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2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编15.几何证明选讲
一、解答题(2016·22)【选修4-1几何证明选讲】如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.(2015·22)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=,求四边形EBCF的面积.(2014·22)如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B、C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E.证明(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD·DE=2PB
2.(2013·22)如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,,分别为弦与弦上的点,且,B、E、F、C四点共圆.(Ⅰ)证明是外接圆的直径;(Ⅱ)若,求过B、E、F、C四点的圆的面积与外接圆面积的比值.(2012·22)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交于△ABC的外接圆于F,G两点,若CF//AB,证明(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.(2011·22)如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(Ⅰ)证明C、B、D、E四点共圆;(Ⅱ)若∠A=90º,且m=4,n=6,求C、B、D、E所在圆的半径.2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编15.几何证明选讲(逐题解析版)(2016·22)【选修4-1几何证明选讲】如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
22.证明(Ⅰ)∵,∴,∴,,∵,,∴,∴,∴,∴,∴.∴B,C,G,F四点共圆.(Ⅱ)∵E为AD中点,,∴,∴在中,,连接,,∴.(2015·22)如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于⊙O的半径,且AE=MN=,求四边形EBCF的面积.(2015·22)解析(Ⅰ)由于是等腰三角形,,所以是的平分线,又因为⊙O分别与AB,AC相切于点E,F,所以,故,从而.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,故是的垂直平分线.又为⊙O的弦,所以在上.连结,则,由等于⊙O的半径得,所以,因此和都是等边三角形.因为,所以.因为,所以.于是.所以四边形的面积为.(2014·22)如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B、C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E.证明(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD·DE=2PB
2.(2014·22)解析(Ⅰ)∵PC=2PA,PD=DC,∴PA=PD,△PAD为等腰三角形.连接AB,则∠PAB=∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α,∵∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE,∴β+α=β+∠DBE,即α=∠DBE,亦即∠BCE=∠DBE,所以BE=EC.(Ⅱ)∵AD·DE=BD·DC,PA2=PB·PC,PD=DC=PA,∴BD·DC=PA-PB·PA=PB·PC-PB·PA=PB·PC-PA,∴PB·PA=PB·2PB=2PB
2.(2013·22)如图,为外接圆的切线,的延长线交直线于点,,分别为弦与弦上的点,且,B、E、F、C四点共圆.(Ⅰ)证明是外接圆的直径;(Ⅱ)若,求过B、E、F、C四点的圆的面积与外接圆面积的比值.(2013·22)解析(Ⅰ)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB
2.而DC2=DB·DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.(2012·22)如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交于△ABC的外接圆于F,G两点,若CF//AB,证明(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.(2012·22)解析(Ⅰ)∵D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,∴DE//BC.∵CF//AB,DF//BC,∴CF//BD且CF=BD,∵又D为AB的中点,∴CF//AD且CF=AD,∴CD=AF.∵CF//AB,∴BC=AF,∴CD=BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BC//GF,∴GB=CF=BD,∠BGD=∠BDG=∠DBC=∠BDC,∴△BCD∽△GBD.(2011·22)如图,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.(Ⅰ)证明C、B、D、E四点共圆;(Ⅱ)若∠A=90º,且m=4,n=6,求C、B、D、E所在圆的半径.(2011·22)解析(Ⅰ)连结DE,根据题意在△ADE和△ACB中,AD×AB=mn=AE×AC,即,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,因此∠ADE=∠ACB,所以C、B、D、E四点共圆.(Ⅱ)m=4,n=6,方程x2-14x+mn=0的两根为2,
12.即AD=2,AB=12,取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线交于点H,连结D、H,因为C、B、D、E四点共圆,所以圆心为H,半径为DH.由于∠A=90º,故GH∥AB,HF∥AC.从而HF=AG=5,DF=5,故半径为.。