新课标全国卷2文科数学试题分类汇编答案-函数与导数

2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编7．函数与导数

一、选择题（2017·8）函数的单调递增区间是（）A.-，-2B.-，-1C.1，+D.4，+（2016·10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（）A．y=xB．y=lgxC．y=2xD．（2016·12）已知函数fx（x∈R）满足fx=f2-x，若函数y=|x2-2x-3|与y=fx图像的交点为，，…，，则（）A．0B．mC．2mD．4m（2015·11）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（）A．B．C．D．（2015·12）设函数，则使得成立的x的取值范围是（）A.B.C.D.（2014·11）若函数fx=kx-lnx在区间1，+单调递增，则k的取值范围是（）A．B．C．D．（2013·8）设，，，则（）A．B．C．D．（2013·11）已知函数，下列结论中错误的是（）A．，B．函数的图象是中心对称图形C．若是的极小值点，则在区间单调递减D．若是的极值点，则（2013·12）若存在正数使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．（2012·11）当0≤时，，则a的取值范围是（）A．0，B．，1C．1，D．，2（2011·3）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．（2011·10）在下列区间中，函数fx=ex+4x-3的零点所在的区间为（）A．B．C．D．（2011·12）已知函数y=fx的周期为2，当x∈[-11]时fx=x2，那么函数y=fx的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个

二、填空题（2017·14）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则=（2015·13）已知函数fx=ax3-2x的图象过点-14，则a=.（2015·16）已知曲线在点11处的切线与曲线相切，则.（2014·15）偶函数y=fx的图象关于直线x=2对称，f3=3，则f-1=_______.（2012·13）曲线在点11处的切线方程为.（2012·16）设函数的最大值为M，最小值为m，则M+m=.

三、解答题（2017·21）设函数fx=1-x2ex.

（1）讨论fx的单调性；

（2）当x0时，fxax+1，求a的取值范围.（2016·20）已知函数.（Ⅰ）当a=4时，求曲线y=fx在1，f1处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈1+∞时，fx0，求的取值范围.（2015·21）已知函数fx=lnx+a1-x.（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）当fx有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.（2014·21）已知函数fx=x3-3x2+ax+2，曲线y=fx在点0，2处的切线与x轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明当k1时，曲线y=fx与直线y=kx-2只有一个交点．（2013·21）已知函数.（Ⅰ）求的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围（2012·21）设函数fx=ex-ax-2（Ⅰ）求fx的单调区间（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x0时，x-kf´x+x+10，求k的最大值（2011·21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明当，且时，.2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编7．函数与导数

一、选择题（2017·8）D解析函数有意义，则x2-2x-80，解得x-2或x4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则可得函数的单调增区间为4，+∞，故选D.（2016·10）D解析，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．（2016·12）B解析因为都关于对称，所以它们交点也关于对称，当为偶数时，其和为，当为奇数时，其和为，因此选B.（2015·11）B】解析∵，，∴，由此可排除C，D，当时，，可排除A.（2015·12）A解析是偶函数，且在[0+∞是增函数，所以.（2014·11）D解析∵函数在区间（1，+∞）单调递增，∴当x＞1时，恒成立，，∴，故选D.（2013·8）D解析因为，，又，所以最大.又，所以，即，所以，故选D.（2013·11）C解析若则有，所以A正确.由得，因为函数的对称中心为

（00），所以的对称中心为，所以B正确.由三次函数的图象可知，若是fx的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间（-∞）单调递减是错误的，D正确.故选C.（2013·12）D解析因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，故选D.（2012·11）A解析由指数函数与对数函数的图像知，解得，故选A.（2011·3）B解析可以直接判断A是奇函数，B是偶函数，又是（0，+∞）的增函数，故选B.（2011·10）C解析只需验证端点值，凡端点值异号就是答案.故选C.（2011·12）A解析本题可用图像法解，易知共10个交点，故选A.

二、填空题（2017·14）12解析（2015·13）-2解析.（2015·16）8解析曲线y=x+lnx在点11处的切线斜率为2，故切线方程为y=2x-1，与y=ax2+a+2x+1联立得ax2+ax+2=0，显然a≠0，所以由△=a2-8a=0，得a=

8.（2014·15）3解析∵为偶函数，∴，∵的图像关于对称，∴，∴.（2012·13）解析∵，∴切线斜率为4，则切线方程为.（2012·16）2解析=，设==，则是奇函数，∵最大值为M，最小值为，∴的最大值为M-1，最小值为-1，∴，=

2.

三、解答题（2017·21）设函数fx=1-x2ex.

（1）讨论fx的单调性；

（2）当x0时，fxax+1，求a的取值范围.（2017·21）解析∵，令得，，当时，；当时，；当时，；所以fx在，上单调递减，在上单调递增.

（2）∵，当a≥1时，设函数，，因此在单调递减，而，故，所以；当0a1时，设函数，，所以在在单调递增，而，故.当0x1时，，，取，则，，故；当a≤0时，取，；综上所述，a的取值范围是.（2016·20）已知函数.（Ⅰ）当a=4时，求曲线y=fx在1，f1处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈1+∞时，fx0，求的取值范围.（2016·20）（I）的定义域为.当时，，，曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于令，则，（i）当，时，，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得，由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是（2015·21）已知函数fx=lnx+a1-x.（Ⅰ）讨论fx的单调性；（Ⅱ）当fx有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.（2015·21）解析（Ⅰ）的定义域为，若则所以单调递增.若，则当时，当时，所以在单调递增，在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，无最大值；当时，在取得最大值，最大值为.因此等价于.令，则在单调递增，.于是，当时；当时，，因此，的取值范围是.（2014·21）已知函数fx=x3-3x2+ax+2，曲线y=fx在点0，2处的切线与x轴交点的横坐标为-2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明当k1时，曲线y=fx与直线y=kx-2只有一个交点．（2014·21）解析（Ⅰ）∵fx=x3-3x2+ax+2，∴f′x=3x2-6x+a，f′0=a，则fx在点0，2处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为-2，∴f-2=-2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，fx=x3-3x2+x+2，设gx=fx-kx+2=x3-3x2+1-kx+4，由题设知1-k0，当x≤0时，g′x=3x2-6x+1-k0，gx单调递增，g-1=k-1，g0=4，则gx=0在-∞，0]有唯一实根．当x0时，令hx=x3-3x2+4，则gx=hx+1-kxhx．则h′x=3x2-6x=3xx-2单调递增，g-1=k-1，g0=4，则gx=0在-∞，0]有唯一实根．∴gxhx≥h2=0，∴gx=0在0，+∞上没有实根．综上当k1时，曲线y=fx与直线y=kx-2只有一个交点.（2013·21）已知函数.（Ⅰ）求的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围（2013·21）解析（Ⅰ）函数fx的定义域为-∞，+∞，f′x=-e-xxx-

2.当x∈-∞，0或x∈2，+∞时，f′x＜0；当x∈02时，f′x＞

0.所以fx在-∞，0，2，+∞单调递减，在02单调递增．故当x=0时，fx取得极小值，极小值为f0=0；当x=2时，fx取得极大值，极大值为f2=4e-

2.（Ⅱ）设切点为t，ft，则l的方程为y＝f′tx-t+ft．所以l在x轴上的截距为mt=.由已知和

①得t∈-∞，0∪2，+∞．令hx=x≠0，则当x∈0，+∞时，hx的取值范围为[，+∞；当x∈-∞，-2时，hx的取值范围是-∞，-3．所以当t∈-∞，0∪2，+∞时，mt的取值范围是-∞，0∪[，+∞．综上，l在x轴上的截距的取值范围是－∞，0∪[，＋∞．（2012·21）设函数fx=ex-ax-2（Ⅰ）求fx的单调区间（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x0时，x-kf´x+x+10，求k的最大值（2012·21）解析（Ⅰ）的定义域为，，若，则，所以在单调递增.若，则当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（Ⅱ）由于，所以.故当时，等价于.令，则.由（Ⅰ）知，函数在单调递增，而，，所以，在存在唯一的零，故在存在唯一的零点.设此零点为，则.当时，；当时，.所以在的最小值为.又由，可得，所以.由于

①式等价于，故整数的最大值为

2.（2011·21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明当，且时，.（2011·21）解析（Ⅰ），由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知fx=，所以，考虑函数，则，所以x≠1时h′x＜0，而h1=0故时，hx0可得，时，hx0可得，从而当，且时，.91。