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初中数学二次函数知识点总结 I.定义与定义表达式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系y=ax^2+bx+c a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a0时,开口方向向上,a0时,开口方向向下IaI还可以决定开口大小IaI越大开口就越小IaI越小开口就越大.那么称y为x的二次函数 二次函数表达式的右边通常为二次三项式 II.二次函数的三种表达式 一般式y=ax^2+bx+ca,b,c为常数,a≠0 顶点式y=ax-h^2+k[抛物线的顶点Ph,k] 交点式y=ax-xx-x[仅限于与x轴有交点Ax,0和Bx,0的抛物线] 注在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=-b/2ak=4ac-b^2/4axx=-b±√b^2-4ac/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线 IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形对称轴为直线x=-b/2a 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴即直线x=0
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P-b/2a,4ac-b^2/4a当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小 当a0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口|a|越大,那么抛物线的开口越小
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置 当a与b同号时即ab0,对称轴在y轴左; 当a与b异号时即ab0,对称轴在y轴右
5.常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于0,c
6.抛物线与x轴交点个数 Δ=b^2-4ac0时,抛物线与x轴有2个交点 Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点 Δ=b^2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点X的取值是虚数x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a V.二次函数与一元二次方程 特别地,二次函数以下称函数y=ax^2+bx+c, 当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程以下称方程,即ax^2+bx+c=0 此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根函数与x轴交点的横坐标即为方程的根
1.二次函数y=ax^2,y=ax-h^2,y=ax-h^2+k,y=ax^2+bx+c各式中,a≠0的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴 当h0时,y=ax-h^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到, 当h0时,那么向左平行移动|h|个单位得到. 当h0k0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=ax-h^2+k的图象; 当h0k0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=ax-h^2+k的图象; 当h0k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=ax-h^2+k的图象; 当h0k0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=ax-h^2+k的图象; 因此,研究抛物线y=ax^2+bx+ca≠0的图象,通过配方,将一般式化为y=ax-h^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax^2+bx+ca≠0的图象当a0时,开口向上,当a0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是-b/2a,[4ac-b^2]/4a.
3.抛物线y=ax^2+bx+ca≠0,假设a0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.假设a0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点 1图象与y轴一定相交,交点坐标为0,c; 2当△=b^2-4ac0,图象与x轴交于两点Ax,0和Bx,0,其中的x1x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 a≠0的两根.这两点间的距离AB=|x-x| 当△=
0.图象与x轴只有一个交点; 当△
0.图象与x轴没有交点.当a0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y0;当a0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y
0.
5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值如果a0a0,那么当x=-b/2a时,y最小大值=4ac-b^2/4a. 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值
6.用待定系数法求二次函数的解析式 1当题给条件为图象经过三个点或x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式 y=ax^2+bx+ca≠
0. 2当题给条件为图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式y=ax-h^2+ka≠
0. 3当题给条件为图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式y=ax-xx-xa≠
0.
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.模板内容仅供参考 。