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高一数学必修一知识点总结五篇分享数学这个科目一直是同学们又爱又恨的科目,学的好的同学靠它来与其它同学拉开分数,学的差的同学那么在化学上失分很多;在平时的学习和考试中同学们要善于总结知识点,这样有助于帮助同学们学好数学下面就是给大家带来的高一数学必修一知识点总结,希望能帮助到大家!
一、集合
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性1元素确实定性如世界上的山2元素的互异性如由HAPPY的字母组成的集合{HAPY}3元素的无序性:如{abc}和{acb}是表示同一个集合
3.集合的表示{…}如{我校的篮球队员},{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1用拉丁字母表示集合A={我校的篮球队员}B={12345}2集合的表示方法列举法与描述法注意常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作N正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R1列举法{abc……}2描述法将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法{xR|x-32}{x|x-32}3语言描述法例{不是直角三角形的三角形}4Venn图:
4、集合的分类1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例{x|x2=-5}
二、集合间的根本关系
1.“包含”关系—子集注意有两种可能1A是B的一局部,;2A与B是同一集合反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA
2.“相等”关系A=B5≥5,且5≤5,那么5=5实例设A={x|x2-1=0}B={-11}“元素相同那么两集合相等”即
①任何一个集合是它本身的子集AA
②真子集:如果AB且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA
③如果ABBC那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解指数函数y=a^xa^a^b=a^a+ba0a、b属于Qa^a^b=a^aba0a、b属于Qab^a=a^a^aa0a、b属于Q指数函数对称规律
1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称
2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称对数函数y=loga^x如果,且,,,那么○1+;○2-;○
3.注意换底公式,且;,且;.幂函数y=x^aa属于R
1、幂函数定义一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.1所有的幂函数在0,+∞都有定义并且图象都过点1,1;2时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;3时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点
2、函数零点的意义函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法○1代数法求方程的实数根;○2几何法对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点二次函数.1△0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.2△=0,方程有两相等实根,二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.3△0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.
三、平面向量向量既有大小,又有方向的量.数量只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素起点、方向、长度.零向量长度为的向量.单位向量长度等于个单位的向量.相等向量长度相等且方向相同的向量向量的运算加法运算AB+BC=AC,这种计算法那么叫做向量加法的三角形法那么两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,那么以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法那么叫做向量加法的平行四边形法那么对于零向量和任意向量a,有0+a=a+0=a|a+b|≤|a|+|b|向量的加法满足所有的加法运算定律减法运算与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,--a=a,零向量的相反向量仍然是零向量1a+-a=-a+a=02a-b=a+-b数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ0时,λa的方向和a的方向相同,当λ0时,λa的方向和a的方向相反,当λ=0时,λa=0设λ、μ是实数,那么1λμa=λμa2λμa=λaμa3λa±b=λa±λb4-λa=-λa=λ-a向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算向量的数量积两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积,记作ab,θ是a与b的夹角,|a|cosθ|b|cosθ叫做向量a在b方向上b在a方向上的投影零向量与任意向量的数量积为0ab的几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法一集合的含义与表示
1、集合的含义集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集
2、集合的中元素的三个特性1元素确实定性集合确定,那么一元素是否属于这个集合是确定的属于或不属于2元素的互异性一个给定集合中的元素是的,不可重复的3元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合
3、集合的表示{…}1用大写字母表示集合A={我校的篮球队员}B={12345}2集合的表示方法列举法与描述法a、列举法将集合中的元素一一列举出来{abc……}b、描述法
①区间法将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{xR|x-32}{x|x-32}
②语言描述法例{不是直角三角形的三角形}
③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合
4、集合的分类1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合
5、元素与集合的关系1元素在集合里,那么元素属于集合,即aA2元素不在集合里,那么元素不属于集合,即a¢A注意常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作N正整数集NN+整数集Z有理数集Q实数集R函数模型及其应用本节主要包括函数的模型、函数的应用等知识点主要是理解函数解应用题的一般步骤灵活利用函数解答实际应用题
1、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等
2、用函数解应用题的根本步骤是1阅读并且理解题意.关键是数据、字母的实际意义;2设量建模;3求解函数模型;4简要答复实际问题常见考法本节知识在段考和高考中考查的形式多样,频率较高,选择题、填空题和解答题都有多考查分段函数和较复杂的函数的最值等问题,属于拔高题,难度较大误区提醒
1、求解应用性问题时,不仅要考虑函数本身的定义域,还要结合实际问题理解自变量的取值范围
2、求解应用性问题时,首先要弄清题意,分清条件和结论,抓住关键词和量,理顺数量关系,然后将文字语言转化成数学语言,建立相应的数学模型【典型例题】例11某种储蓄的月利率是
0.36%,今存入本金100元,求本金与利息的和即本息和y元与所存月数x之间的函数关系式,并计算5个月后的本息和不计复利.2按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,设本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式.如果存入本金1000元,每期利率
2.25%,试计算5期后的本利和是多少解1利息=本金×月利率×月数.y=100+100×
0.36%·x=100+
0.36x,当x=5时,y=
101.8,∴5个月后的本息和为
101.8元.例2某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2注利润与投资单位是万元1分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系式2该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问怎样分配这10万元投资,才能是企业获得利润,其利润约为多少万元精确到1万元
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性1元素确实定性2元素的互异性3元素的无序性
3.集合的表示{…}如{我校的篮球队员},{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1用拉丁字母表示集合A={我校的篮球队员}B={12345}2集合的表示方法列举法与描述法注意常用数集及其记法非负整数集即自然数集记作N正整数集NN+整数集Z有理数集Q实数集R1列举法{abc……}2描述法将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法{xR|x-32}{x|x-32}3语言描述法例{不是直角三角形的三角形}4Venn图:
4、集合的分类1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例{x|x2=-5}
二、集合间的根本关系
1.“包含”关系—子集注意有两种可能1A是B的一局部,;2A与B是同一集合反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA
2.“相等”关系A=B5≥5,且5≤5,那么5=5实例设A={x|x2-1=0}B={-11}“元素相同那么两集合相等”即
①任何一个集合是它本身的子集AA
②真子集:如果AB且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA
③如果ABBC那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集.记作AB读作‘A交B’,即AB={x|xA,且xB}.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做AB的并集.记作AB读作‘A并B’,即AB={x|xA,或xB}.设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集或余集例题
1.以下四组对象,能构成集合的是A某班所有高个子的学生B的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c}的真子集共有个
3.假设集合M={y|y=x2-2x+1xR}N={x|x≥0},那么M与N的关系是.
4.设集合A=,B=,假设AB,那么的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验,物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得有4人,那么这两种实验都做对的有人
6.用描述法表示图中阴影局部的点含边界上的点组成的集合M=.
7.集合A={x|x2+2x-8=0}B={x|x2-5x+6=0}C={x|x2-mx+m2-19=0}假设B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函数的有关概念
1.函数的概念设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有确定的数fx和它对应,那么就称f A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=fx,x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域.注意
1.定义域能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域求函数的定义域时列不等式组的主要依据是1分式的分母不等于零;2偶次方根的被开方数不小于零;3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底必须大于零且不等于
1.5如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么,它的定义域是使各局部都有意义的x的值组成的集合.6指数为零底不可以等于零,7实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法
①表达式相同与表示自变量和函数值的字母无关;
②定义域一致两点必须同时具备见课本21页相关例
22.值域:先考虑其定义域1观察法2配方法3代换法
3.函数图象知识归纳1定义在平面直角坐标系中,以函数y=fxx∈A中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点Px,y的集合C,叫做函数y=fxx∈A的图象.C上每一点的坐标x,y均满足函数关系y=fx,反过来,以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x,y,均在C上.2画法A、描点法B、图象变换法常用变换方法有三种1平移变换2伸缩变换3对称变换
4.区间的概念1区间的分类开区间、闭区间、半开半闭区间2无穷区间3区间的数轴表示.
5.映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法那么f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有确定的元素y与之对应,那么就称对应f AB为从集合A到集合B的一个映射记作f A→B
6.分段函数1在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数2各局部的自变量的取值情况.3分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.补充复合函数如果y=fuu∈Mu=gxx∈A那么y=f[gx]=Fxx∈A称为f、g的复合函数二.函数的性质
1.函数的单调性局部性质1增函数设函数y=fx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1fx2,那么就说fx在这个区间上是减函数.区间D称为y=fx的单调减区间.注意函数的单调性是函数的局部性质;2图象的特点如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
3.函数单调区间与单调性的判定方法A定义法○1任取x1,x2∈D,且x1○2作差fx1-fx2;○3变形通常是因式分解和配方;○4定号即判断差fx1-fx2的正负;○5下结论指出函数fx在给定的区间D上的单调性.B图象法从图象上看升降C复合函数的单调性复合函数f[gx]的单调性与构成它的函数u=gx,y=fu的单调性密切相关,其规律“同增异减”注意函数的单调区间只能是其定义域的子区间不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性整体性质1偶函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=fx,那么fx就叫做偶函数.
2.奇函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=—fx,那么fx就叫做奇函数.3具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;○2确定f-x与fx的关系;○3作出相应结论假设f-x=fx或f-x-fx=0,那么fx是偶函数;假设f-x=-fx或f-x+fx=0,那么fx是奇函数.2由f-x±fx=0或fx/f-x=±1来判定;3利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
1.函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法那么,二是要求出函数的定义域.2求函数的解析式的主要方法有1凑配法2待定系数法3换元法4消参法
10.函数小值定义见课本p36页○1利用二次函数的性质配方法求函数的小值○2利用图象求函数的小值○3利用函数单调性的判断函数的小值如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减那么函数y=fx在x=b处有值fb;如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增那么函数y=fx在x=b处有最小值fb;例题
1.求以下函数的定义域⑴⑵
2.设函数的定义域为,那么函数的定义域为
3.假设函数的定义域为,那么函数的定义域是
4.函数,假设,那么=
6.函数,求函数,的解析式
7.函数满足,那么=
8.设是R上的奇函数,且当时那么当时=在R上的解析式为
9.求以下函数的单调区间⑴
210.判断函数的单调性并证明你的结论.
11.设函数判断它的奇偶性并且求证【集合与函数概念】
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性1元素确实定性如世界上的山2元素的互异性如由HAPPY的字母组成的集合{HAPY}3元素的无序性:如{abc}和{acb}是表示同一个集合
3.集合的表示{…}如{我校的篮球队员},{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1用拉丁字母表示集合A={我校的篮球队员}B={12345}2集合的表示方法列举法与描述法注意常用数集及其记法XKb
1.Com非负整数集即自然数集记作N正整数集NN+整数集Z有理数集Q实数集R1列举法{abc……}2描述法将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{xR|x-32}{x|x-32}3语言描述法例{不是直角三角形的三角形}4Venn图:
4、集合的分类1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例{x|x2=-5}
二、集合间的根本关系
1.“包含”关系—子集注意有两种可能1A是B的一局部,;2A与B是同一集合反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA
2.“相等”关系A=B5≥5,且5≤5,那么5=5实例设A={x|x2-1=0}B={-11}“元素相同那么两集合相等”即
①任何一个集合是它本身的子集AíA
②真子集:如果AíB且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA
③如果AíBBíC那么AíC
④如果AíB同时BíA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集
4.子集个数有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集
三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集.记作AB读作‘A交B’,即AB={x|xA,且xB}.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做AB的并集.记作AB读作‘A并B’,即AB={x|xA,或xB}.高一数学必修一知识点总结五篇分享相关文章
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