已知抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D,并且,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B、M、C,求面积的最大值;
(3)在
(2)中面积最大的条件下,过点M作直线平行于y轴,在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆?若存在,求出圆心Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】
(1);
(2)4;
(3)存在,Q的坐标为或【解析】解将、的坐标代入抛物线表达式得,解得,则抛物线的解析式为;过点M作y轴的平行线,交直线BC于点K,将点B、C的坐标代入一次函数表达式得,解得,则直线BC的表达式为,设点M的坐标为,则点,,,有最大值,当时,最大值为4,点M的坐标为;如图所示,存在一个以Q点为圆心,OQ为半径且与直线AC相切的圆,切点为N,过点M作直线平行于y轴,交直线AC于点H,点M坐标为,设点Q坐标为,点A、C的坐标为、,,轴,,,则,将点A、C的坐标代入一次函数表达式得,则直线AC的表达式为,则点,在中,,,,解得或,即点Q的坐标为或.
2、如图1,对于平面内的点P和两条曲线、给出如下定义若从点P任意引出一条射线分别与、交于、,总有是定值,我们称曲线与“曲似”,定值为“曲似比”,点P为“曲心”.例如如图2,以点为圆心,半径分别为、都是常数的两个同心圆、,从点任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N,因为总有是定值,所以同心圆与曲似,曲似比为,“曲心”为.在平面直角坐标系xOy中,直线与抛物线、分别交于点A、B,如图3所示,试判断两抛物线是否曲似,并说明理由;在的条件下,以O为圆心,OA为半径作圆,过点B作x轴的垂线,垂足为C,是否存在k值,使与直线BC相切?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;在、的条件下,若将“”改为“”,其他条件不变,当存在与直线BC相切时,直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式.【答案】
(1)两抛物线曲似,理由详见解析;
(2)存在k值,使与直线BC相切,;
(3),.【解析】是,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、C,依题意可得、,因此、,轴、轴,,,两抛物线曲似,曲似比为;假设存在k值,使与直线BC相切,则,又、,并且,,解得负值舍去,由对称性可取,综上,;根据题意得、,因此、,与直线BC相切,,由可得,则,由、,并且,,整理,得.
3、已知二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴.一次函数的图象与二次函数的图象交于两点(在的左侧),且点坐标为.平行于轴的直线过点.
(1)求一次函数与二次函数的解析式;
(2)判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系,并给出证明;
(3)把二次函数的图象向右平移2个单位,再向下平移t个单位(t>0),二次函数的图象与x轴交于M,N两点,一次函数图象交y轴于F点.当t为何值时,过F,M,N三点的圆的面积最小?最小面积是多少?【答案】
(1)一次函数的解析式为;二次函数解析式为.
(2)相切,证明见解析
(3)当时,过三点的圆面积最小,最小面积为.【解析】把代入得一次函数的解析式为二次函数图象的顶点在原点对称轴为轴,二次函数的解析式为将代入解析式得二次函数的解析式为由解得或,,取的中点,过作直线的垂线垂足为则,而直径,即圓心到直线的距离等于半径,以为直径的圆与直线相切.平移后二次函数的解析式为令得过三点的國的圆心一定在平移后抛物线的对称轴.上要使圓面积最小圆半径应等于点到直线2的距离点坐标为.此时半径为面积为设圆心为的中点为连接则,在三角形中,,而当时,过三点的圓面积最小最小面积为.
4、如图1,二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为D.
(1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示);
(2)若以AD为直径的圆经过点C.
①求抛物线的函数关系式;
②如图2,点E是y轴负半轴上一点,连接BE,将△OBE绕平面内某一点旋转180°,得到△PMN(点P、M、N分别和点O、B、E对应),并且点M、N都在抛物线上,作MF⊥x轴于点F,若线段MF BF=12,求点M、N的坐标;
③点Q在抛物线的对称轴上,以Q为圆心的圆过A、B两点,并且和直线CD相切,如图3,求点Q的坐标.【答案】
(1)(1,﹣4a);
(2)
①y=﹣x2+2x+3;
②M(,)、N(,);
③点Q的坐标为(1,﹣4+2)或(1,﹣4﹣2).【思路引导】
(1)将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标.
(2)
①以AD为直径的圆经过点C,即点C在以AD为直径的圆的圆周上,依据圆周角定理不难得出△ACD是个直角三角形,且∠ACD=90°,A点坐标可得,而C、D的坐标可由a表达出来,在得出AC、CD、AD的长度表达式后,依据勾股定理列等式即可求出a的值.
②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN,说明了PM正好和x轴平行,且PM=OB=1,所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标;首先根据
①的函数解析式设出M点的坐标,然后根据题干条件BF=2MF作为等量关系进行解答即可.
③设⊙Q与直线CD的切点为G,连接QG,由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ=45°,那么△QGD为等腰直角三角形,即QD²=2QG²=2QB²,设出点Q的坐标,然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长,根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标.【解析】
(1)∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,∴D(1,﹣4a).
(2)
①∵以AD为直径的圆经过点C,∴△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°;由y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣3)(x+1)知,A(3,0)、B(﹣1,0)、C(0,﹣3a),则AC2=9a2+
9、CD2=a2+
1、AD2=16a2+4由勾股定理得AC2+CD2=AD2,即9a2+9+a2+1=16a2+4,化简,得a2=1,由a<0,得a=﹣1,
②∵a=﹣1,∴抛物线的解析式y=﹣x2+2x+3,D(1,4).∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN,∴PM∥x轴,且PM=OB=1;设M(x,﹣x2+2x+3),则OF=x,MF=﹣x2+2x+3,BF=OF+OB=x+1;∵BF=2MF,∴x+1=2(﹣x2+2x+3),化简,得2x2﹣3x﹣5=0解得x1=﹣1(舍去)、x2=.∴M(,)、N(,).
③设⊙Q与直线CD的切点为G,连接QG,过C作CH⊥QD于H,如下图∵C(0,3)、D(1,4),∴CH=DH=1,即△CHD是等腰直角三角形,∴△QGD也是等腰直角三角形,即QD2=2QG2;设Q(1,b),则QD=4﹣b,QG2=QB2=b2+4;得(4﹣b)2=2(b2+4),化简,得b2+8b﹣8=0,解得b=﹣4±2;即点Q的坐标为(1,)或(1,).【方法总结】此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点;后两个小题较难,最后一题中,通过构建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半径间的数量关系是解题题目的关键.
5、抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B点A在点B的左侧,与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l y=tt<上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象.1点A,B,D的坐标分别为 , , ;2如图
①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在△ABC内含边界时,求t的取值范围;3如图
②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】
(1)A(,0);B(3,0);D(,);
(2)≤t≤;
(3)存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).【解析】解
(1)当y=0时,﹣x2+x﹣1=0,解得x1=x2=3∴点A的坐标为(,0),点B的坐标为
(30),∵y=﹣x2+x﹣1=﹣(x-)2+∴点D的坐标为(,);
(2)∵点E、点D关于直线y=t对称,∴点E的坐标为(,2t﹣).当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1,∴点C的坐标为(0,﹣1).设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,将B(3,0)、C(0,﹣1)代入y=kx+b,,解得,∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1.∵点E在△ABC内(含边界),∴,解得≤t≤.
(3)当x<或x>3时,y=﹣x2+x﹣1;当≤x≤3时,y=﹣x2+x﹣1.假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m.
①当m<或m>3时,点Q的坐标为(m,﹣x2+x﹣1)(如图1),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(﹣m2+m)2=m2+1+m2+(﹣m2+m﹣1)2,整理,得m1=,m2=,∴点P的坐标为(,0)或(,0);
②当≤m≤3时,点Q的坐标为(mx2-x+1)(如图2),∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,∴CP⊥PQ,∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2﹣m+2)2=m2+1+m2+(m2﹣m+1)2,整理,得11m2﹣28m+12=0,解得m3=,m4=2,∴点P的坐标为(,0)或(1,0).综上所述存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).
6、如图1,抛物线y=ax2+bx+c的顶点(0,5),且过点(﹣3,),先求抛物线的解析式,再解决下列问题(应用)问题1,如图2,线段AB=d(定值),将其弯折成互相垂直的两段AC、CB后,设A、B两点的距离为x,由A、B、C三点组成图形面积为S,且S与x的函数关系如图所示(抛物线y=ax2+bx+c上MN之间的部分,M在x轴上)
(1)填空线段AB的长度d= ;弯折后A、B两点的距离x的取值范围是 ;若S=3,则是否存在点C,将AB分成两段(填“能”或“不能”) ;若面积S=
1.5时,点C将线段AB分成两段的长分别是 ;
(2)填空在如图1中,以原点O为圆心,A、B两点的距离x为半径的⊙O;画出点C分AB所得两段AC与CB的函数图象(线段);设圆心O到该函数图象的距离为h,则h= ,该函数图象与⊙O的位置关系是 .(提升)问题2,一个直角三角形斜边长为c(定值),设其面积为S,周长为x,证明S是x的二次函数,求该函数关系式,并求x的取值范围和相应S的取值范围.【答案】抛物线的解析式为y=﹣x2+5;
(1)20<x<2,不能,+和﹣;
(2),相离或相切或相交;
(3)相应S的取值范围为S>c2.【解析】解∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点(0,5),∴y=ax2+5,将点(﹣3,)代入,得=a×(﹣3)2+5,∴a=,∴抛物线的解析式为y=;
(1)∵S与x的函数关系如图所示(抛物线y=ax2+bx+c上MN之间的部分,M在x轴上),在y=,当y=0时,x1=2,x2=﹣2,∴M(2,0),即当x=2时,S=0,∴d的值为2;∴弯折后A、B两点的距离x的取值范围是0<x<2;当S=3时,设AC=a,则BC=2﹣a,∴a(2﹣a)=3,整理,得a2﹣2a+6=0,∵△=b2﹣4ac=﹣4<0,∴方程无实数根;当S=
1.5时,设AC=a,则BC=2﹣a,∴a(2﹣a)=
1.5,整理,得a2﹣2a+3=0,解得,∴当a=时,2﹣a=,当a=时,2﹣a=,∴若面积S=
1.5时,点C将线段AB分成两段的长分别是和;故答案为2,0<x<2,不能,和;
(2)设AC=y,CB=x,则y=﹣x+2,如图1所示的线段PM,则P(0,2),M(2,0),∴△OPM为等腰直角三角形,∴PM=OP=2,过点O作OH⊥PM于点H,则OH=PM=,∴当0<x<时,AC与CB的函数图象(线段PM)与⊙O相离;当x=时,AC与CB的函数图象(线段PM)与⊙O相切;当<x<2时,AC与CB的函数图象(线段PM)与⊙O相交;故答案为,相离或相切或相交;
(3)设直角三角形的两直角边长分别为a,b,则,∵(a+b)2=a2+b2+2ab,∴(x﹣c)2=c2+2ab,∴,即S=,∴x的取值范围为x>c,则相应S的取值范围为S>.
7、如图,在平面角坐标系中,抛物线C1y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),抛物线C2y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.
(1)求抛物线C1的表达式;
(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;
(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;
(4)在
(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y轴于点k,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.【答案】
(1)抛物线C1解析式为y=x2+x﹣1;
(2)MN=t2+2;
(3)t的值为1或0;
(4)满足条件的Q点坐标为(0,2)、(﹣1,3)、(,)、(,)【解析】
(1)∵抛物线C1y=ax2+bx﹣1经过点A(﹣2,1)和点B(﹣1,﹣1),∴,解得,∴抛物线C1解析式为y=x2+x﹣1;
(2)∵动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M,∴点N的纵坐标为t2+t﹣1,点M的纵坐标为2t2+t+1,∴MN=(2t2+t+1)﹣(t2+t﹣1)=t2+2;
(3)共分两种情况
①当∠ANM=90°,AN=MN时,由已知N(t,t2+t﹣1),A(﹣2,1),∴AN=t﹣(﹣2)=t+2,∵MN=t2+2,∴t2+2=t+2,∴t1=0(舍去),t2=1,∴t=1;
②当∠AMN=90°,AN=MN时,由已知M(t,2t2+t+1),A(﹣2,1),∴AM=t﹣(﹣2)=t+2,∵MN=t2+2,∴t2+2=t+2,∴t1=0,t2=1(舍去),∴t=0,故t的值为1或0;
(4)由
(3)可知t=1时M位于y轴右侧,根据题意画出示意图如图易得K(0,3),B、O、N三点共线,∵A(﹣2,1),N(1,1),P(0,﹣1),∴点K、P关于直线AN对称,设⊙K与y轴下方交点为Q2,则其坐标为(0,2),∴Q2与点O关于直线AN对称,∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP,则NQ2延长线与⊙K交点Q1,Q
1、Q2关于KN的对称点Q
3、Q4也满足∠KNQ=∠BNP,由图形易得Q1(﹣1,3),设点Q3坐标为(a,b),由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2,由∵⊙K半径为1,∴,解得,,同理,设点Q4坐标为(a,b),由对称性可知Q4N=NQ2=NO=,∴,解得,,∴满足条件的Q点坐标为(0,2)、(﹣1,3)、(,)、(,).
8、如图,直线与抛物线交于、两点(在的左侧),与轴交于点,抛物线的顶点为,抛物线的对称轴与直线交于点.
(1)当四边形是菱形时,求点的坐标;
(2)若点为直线上一动点,求的面积;
(3)作点关于直线的对称点,以点为圆心,为半径作,点是上一动点,求的最小值.【答案】
(1);
(2)3;
(3)【解析】1,,菱形2
①与抛物线交于两点,∴联立,,解得,∵点在点的左侧,∴直线的解析式为,直线的解析式为,两直线之间距离3,,由点坐标,点坐标可知以为半径的圆的半径为取的中点,连接,则,,,,,由三角形三边关系,当三点共线时最小,∵直线的解析式为,∴直线与对称轴夹角为45°,∵点关于对称轴对称,,由勾股定理得,最小值故答案为.
9、如图,已知以E3,0为圆心,5为半径的☉E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线y=ax2+bx+ca≠0经过A,B,C三点,顶点为F.1求A,B,C三点的坐标;2求抛物线的解析式及顶点F的坐标;3已知M为抛物线上的一动点不与C点重合,试探究
①若以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;
②若探究
①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与☉E的位置关系,并说明理由.【答案】
(1)A-2,0,B8,0,C0,-4;
(2)抛物线的解析式为y=x2-x-4,F;3
①所点M的坐标为6,-4,+3,4,-+3,4;
②若M点位于第四象限,则M点即为M1点,此时直线MF和☉E相切,理由见解析.【解析】1由题图可得点A的横坐标为3-5=-2,点B的横坐标为3+5=8,连接CE,则CE=5,又OE=3,∴OC==4,∴A-2,0,B8,0,C0,-
4.2把-2,0,8,0,0,-4代入y=ax2+bx+c,得.解得∴抛物线的解析式为y=x2-x-
4.∵EF∥y轴,∴点F的横坐标为
3.把x=3代入y=x2-x-4,得y=-,∴F.3
①如图所示,连接AC,BM1,BC,易知=S△ABC,△ABM1与△ABC同底等高,点C与点M1关于直线x=3对称,M16,-
4.把y=4代入y=x2-x-4,得x2-x-4=4,解得x1=+3,x2=-+3,∴M2+3,4,M3-+3,
4.∴所有符合条件的点M的坐标为6,-4,+3,4,-+3,
4.
②若M点位于第四象限,则M点即为M1点,此时直线MF和☉E相切.理由如下M16,-4,圆心E3,0,点F,连接M1E.利用勾股定理得M1E=5,M1F=,又EF=,∴M1E2+M1F2=EF2,即∠FM1E=90°,∴M1E⊥M1F.∵M1E是☉E的半径,∴直线M1F和☉E相切,即当M点位于第四象限时,直线MF与☉E相切.
10、若抛物线L y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的同一点,且抛物线L的顶点在直线l上,则称次抛物线L与直线l具有“一带一路”关系,并且将直线l叫做抛物线L的“路线”,抛物线L叫做直线l的“带线”.
(1)若“路线”l的表达式为y=2x﹣4,它的“带线”L的顶点的横坐标为﹣1,求“带线”L的表达式;
(2)如果抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与直线y=nx+1具有“一带一路”关系,求m,n的值;
(3)设
(2)中的“带线”L与它的“路线”l在y轴上的交点为A.已知点P为“带线”L上的点,当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时,求出点P的坐标.【答案】
(1)“带线”L的表达式为y=2x2+4x﹣4;
(2)m=2,n=﹣2;
(3)点P的坐标为(,).【解析】(
(1)∵“带线”L的顶点横坐标是﹣1,且它的“路线”l的表达式为y=2x﹣4∴y=2×(﹣1)﹣4=﹣6,∴“带线”L的顶点坐标为(﹣1,﹣6).设L的表达式为y=a(x+1)2﹣6,∵“路线”y=2x﹣4与y轴的交点坐标为(0,﹣4)∴“带线”L也经过点(0,﹣4),将(0,﹣4)代入L的表达式,解得a=2∴“带线”L的表达式为y=2(x+1)2﹣6=2x2+4x﹣4;
(2)∵直线y=nx+1与y轴的交点坐标为(0,1),∴抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1与y轴的交点坐标也为(0,1),解得m=2,∴抛物线表达式为y=2x2﹣4x+1,其顶点坐标为(1,﹣1)∴直线y=nx+1经过点(1,﹣1),解得n=﹣2;
(3)如图,设“带线L”的顶点为B,则点B坐标为(1,﹣1),过点B作BC⊥y轴于点C,∴∠BCA=90°,又∵点A坐标为(0,1),∴AO=1,BC=1,AC=2.∵“路线”l是经过点A、B的直线且⊙P与“路线”l相切于点A,连接PA交x轴于点D,∴PA⊥AB,∴∠DAB=∠AOD=90°,∴∠ADO+∠DAO=90°,又∵∠DAO+∠BAC=90°,∴∠ADO=∠BAC,∴Rt△AOD≌Rt△BCA,∴OD=AC=2,∴D点坐标为(﹣2,0)∴经过点D、A的直线表达式为y=x+1,∵点P为直线y=x+1与抛物线L y=2x2﹣4x+1的交点,解方程组得(即点A舍去),,∴点P的坐标为.
11、如图
①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y的正半轴交于点C,连结BC,二次函数的对称轴与x轴的交点为E.
(1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____,点A的坐标为_____;
(2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切,试求出抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,如图
②Q(m,0)是x的正半轴上一点,过点Q作y轴的平行线,与直线BC交于点M,与抛物线交于点N,连结CN,将△CMN沿CN翻折,M的对应点为M′.在图
②中探究是否存在点Q,使得M′恰好落在y轴上?若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】
(1)
1.5,0-1,0
(2);
(3)存在,.【解析】解
(1)∵对称轴x=,∴点E坐标(,0),令y=0,则有ax2﹣3ax﹣4a=0,∴x=﹣1或4,∴点A坐标(﹣1,0).故答案分别为(,0),(﹣1,0).
(2)如图
①中,设⊙E与直线BC相切于点D,连接DE,则DE⊥BC,∵DE=OE=,EB=,OC=﹣4a,∴DB=,∵tan∠OBC=,∴,解得a=,∴抛物线解析式为y=.
(3)如图
②中,由题意∠M′CN=∠NCB,∵MN∥OM′,∴∠M′CN=∠CNM,∴MN=CM,∵点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,3),∴直线BC解析式为y=﹣x+3,BC=5,∴M(m,﹣m+3),N(m,﹣m2+m+3),作MF⊥OC于F,∵sin∠BCO=,∴,∴CM=m,
①当N在直线BC上方时,﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)=m,解得m=或0(舍弃),∴Q1(,0).
②当N在直线BC下方时,(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m,解得m=或0(舍弃),∴Q2(,0),综上所述点Q坐标为(,0)或(,0).。