中考数学压轴题专题-分式方程（解析版）

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题05分式方程及应用【考点1】解分式方程【例1】（2020·湖南郴州·中考真题）解方程【答案】x=3．【解析】【分析】观察可得方程最简公分母为x2-1，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【详解】解去分母得，解得，x=3，经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为x=3．【点睛】

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；

（2）解分式方程一定注意要检验．【变式1-1】（2020·内蒙古通辽·中考真题）解方程.【答案】.【解析】【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．【详解】去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项，得，化x的系数为1，得，经检验，是原方程的根，∴原方程的解为．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤以及注意事项是解题的关键．【变式1-2】（2020·山东莘县·初三学业考试）解方程．【答案】原方程无解．【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解方程的两边同乘（x﹣1）（x+1），得，解得x=1．检验把x=1代入（x﹣1）（x+1）=0．所以原方程的无解．【点睛】本题考查解分式方程．【考点2】已知分式方程的解，求字母参数的值【例2】（2020·临潭县第二中学初三二模）若x=4是分式方程的根，则a的值为　　A．6B．－6C．4D．－4【答案】A【解析】【分析】把x=4代入方程进行求解即可.【详解】由题意得=，解得a=6，故选A.【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程解的意义是解题的关键.【变式2-1】若关于x的分式方程1的解为x＝2，则m的值为（　　）A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】∵关于x的分式方程1的解为x＝2，∴x＝m﹣2＝2，解得m＝4．故选B．点睛此题主要考查了分式方程的解，正确解方程是解题关键．【考点3】分式方程的特殊解问题【例3】（2020·四川眉山·中考真题）关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________．【答案】且【解析】【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．【详解】解方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，解得，，且故答案为且【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．【变式3-1】（2020·四川广元·中考真题）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_____________．【答案】m2且m≠0【解析】【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【详解】解去分母得m+4x-2=0，解得x＝，∵关于x的分式方程的解是正数，∴＞0，∴m2，∵2x-1≠0，∴，∴m≠0，∴m的取值范围是m2且m≠0．故答案为m2且m≠0．【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．【变式3-2】（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（）A．正数B．负数C．零D．无法确定【答案】A【解析】【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．【详解】关于x的分式方程得x=，∵∴解得-7＜k＜14∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数故选A．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．【考点4】分式方程的无解（增根）问题【例4】（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则_________．【答案】．【解析】【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．【详解】解去分母得，整理得，∵关于的分式方程有增根，即，∴，把代入到中得，解得，故答案为．【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤

①化分式方程为整式方程；

②让最简公分母等于零求出增根的值；

③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．【变式4-1】（2020·四川遂宁·中考真题）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（　　）A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．【详解】解去分母得m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得m+3＝0，解得m＝﹣3，故选D．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行

①化分式方程为整式方程；

②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【考点5】分式方程的应用问题【例5】（2020·吉林长春·中考真题）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？【答案】2万斤【解析】【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解设该村企去年黑木耳的年销量为万斤依题意得解得经检验是原方程的根，且符合题意．答该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式5-1】（2020·江苏泰州·中考真题）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．【答案】75km/h【解析】【分析】根据题意，设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则，解得，检验当时，，∴是原分式方程的解；∴走路线的平均速度为（km/h）；【点睛】本题考查分式方程的应用，以及理解题意的能力，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．【变式5-2】（2020·贵州黔西·中考真题）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求

（1）A型自行车去年每辆售价多少元；

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】12000元；

（2）A型车20辆，B型车40辆．【解析】【分析】

（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．【详解】解

（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得，解得x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答去年A型车每辆售价为2000元；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得y=a+（60﹣a），y=﹣300a+36000．∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y随a的增大而减小．∴a=20时，y最大=30000元．∴B型车的数量为60﹣20=40辆．∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．1．（2020·四川广元·中考真题）按照如图所示的流程，若输出的，则输入的m为（）A．3B．1C．0D．-1【答案】C【解析】【分析】根据题目中的程序，利用分类讨论的方法可以分别求得m的值，从而可以解答本题．【详解】解当m2-2m≥0时，，解得m=0，经检验，m=0是原方程的解，并且满足m2-2m≥0，当m2-2m＜0时，m-3=-6，解得m=-3，不满足m2-2m＜0，舍去．故输入的m为0．故选C．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．2．（2020·甘肃初三一模）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是　　A．B．C．且D．且【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．【详解】分式方程去分母得，即，因为分式方程解为负数，所以，且，解得且，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．3．（2020·四川宜宾·中考真题）学校为了丰富学生的知识，需要购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的本数与用12000元购买文学书的本数相等，设文学类图书平均每本x元，则列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】设文学类图书平均每本x元，根据购买的书本数相等即可列出方程．【详解】设文学类图书平均每本x元，依题意可得故选B．【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．4．（2020·辽宁朝阳·中考真题）某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，故选B．【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．5．（2020·辽宁鞍山·中考真题）甲、乙两人加工某种机器零件，已知每小时甲比乙少加工6个这种零件，甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等，设甲每小时加工x个零件，所列方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据“甲加工240个这种零件所用的时间与乙加工300个这种零件所用的时间相等”，列出方程即可．【详解】解根据题意得，故选B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．6．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（）A．正数B．负数C．零D．无法确定【答案】A【解析】【分析】先解出关于x的分式方程得到x=，代入求出k的取值，即可得到k的值，故可求解．【详解】关于x的分式方程得x=，∵∴解得-7＜k＜14∴整数k为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k中，含负整数6个，正整数13个，∴k值的乘积为正数故选A．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．7．（2020·重庆市教科院巴蜀实验学校）关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（）A．B．C．且D．且【答案】C【解析】【分析】先对分式方程去分母，再根据题意进行计算，即可得到答案.【详解】解分式方程去分母得，解得，根据题意得，且，解得，且．故选C．【点睛】本题考查分式方程，解题的关键是掌握分式方程的求解方法.8．（2018·四川巴中·中考真题）若分式方程有增根，则实数a的取值是（　　）A．0或2B．4C．8D．4或8【答案】D【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．【详解】解方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x=2（x﹣2），由题意得，分式方程的增根为0或2，当x=0时，﹣a=﹣4，解得，a=4，当x=2时，6﹣a+2=0，解得，a=8，故选D．【点睛】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．9．（2020·山东济南·中考真题）代数式与代数式的值相等，则x＝_____．【答案】7【解析】【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．【详解】解根据题意得，去分母得3x﹣9＝2x﹣2，解得x＝7，经检验x＝7是分式方程的解．故答案为7．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．10．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．【答案】x=-4【解析】【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【详解】解∵，∴分式与的最简公分母是，方程，去分母得，去括号得，移项合并得，变形得，解得x=2或-4，∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．11．（2020·广东广州·中考真题）方程的解是_______．【答案】【解析】【分析】根据分式方程的解法步骤解出即可．【详解】左右同乘2x+1得:2x=3解得x=．经检验x=是方程的跟．故答案为:．【点睛】本题考查解分式方程关键在于熟练掌握分式方程的解法步骤．12．（2020·黄冈市启黄中学初三二模）关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为_______．【答案】且【解析】【分析】根据解分式方程的方法和方程的解为非负数，可以求得的取值范围．【详解】解，方程两边同乘以，得，去括号，得，移项及合并同类项，得，关于的分式方程的解为非负数，，，解得，且，故答案为且．【点睛】本题主要考查根据分式方程的根求解参数，难度系数稍微有点大，但是是必考点.13．（2020·山东乐陵·初三二模）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．【答案】1或【解析】分析直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．详解去分母得x-3a=2a（x-3），整理得（1-2a）x=-3a，当1-2a=0时，方程无解，故a=；当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，则a=1，故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为1或．故答案为1或．点睛此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．14．（2020·四川内江·中考真题）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________【答案】40【解析】【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a5且a≠3，根据不等式组的解集为，即可得出a0，找出0a5且a≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论．【详解】解分式方程的解为x=且x≠1，∵分式方程的解为非负数，∴且≠

1.∴a5且a≠

3.解不等式

①，得.解不等式

②，得ya.∵关于y的不等式组的解集为，∴a

0.∴0a5且a≠

3.又a为整数，则a的值为1，2，4，

5.符合条件的所有整数a的积为.故答案为

40.【点睛】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为，找出a的取值范围是解题的关键．15．（2020·黑龙江大庆·中考真题）解方程【答案】3【解析】【分析】去分母化成整式方程，求出x后需要验证，才能得出结果；【详解】，去分母得，解得．检验把代入中，得，∴是分式方程的根．【点睛】本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．16．（2020·陕西中考真题）解分式方程．【答案】x＝．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解方程，去分母得x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，移项得-5x=-4，系数化为1得x＝，经检验x＝是分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程．利用了转化的思想，解分式方程要注意检验．17．（2020·湖南中考真题）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？【答案】该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【解析】【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，根据题意可得等量关系4G下载600兆所用时间﹣5G下载600兆所用时间＝140秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．【详解】解设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，由题意得﹣＝140，解得x＝4，经检验x＝4是原分式方程的解，且符合题意，15x=15×4＝60，答该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．【点睛】本题主要考察的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，在根据题意找出下载600兆的公益片所用时间的等量关系，是解答此题的关键．18．（2020·辽宁丹东·中考真题）为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知

七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的

1.5倍，求八年级捐书人数是多少？【答案】八年级捐书人数是450人．【解析】【分析】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的

1.5倍，列出方程求解并检验即可．【详解】设七年级捐书人数为x，则八年级捐书人数为（x+150），根据题意得，，解得，，经检验，是原方程的解，∴x+150=400+150=450，答八年级捐书人数是450人．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程求解并检验．19．（2020·山东淄博·中考真题）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，≈

1.4，≈

1.7等数据信息，解答下列问题

（1）公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？【答案】

（1）从A地到景区B旅游可以少走35千米；

（2）施工队原计划每天修建

0.14千米．【解析】【分析】【详解】解

（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，AB⊥CD，sin30°＝，BC＝1000千米，∴CD＝BC•sin30°＝100×＝50（千米），BD＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），在直角△ACD中，AD＝CD＝50（千米），AC＝＝50（千米），∴AB＝50+50（千米），∴AC+BC﹣AB＝50+100﹣（50+50）＝50+50﹣50≈35（千米）．答从A地到景区B旅游可以少走35千米；

（2）设施工队原计划每天修建x千米，依题意有，﹣＝50，解得x＝

0.14，经检验x＝

0.14是原分式方程的解．答施工队原计划每天修建

0.14千米．

（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；

（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．20．（2020·湖北恩施·中考真题）某校足球队需购买、两种品牌的足球．已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高20元，且用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等．

（1）求、两种品牌足球的单价；

（2）若足球队计划购买、两种品牌的足球共90个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？【答案】

（1）购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；

（2）该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低，最低费用是8400元．【解析】【分析】

（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据用900元购买品牌足球的数量用720元购买品牌足球的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，根据总价＝单价×数量结合总价不超过8500元，以及品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之取其中的最小整数值即可得出结论．【详解】解

（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得解得x=100经检验x=100是原方程的解x-20=80答购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元．

（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90−m）个B品牌足球，则W=100m+8090-m=20m+7200∵品牌足球的数量不小于品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．∴解不等式组得60≤m≤65所以，m的值为606162636465即该队共有6种购买方案，当m=60时，W最小m=60时，W=20×60+7200=8400元答该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低，最低费用是8400元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是

（1）找准等量关系，正确列出分式方程；

（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．。