还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编7.函数与导数
一、选择题(2017·8)函数的单调递增区间是()A.-,-2B.-,-1C.1,+D.4,+(2016·10)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.(2016·12)已知函数fx(x∈R)满足fx=f2-x,若函数y=|x2-2x-3|与y=fx图像的交点为,,…,,则()A.0B.mC.2mD.4m(2015·11)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为()A.B.C.D.(2015·12)设函数,则使得成立的x的取值范围是()A.B.C.D.(2014·11)若函数fx=kx-lnx在区间1,+单调递增,则k的取值范围是()A.B.C.D.(2013·8)设,,,则()A.B.C.D.(2013·11)已知函数,下列结论中错误的是()A.,B.函数的图象是中心对称图形C.若是的极小值点,则在区间单调递减D.若是的极值点,则(2013·12)若存在正数使成立,则的取值范围是()A.B.C.D.(2012·11)当0≤时,,则a的取值范围是()A.0,B.,1C.1,D.,2(2011·3)下列函数中,既是偶函数又在单调递增的函数是()A.B.C.D.(2011·10)在下列区间中,函数fx=ex+4x-3的零点所在的区间为()A.B.C.D.(2011·12)已知函数y=fx的周期为2,当x∈[-11]时fx=x2,那么函数y=fx的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有()A.10个B.9个C.8个D.1个
二、填空题(2017·14)已知函数是定义在R上的奇函数,当时,,则=(2015·13)已知函数fx=ax3-2x的图象过点-14,则a=.(2015·16)已知曲线在点11处的切线与曲线相切,则.(2014·15)偶函数y=fx的图象关于直线x=2对称,f3=3,则f-1=_______.(2012·13)曲线在点11处的切线方程为.(2012·16)设函数的最大值为M,最小值为m,则M+m=.
三、解答题(2017·21)设函数fx=1-x2ex.
(1)讨论fx的单调性;
(2)当x0时,fxax+1,求a的取值范围.(2016·20)已知函数.(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=fx在1,f1处的切线方程;(Ⅱ)若当x∈1+∞时,fx0,求的取值范围.(2015·21)已知函数fx=lnx+a1-x.(Ⅰ)讨论fx的单调性;(Ⅱ)当fx有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.(2014·21)已知函数fx=x3-3x2+ax+2,曲线y=fx在点0,2处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)证明当k1时,曲线y=fx与直线y=kx-2只有一个交点.(2013·21)已知函数.(Ⅰ)求的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线的切线的斜率为负数时,求在轴上截距的取值范围(2012·21)设函数fx=ex-ax-2(Ⅰ)求fx的单调区间(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x0时,x-kf´x+x+10,求k的最大值(2011·21)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)证明当,且时,.2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编7.函数与导数
一、选择题(2017·8)D解析函数有意义,则x2-2x-80,解得x-2或x4,结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则可得函数的单调增区间为4,+∞,故选D.(2016·10)D解析,定义域与值域均为,只有D满足,故选D.(2016·12)B解析因为都关于对称,所以它们交点也关于对称,当为偶数时,其和为,当为奇数时,其和为,因此选B.(2015·11)B】解析∵,,∴,由此可排除C,D,当时,,可排除A.(2015·12)A解析是偶函数,且在[0+∞是增函数,所以.(2014·11)D解析∵函数在区间(1,+∞)单调递增,∴当x>1时,恒成立,,∴,故选D.(2013·8)D解析因为,,又,所以最大.又,所以,即,所以,故选D.(2013·11)C解析若则有,所以A正确.由得,因为函数的对称中心为
(00),所以的对称中心为,所以B正确.由三次函数的图象可知,若是fx的极小值点,则极大值点在的左侧,所以函数在区间(-∞)单调递减是错误的,D正确.故选C.(2013·12)D解析因为,所以由得,在坐标系中,作出函数的图象,当时,,所以如果存在,使,则有,即,故选D.(2012·11)A解析由指数函数与对数函数的图像知,解得,故选A.(2011·3)B解析可以直接判断A是奇函数,B是偶函数,又是(0,+∞)的增函数,故选B.(2011·10)C解析只需验证端点值,凡端点值异号就是答案.故选C.(2011·12)A解析本题可用图像法解,易知共10个交点,故选A.
二、填空题(2017·14)12解析(2015·13)-2解析.(2015·16)8解析曲线y=x+lnx在点11处的切线斜率为2,故切线方程为y=2x-1,与y=ax2+a+2x+1联立得ax2+ax+2=0,显然a≠0,所以由△=a2-8a=0,得a=
8.(2014·15)3解析∵为偶函数,∴,∵的图像关于对称,∴,∴.(2012·13)解析∵,∴切线斜率为4,则切线方程为.(2012·16)2解析=,设==,则是奇函数,∵最大值为M,最小值为,∴的最大值为M-1,最小值为-1,∴,=
2.
三、解答题(2017·21)设函数fx=1-x2ex.
(1)讨论fx的单调性;
(2)当x0时,fxax+1,求a的取值范围.(2017·21)解析∵,令得,,当时,;当时,;当时,;所以fx在,上单调递减,在上单调递增.
(2)∵,当a≥1时,设函数,,因此在单调递减,而,故,所以;当0a1时,设函数,,所以在在单调递增,而,故.当0x1时,,,取,则,,故;当a≤0时,取,;综上所述,a的取值范围是.(2016·20)已知函数.(Ⅰ)当a=4时,求曲线y=fx在1,f1处的切线方程;(Ⅱ)若当x∈1+∞时,fx0,求的取值范围.(2016·20)(I)的定义域为.当时,,,曲线在处的切线方程为(II)当时,等价于令,则,(i)当,时,,故在上单调递增,因此;(ii)当时,令得,由和得,故当时,,在单调递减,因此.综上,的取值范围是(2015·21)已知函数fx=lnx+a1-x.(Ⅰ)讨论fx的单调性;(Ⅱ)当fx有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.(2015·21)解析(Ⅰ)的定义域为,若则所以单调递增.若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,无最大值;当时,在取得最大值,最大值为.因此等价于.令,则在单调递增,.于是,当时;当时,,因此,的取值范围是.(2014·21)已知函数fx=x3-3x2+ax+2,曲线y=fx在点0,2处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(Ⅰ)求a;(Ⅱ)证明当k1时,曲线y=fx与直线y=kx-2只有一个交点.(2014·21)解析(Ⅰ)∵fx=x3-3x2+ax+2,∴f′x=3x2-6x+a,f′0=a,则fx在点0,2处的切线方程为y=ax+2,∵切线与x轴交点的横坐标为-2,∴f-2=-2a+2=0,解得a=1.(Ⅱ)当a=1时,fx=x3-3x2+x+2,设gx=fx-kx+2=x3-3x2+1-kx+4,由题设知1-k0,当x≤0时,g′x=3x2-6x+1-k0,gx单调递增,g-1=k-1,g0=4,则gx=0在-∞,0]有唯一实根.当x0时,令hx=x3-3x2+4,则gx=hx+1-kxhx.则h′x=3x2-6x=3xx-2单调递增,g-1=k-1,g0=4,则gx=0在-∞,0]有唯一实根.∴gxhx≥h2=0,∴gx=0在0,+∞上没有实根.综上当k1时,曲线y=fx与直线y=kx-2只有一个交点.(2013·21)已知函数.(Ⅰ)求的极小值和极大值;(Ⅱ)当曲线的切线的斜率为负数时,求在轴上截距的取值范围(2013·21)解析(Ⅰ)函数fx的定义域为-∞,+∞,f′x=-e-xxx-
2.当x∈-∞,0或x∈2,+∞时,f′x<0;当x∈02时,f′x>
0.所以fx在-∞,0,2,+∞单调递减,在02单调递增.故当x=0时,fx取得极小值,极小值为f0=0;当x=2时,fx取得极大值,极大值为f2=4e-
2.(Ⅱ)设切点为t,ft,则l的方程为y=f′tx-t+ft.所以l在x轴上的截距为mt=.由已知和
①得t∈-∞,0∪2,+∞.令hx=x≠0,则当x∈0,+∞时,hx的取值范围为[,+∞;当x∈-∞,-2时,hx的取值范围是-∞,-3.所以当t∈-∞,0∪2,+∞时,mt的取值范围是-∞,0∪[,+∞.综上,l在x轴上的截距的取值范围是-∞,0∪[,+∞.(2012·21)设函数fx=ex-ax-2(Ⅰ)求fx的单调区间(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x0时,x-kf´x+x+10,求k的最大值(2012·21)解析(Ⅰ)的定义域为,,若,则,所以在单调递增.若,则当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.(Ⅱ)由于,所以.故当时,等价于.令,则.由(Ⅰ)知,函数在单调递增,而,,所以,在存在唯一的零,故在存在唯一的零点.设此零点为,则.当时,;当时,.所以在的最小值为.又由,可得,所以.由于
①式等价于,故整数的最大值为
2.(2011·21)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)证明当,且时,.(2011·21)解析(Ⅰ),由于直线的斜率为,且过点,故即解得,.(Ⅱ)由(Ⅰ)知fx=,所以,考虑函数,则,所以x≠1时h′x<0,而h1=0故时,hx0可得,时,hx0可得,从而当,且时,.91。