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第2课时组合数的应用-----■知识对点练■----ZHI SHIDUI DIANLIAN知识点一无限制条件的组合问题
1.某施工小组有男工7名,女工3名,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有()A.Cio种B.Aio种C.ALM种D.UC;种答案D解析每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成第一步,选女工,有种选法;第二步,选男工,有以种选法.故共有CQ种不同的选法.知识点二有限制条件的组合问题
2.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为()A.14B.24C.28D.48答案A解析6人中选4人的方案有a=15种,没有女生的方案只有一种,所以满足要求的选派方案共有14种.
3.将1,2,3,…,9这9个数字无重复地填在如图所示的九个空格中,要求每—行从左到右、每一列从上到下依次增大,当3,4固定在图中位置时,填写空格的方法共有()34A.6种B.12种C.18种D.24种答案A解析二N由题意可得数字1,2,9的位置也是固定的,如图所示,5,6,7,8四个数字在人,B,C,四个位置上,A,3两个位置的填法有C种,C,两个位置则只有C3种填法.由分步乘法计数原理知,不同的填法共有ca=6种.知识点三不同对象分组、分配问题
4.有6本不同的书,按下列分配方式分配,则共有多少种不同的分配方式?1分成三组,每组分别有1本,2本,3本;2分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;3分成三组,每组都是2本;4分给甲、乙、丙三人,每人2本.解1分三步先选一本有a种选法,再从余下的5本中选两本有C种选法,最后余下的三本全选有U种选法.由分步乘法计数原理知,分配方式共有以CC3=60种.2由于甲、乙、丙是不同的三个人,在1问的基础上,还应考虑再分配问题.因此,分配方式共有=360种.3先分三组,有Cgaa种分法,但是这里面出现了重复,不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一组取了A,B,第二组取了C,D,第三组取了E,F,则该种方法记为AB,CD,EF,但ClClCi种分法中还有菌,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,AB,EF,CD,AB,EF,AB,CD,共A孑种情况,而这Aj种情况只能作为一种分法,故分配方式有15种.4在⑶问的基础上再分配即可,共有分配方式扫90种.知识点四相同对象分配问题
5.有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,有多少种不同的分配方案?解先给每个小朋友分三个苹果,剩余18个苹果利用“隔板法”,18个苹果有17个空,插入三个“板”,共有Cb=680种方法,故有30个完全相同的苹果,分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,有680种不同的分配方案.知识点五排列与组合的综合应用
6.某市践行“干部村村行”活动,现有3名干部可供选派,下乡到5个村蹲点指导工作,每个村至少有1名干部,每个干部至多住3个村,则不同的选派方案共有A.243种B.210种C.150种D.125种答案C解析3名干部可供选派,下乡到5个村蹲点指导工作,每个村至少有1名干部,每个干部至多住3个村,于是可以把5个村分为1,1,3和122两组,当为1,1,3时,有=60种,当为1,2,2时,有K~XAS=90种,根据分类加法计数原理可得,共60+90=150种选派方案.
7.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课的课程表,要求数学排在上午前4节,体育排在下午后2节,不同的排法种数是______.答案192解析由题意,要求数学课排在上午前4节,体育课排在下午后2节,有CIC1=8种.再排其余4节,有A%=24种,根据分步乘法计数原理知,共有8X24=192种方法.
8.集合A={KZ|Q10},集合B是集合人的子集,且B中的元素满足
①任意一个元素的各数位的数字互不相同;
②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不为
9.1集合B中两位数和三位数各有多少个?2集合B中是否有五位数?是否有六位数?3将集合8中的元素从小到大排列,求第1081个元素.解将0,1,…,9这10个数字按照和为9进行配对,则有0,9,1,8,2,7,3,6,4,5,故3中元素的每个数位只能从这五组数的每组中至多取一个数构成.1两位数有CX22XA3-CX2=72个,32三位数有dX2XA^-CiX2XA^=432个.2存在五位数,只需从上面五组数的每组中取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,若存在,则至少要从一组数中取出两个数,则这两个数字之和为9,与B中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9矛盾,因此不存在六位数.3由1知,集合8中的两位数有72个,三位数有432个,又四位数共有43C$X2XA^-C^X2XA^=1728个,因此第1081个元素是四位数,且是第577个四位数.我们考虑千位,千位为1,2,3的四位数共有3XaX23XA^=576个,故第1081个元素是
4012.-----■课时综合练■----KE SHIZONG HELIAN
一、选择题1•从2,3,…,8七个自然数中任取三个数组成有序数组,b,c且则不同的数组有A.35组B.42组C.105组D.210组答案A解析不同的数组有0=35组.
2.将4名新来的学生分到高三两个班,每班至少一人,不同的分配方法数为A,12B.16C.14D.18答案C解析每个班至少分到一名学生有两种情况四名学生中有两名学生分在一个班的方法数是CU6;有三名学生分在一个班的方法数是C*A3=
8..L不同的分配方法数为6+8=
14.故选C.
3.凸十边形的对角线的条数为A.10B.35C.45D.90答案B解析Cfo-10=35(条).故选B.
4.某地招募了20名志愿者,他们编号分别为1号,2号,…,19号,20号,如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个编号较大的人在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是()A.16B.21C.24D.90答案B解析第1类,5号与14号为编号较大的一组,则另一组编号较小的有或=6种选取方法.第2类,5号与14号为编号较小的一组,则编号较大的一组有C8=15种选取方法.由分类加法计数原理得,共有6+15=21种选取方法.
5.(多选)某批产品中有一等品100个,二等品80个,三等品30个.从中任取10个进行检验,下列说法正确的是()A.一共有C%种抽取结果B.全部抽到一等品的结果有C%种C.恰好抽到5个二等品的结果有C^oC^o5种D.至少抽到1个一等品的结果有Cio-Clo种答案ABD解析对于A,这批产品一共有100+80+30=21个,从其中任取10个检验,则共有CM种抽取结果,故A正确;对于B,这批产品中有一等品100个,取出10个一等品,共有C18o种抽取结果,故B正确;对于C,恰好抽到5个二等品,则剩下的5个产品从一等品和三等品中抽取,采用分步乘法计数原理,先抽取5个二等品,再抽取5个非二等品,根据分步乘法计数原理可知,一共有以o C30种抽取结果,故C错误;对于D,至少抽到1个一等品的结果数等于所有的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数,即CKo-CM,故D正确.故选ABD.
二、填空题
6.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有________种.答案75解析第一步,先从6名男医生中选出2名男医生有CU15种选法;第二步,从5名女医生中选出1名女医生有CU5种选法.根据分步乘法计数原理可知,选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组的不同选法共有15X5=75种.
7.5名乒乓球队员中有2名老队员和3名新队员,现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员,且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种.答案48解析两老一新时,有CKW必=12种排法;两新一老时,有=36种排法.故共有12+36=48种排法.
8.艺术节期间,秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A,B,C三个不同的演出场馆工作,每个演出场馆至少派一人,则不同的分派方案有_______种,若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作,则不同的分派方案有_________种.答案3630解析间接法四个人分别到三个不同的演出场馆工作,每个演出场馆至少派一人的方法总数为CZA§=36,甲、乙两人在同一演出场馆工作的方法数为Al=6,故甲、乙两人不能到同一演出场馆工作的不同的分派方案有36-6=30种.
三、解答题
9.编号分别为1,2,3,4的4个盒子和4个小球,把小球全部放入盒子.问1共有多少种不同的放法?2恰有2个空盒,有多少种不同的放法?解11号小球可放入任意一个盒子内,有4种放法.同理,2,3,4号小球也各有4种放法,故共有44=256种放法.2恰有2个空盒,也就是把4个小球只放入2个盒子内,有两类放法第一类一个盒子内放1个小球,另一个盒子内放3个小球.先把小球分为两组,其中一组1个,另一组3个,有CU种分法,再放到2个盒子内,有A2种放法,共有C*A种放法.第二类2个盒子内各放2个小球.先把4个小球平均分成2组,每组2个,有种分法,再放到2个盒子内,有扇种放法,共有土寸种放法.由分类加法计数原理知,共有CUi+譬=84种不同的放法.
10.高二⑴班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中选出3名同学参加活动.1其中某一女生必须在内,不同的选法有多少种?2其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种?3恰有2名女生在内,不同的选法有多少种?4至少有2名女生在内,不同的选法有多少种?5至多有2名女生在内,不同的选法有多少种?解1从余下的34名学生中选取2名,有晶=561种.不同的选法有561种.2从34名可选学生中选取3名,有C=5984种,或者建-C,4=CU=5984种.不同的选法有5984种.3从20名男生中选取1名,从15名女生中选取2名,有C1OC5=21OO种.不同的选法有2100种.4选取2名女生有CAoC5种,选取3名女生有2七种,选取方法共有CloC5+C5=2100+455=2555种.不同的选法有2555种.5选取3名的总数有任5,因此选取方法共有C5-C5=6545-455=6090种.不同的选法有6090种.。