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2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7.函数与导数
一、填空题(2017·11)若是函数的极值点,则的极小值为()A.B.C.D.1(2016·12)已知函数满足,若函数与图像的交点为,,…,,则()A.0B.mC.2mD.4m(2015·5)设函数,则()A.3B.6C.9D.12(2015·10)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为()A.B.C.D.(2015·12)设函数是奇函数的导函数,,当x0时,,则使得fx0成立的x的取值范围是()A.B.C.D.(2014·8)设曲线y=ax-lnx+1在点00处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3(2014·12)设函数,若存在的极值点满足,则m的取值范围是()A.B.C.D.(2013·8)设,,,则()A.B.C.D.(2013·10)已知函数,下列结论中错误的是()A.B.函数的图像是中心对称图形C.若是的极小值点,则在区间单调递减D.若是的极值点,则(2012·10)已知函数,则的图像大致为()A.B.C.D.(2012·12)设点P在曲线上,点在曲线上,则的最小值为()A.B.C.D.(2011·2)下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是()A.B.C.D.(2011·9)由曲线,直线及y轴所围成的图形的面积为()A.B.4C.D.6(2011·12)函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于()A.2B.4C.6D.8
二、填空题(2014·15)已知偶函数fx在[0+∞单调递减,f2=
0.若fx-10,则x的取值范围是_________.(2016·16)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=lnx+1的切线,则b=.
三、解答题(2017·21)已知函数且.
(1)求a;
(2)证明存在唯一的极大值点,且.(2016·21)(Ⅰ)讨论函数的单调性,并证明当0时,;(Ⅱ)证明当时,函数有最小值.设gx的最小值为,求函数的值域.14.(2015·21)设函数.(Ⅰ)证明fx在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|fx1-fx2|≤e-1,求m的取值范围.15.(2014·21)已知函数.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)设,当时,,求的最大值;(Ⅲ)已知,估计ln2的近似值(精确到
0.001).16.(2013·21)已知函数.(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;(Ⅱ)当时,证明.
17.(2012·21)已知函数.(Ⅰ)求的解析式及单调区间;(Ⅱ)若,求的最大值.18.(2011·21)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求k的取值范围.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7.函数与导数(解析版)(2017·11)A【解析】∵∴导函数,∵,∴,∴导函数,令,∴,,当变化时,,随变化情况如下表+0-0+极大值极小值从上表可知极小值为.故选A(2016·12)B解析由得关于对称,而也关于对称,∴对于每一组对称点,,∴,故选B.(2016·12)B解析由得关于对称,而也关于对称,∴对于每一组对称点,,∴,故选B.(2015·5)C解析由已知得,又,所以,故.(2015·10)B解析由已知得,当点P在BC边上运动时,即时,;当点P在CD边上运动时,即,时,,当时,;当点P在AD边上运动时,即时,,从点P的运动过程可以看出,轨迹关于直线对称,且,且轨迹非线型,故选B.(2015·12)A解析记函数,则,因为当x0时,xf´x-fx0,故当x0时,g´x0,所以gx在0+∞单调递减;又因为函数fxx∈R是奇函数,故函数gx是偶函数,所以gx在-∞0单调递增,且g-1=g1=0.当0x1时,gx0,则fx0;当x-1时,gx0,则fx0,综上所述,使得fx0成立的x的取值范围是-∞-1∪01,故选A.(2014·8)D解析∵,且在点处的切线的斜率为2,∴,即.(2014·12)C解析∵,令得,∴,即,的极值为,∴,,,即,故或.(2013·8)D解析根据公式变形,,,,因为lg7>lg5>lg3,所以,即c<b<a.故选D.(2013·10)C解析∵f´x=3x2+2ax+b,∴y=fx的图像大致如右图所示,若x0是fx的极小值点,则则在-∞,x0上不单调,故C不正确.(2012·10)B解析易知对恒成立,当且仅当时,取等号,故的值域是-∞
0.所以其图像为B.(2012·12)B解析因为与互为反函数,所以曲线与曲线关于直线y=x对称,故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离,设切点为A,则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值.则,,即,故切点A的坐标为,因此,切点A点到直线y=x距离为,所以.(2011·2)B解析由各函数的图像知,故选B.(2011·9)C】解析用定积分求解,故选C.(2011·12)D解析的对称中心是
(10)也是的中心,他们的图像在x=1的左侧有4个交点,则x=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,则,故选D.
二、填空题(2014·15)解析∵是偶函数,∴,又∵在单调递减,∴,解得(2016·16)解析的切线为(设切点横坐标为),的切线为,∴,解得,∴.
三、解答题(2017·21)已知函数且.
(1)求a;
(2)证明存在唯一的极大值点,且.(2017·21)解析1法一由题知,且,所以,即当时,;当时,;当时,成立.令,,当时,,递减,,所以,即,所以;当时,,递增,,所以,即.所以,.综上,.法二洛必达法则由题知,且,所以.即当时,;当时,;当时,成立.令,.令,.当时,递增,;所以,递减,,所以;当时,递减,;所以,递减,,所以.故.
(2)由1知,,设,则.当时,;当时,.所以在递减,在递增.又,,,所以在有唯一零点,在有唯一零点1,且当时,;当时,;当时,.又,所以是的唯一极大值点.由得,故.由得.因为是在的唯一极大值点,由,得所以.(2016·21)(Ⅰ)讨论函数的单调性,并证明当0时,;(Ⅱ)证明当时,函数有最小值.设gx的最小值为,求函数的值域.(2016·21)证明⑴,∵当时,,∴在上单调递增,∴时,,∴.⑵,,由1知,当时,的值域为,只有一解.使得,,当时,,单调减;当时,单调增,,记,在时,,∴单调递增,∴.(2015·21)设函数.(Ⅰ)证明fx在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|fx1-fx2|≤e-1,求m的取值范围.(2015·21)解析(Ⅰ),若,则当时,;当时,,.若,则当时,;当时,,,所以,在单调递减,在单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的,在[-1,0]单调递减,在
[01]单调递增,故在处取得最小值,所以对于任意,的充要条件是,即
①.设函数,则,当时,;当时,,故在单调递减,在单调递增.又,,故当时,.当时,,即
①式成立;当时,由的单调性,,即;当时,,即,综上,的取值范围是[-11].(2014·21)已知函数.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)设,当时,,求的最大值;(Ⅲ)已知,估计ln2的近似值(精确到
0.001).(2014·21)解析(Ⅰ)∴当且仅当x=0时等号成立,所以函数在R上单调递增.(Ⅱ)∴当x0时,,,,1当时,,当且仅当x=0时等号成立.所以此时gx在R上单调递增,而g0=0,所以对任意x0,有gx
0.2当时,若x满足时,即时,,而g0=0,因此当时,gx
0.综上可知,当时,才对任意的x0,有gx0,因此b的最大值为
2.(Ⅲ)由Ⅱ知,,当b=2时,,;当时,,,,所以ln2的近似值为
0.
693.(2013·21)已知函数.(Ⅰ)设是的极值点,求,并讨论的单调性;(Ⅱ)当时,证明.(2013·21)解析(Ⅰ)f′x=.由x=0是fx的极值点得f′0=0,所以m=
1.于是fx=ex-lnx+1,定义域为-1,+∞,f′x=.函数f′x=在-1,+∞单调递增,且f′0=
0.因此当x∈-10时,f′x<0;当x∈0,+∞时,f′x>
0.所以fx在-10单调递减,在0,+∞单调递增.(Ⅱ)当m≤2,x∈-m,+∞时,lnx+m≤lnx+2,故只需证明当m=2时,fx>
0.当m=2时,函数f′x=在-2,+∞单调递增.又f′-1<0,f′0>0,故f′x=0在-2,+∞有唯一实根x0,且x0∈-10.当x∈-2,x0时,f′x<0;当x∈x0,+∞时,f′x>0,从而当x=x0时,fx取得最小值.由f′x0=0得=,lnx0+2=-x0,故fx≥fx0=+x0=>
0.综上,当m≤2时,fx>
0.(2012·21)已知函数.(Ⅰ)求的解析式及单调区间;(Ⅱ)若,求的最大值.(2012·21)解析(Ⅰ),令x=1得,fx=1,再由,令得.所以的解析式为,∴,易知是R上的增函数,且.所以,,所以函数的增区间为,减区间为.(Ⅱ)若恒成立,即恒成立,.1当时,恒成立,为R上的增函数,且当时,,不合题意;2当时,恒成立,则,;3当时,为增函数,由得,故,,当时,取最小值.依题意有,即,,,令,则,,所以当时,取最大值.故当时,取最大值.综上,若,则的最大值为.(2011·21)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)如果当,且时,,求k的取值范围.解析(Ⅰ)由于直线的斜率为,且过点,故,即,解得,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以.考虑函数,则.i设,由知,当时,.而,故当时,,可得;当x1,+时,hx0,可得,从而当x0,且x1时,,即.(ii)设0k
1.由于当x1,时,k-1x2+1+2x0,故h´x0,而h1=0,故当x1,时,hx0,可得hx0,与题设矛盾.(iii)设k
1.此时h´x0,而h1=0,故当x1,+时,hx0,可得hx0,与题设矛盾.综上可得,k的取值范围为(-,0].1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy。