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高考命题创新对应学生分册第73页◎创新点1彰显数学的美【例1](2021年辽宁省高三一模)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单樵和重樵之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为8这个角接近30°若取8=30°侧棱长为面米,则().正四棱锥的底面边长为4米正四棱锥的底面边长为3米C.正四棱锥的侧面积为24归平方米D.正四棱锥的侧面积为12归平方米答案・C斤-如图,在正四棱锥SM5CD中,为正方形ABCD的中心,〃为的中点则SHlAB.设底面边长为2a则OH=AH=a.所以正常人体血液的pH值的范围是[
7.
357.45]故选D.过关•题组训练对应专题训练卷第53页基础过关L定义集合运算:A-B={x/xeA且对毋若A={x/2^1}B={X|名1}则A-B=().{a/-1《X0}B.{a/-1Wx0}C.(a/-1a^0)D.{为0*1}答案》A而由2X1得在0;由名1得x1或*-
1../4气妙占0}3=(为*1或x-1}.又A-B={x/xAt且界5}.:45=(功)}~(松1或x-1}=(a/-1WK0}4B={a/-1《X0}.故选A.在平面直角坐标系中,圆己/犬尸1)2=9与x轴火轴的正半轴分别交于凡5两点,为坐标原点,则/OB^OA/=().3V2B.4C.2V3D.3答案■C解析■在圆甲犬尸m中,令户0得尸2则伏02);令小0得x-2据,则4(2归0).故扁式-2据2)所以而而/铜/=(-2/)2+22=271现有一幅水墨画的规格为纵70cm横53cm.该画挂在墙壁上的最低点处5离地面230cm(如图所示).有一身高为175cm的游客从正面观赏它(该游客头顶7■到眼睛C的距离为15cm)设该游客离墙的距离为xcm视角为
8.为使观赏视角3最大x应为.答案■70V2而过点C作CD1AB于点设』ACD=a/BCD邛则0=a-/
3.由题意知,如=230~175-15=70cmnO=7R70n40cm.0°咨兰¥,tan6翠弓、c14070f切用n闻-露黑勇每-策2XXX+―-—.:当且仅当Q尹,即x=70/时tan取得最大值,此时也最大.综合提升
1.从2357这四个数字中任取两个不同的数字,分别记为X*则In-X的概率是.答罗■C解析■法一从2357这四个数字中随机取出两个不同的数字,共有A*种不同的取法.满足In凌乂即j1即的情况为:当尸2时x有C*种不同的取法;当时x有C{种不同的取法;当时x有C种取法;当*=7时,不满足题意.所以共有Cj+Cj+C;种取法.故In的概率是虫料苇W•故选°法二从2357这四个数字中随机取出两个不同的数字,共有您种不同的取法.其中和对于函数y=5若存在区间[己同当At[aZ]时《力的值域为[后,佝厕称为A倍值函数.若《力为、是A倍值函数,则A的取值范围为.09B.1eC.e*»dQ+co答案■C解析-*=力在定义域R内单调递^.\1{a=ka1b=kb即e3=kaeb=kb即aZ是方程牙=火牙的两个不同的根,.:k=—.设p(为《,则g(力%)•当妇时g(力0函数p(为单调递减;当x1时pWX)函数p(力单调递增..:々1是成为的极小值点.:—x)的极小值为p
(1)=e又当x趋向0时4为趋向如,当x趋向如时p(力趋向.当4e时,直线*=#和函数y=g(力的图象有两个交点即方程、=奴有两个不同的根,.:实数4的取值范围是(e**).故选C.
6.若命题lVxX)lnx^-aQ恒成立”为假命题则实数a的取值范围是.答案A-命题,xOln对必30恒成立”为假命题则命题“3A0)lnxo^x^-3Qn为真命题.令犬力=nx-^x2-a得Kinxj
2.设p(为=lnx^a2则(力+*=岷.令(为0得01令g(力0得x1则p(力在
(01)上单调递增,在
(1)上单调递减,从而成力《如)=*故布*.已知在矩形ABCD中/HmOWEf分别为边ABCD上的动点(不与端点重合),且EF\\AD将四边形ADFE沿折起使平面ADFEl平面BCFE连接ABCD当三棱柱ABE-DCF的体积最大时,该三棱柱的外接球体积为如图所示,设AE=x则BEH-x折得的几何体为三棱柱ABE-DCF因为平面ADFE1平面BCFEy可得AE1BE.所以入国四^必-力加:乂号尸杰当且仅当x=4-X即户2时三棱柱AEB-DFC的体积最大.设该三棱柱的外接球的半径为/则2/=位0/4+4+92可得/畔,所以所求外接球的体积1/球-苦3-17舟OO创新情境
8.一百零八塔因塔群的塔数而得名,是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一,塔群随山势凿石分阶而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为133557,…若该数列从第5项开始成等差数列,则该塔群共有().10层B.11层C.12层D.13层斤・设塔群共有层,该数列为{}.依题意,可知缶,,…成等差数列,且公差为255=5所以1佑倾〃旬妲^保*2=08解得或〃=8(舍去).故选C.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年,雅各布伯努利(JakobBernoulli1654-1705)正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案,给出悬链线的XZ数学表达式5=ax)sh土苹孝(其中a为常数).当3=1时所得的函数是双曲余弦函数(cosh)ClL即W-coshx些与二则下列对双曲余弦函数的说法正确的是().双曲余弦函数的定义域为(呵)值域为
(1)双曲余弦函数在定义域内是奇函数双曲余弦函数在区间
(90)上单调递增在区间(0枝)上单调递减,且伺max=0)=1双曲余弦函数不是周期函数答案>D阿打A由双曲余弦函数的定义知,该函数的定义域为关于原点对称,又力芸芋F力所以双曲余弦函数在定义域内是偶函数,故B不正确;因为E竖芸所以W号|土所以当xX)时,/WM)函数心)在区间(0处)上单调递增,当x<0时,/(力<0函数5在区间(-牛0)上单调递减,所以向minF0)=1故C不正确;由上面的解析知<力可)=1所以函数伺的值域为故A不正确;由函数周期性的定义知,不存在非零实数7;使得Rk7)=5故D正确.故选D.)早在古巴比伦时期,人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶,数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法,此后数学家又发现一元〃次方程有〃个复数根(重根按重数计).已知其中i为虚数单位)是方程23-1=0的一个复数根,若用(L表示S的共辕复数,则下列结论正确的是().((L)3=-1D21三净答案AA解析*•因为少
①』-+号i)i)W专=,故A正确;因为泌V4+yi)弓涔i3亏单所以以《=0故B错误;因为
(3)3日3)
2.3<号-乎i)+亨i)•“敏)-1所以有也为方程28-10的一个复数根,故C错误;因为不=1所以孕21=疑732*因为/为方程zMF的一个复数根,所以以212虹故D借误.故选A.实际应用岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上,紧靠洞庭湖畔,下瞰洞庭,前望君山其始建于东汉建安二十年(215年)历代屡加重修,现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼,邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有“洞庭天下水,岳阳天下楼”之美誉.某学生为测量岳阳楼的高度,如图,选取了与岳阳楼底部水平的直线4G测得zDAC^30°zDBC=45°AB=^4米,则岳阳楼的高度8约为.归=
1.41475=
1.732A.18米B.19米C.20米D.21米币在RS/WC中,/加C=30则AC场CD.在R^BDC中/Q8C=45则8C=CD.由AC-BC=AB得扼CD-CD=14则8=^=7归+1=
19.124所以CQ约为19米.故选B.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式:C=Wog2(l+$)其中C是数据速率的极限值单位为bit/s;为信道带宽单位为Hz*为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着重要的作用从香农公式中可以看出,提高信息的传送速率的关键在于提高信道带宽(为和信噪比(f).现把信道带宽从200Hz提高至1000Hz同时信噪比*从255提升至1023则最大数据传输速率可以提N倍.♦将0=200Hz§=255时的最大数据传输速率记为G妇000Hz*=023时的最大NN数据传输速率记为Q则旨端器牌部号夸.因为』SHO=30°所以OS^a、SH蜂a.在中,孕《亨af=21解得a=3故底面边长为6米侧面积S^6*2V3M-24V3平方米.故选C.(2021年江苏省高三期中)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,半正多面体体现了数学的对称美.如图所示的是一个棱数为24的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的棱上且此正方体的棱长为1则下列关于该多面体的说法中错误的是().多面体有12个顶点14个面多面体的表面积为3多面体的体积为言多面体有外接球(即经过多面体所有顶点的球)答案AB斤・一个棱数为24的半正多面体有12个顶点14个面.可将半正多面体补成棱长为1的正方体,故其顶点是正方体各棱的中点则半正多面体的棱长为学所以多面体的表面积殍X.X亨冷乂亨)2验归.又多面体的体积可看作正方体的体积减去八个三棱锥的体积,所以多面体的体积冏七乌碧)捋.因为正方体的中心到多面体各顶点的距离都相等,所以该多面体有外接球.故选B.(2021年江西省高三模拟)比萨斜塔是意大利的著名景点,因斜而不倒的奇特景象而世界闻名.把地球看成一个球(球心记为地球上一点4的纬度是指O/I与地球赤道所在平面所成的角04的方向即4点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于北纬44经过测量,比萨斜塔朝正南方向倾斜,且其中轴线与竖直方向的夹角为4则中轴线与赤道所在平面所成的角为().A.40°B.42°C.480D.5O0答案■A如图所示为比萨斜塔的中轴^zAOD=44°zBAP=4°t则nQ4C-40故中轴线与赤道所在平面所成的角为40°.,创新点2弘扬古代数学名著(2021年山东省高三月考)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的蓦长损益相同(唇是按照日影测定时刻的仪器,唇长为所测量影子的长度).二十四节气及唇长变化如图所示,相邻两个节气唇长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的客长为一丈三尺五寸,夏至的暑长为一尺五寸,则下列说法错误的是().(一丈等于十尺一尺等于十寸)小寒比大寒的唇长长一尺春分和秋分两个节气的唇长相同小雪的唇长为一丈五寸立春的暑长比立秋的唇长长答案》C衅f»由题意可知由夏至到冬至的容长构成等差数列{s}其中31=15313=35则公差妇0同理可得由冬至到夏至的唇长构成等差数列{绥},其中加-135加3=15则公差=-10故大寒与小寒相邻,小寒比大寒的暑长长10寸,即一尺故选项A正确;因为春分的卷长为〃2TdJ135W0=75秋分的唇长为少=3幻妇540=75所以春分和秋分两个节气的暑长相同故选项B正确;因为小雪的署长为ai=a”0妇5*00=115又115寸即一丈一尺五寸,所以小雪的唇长为一丈一尺五寸,故选项C错误;因为立春的唇长和立秋的唇长分别为所和血,34=51#3妇5*30=45匆=由+3d=\35-30=105所以务>务即立春的星长比立秋的唇长长故选项D正确.故选C.(2021年江苏省三模)南宋数学家杨辉《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列前后两项之差不相等但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前6项分别为1613244166则该数列的第7项为().A91B.99C.101D.113答案■C解析晚由题意可知
1613244166...的逐项差组成的数列为57111725,…这个数列的逐项差组成的数列为
2468...是等差数列,则该数列的第7项为1025与6=
101.故选C.◎创新点3社会、科技前沿热点问题【例3】
(1)(2021年安徽省一模)2020年12月17日嫦娥五号返回器携带1731克月球土壤样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆,至此我国成为世界上第三个从月球取回土壤的国家.某科研所共有ABCDEF六位地质学家,他们全部应邀去甲、乙、丙三所不同的中学开展月球土壤有关知识的科普活动,要求每所中学至少有一名地质学家其中地质学家/被安排到甲中学,则共有()种不同的派遣方法.A.180B.162C.160D.126
(2)(2021年新高考全国/倦)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨迹高度为36000km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离).把地球看成一个球心为,半径为6400km的球其上点/的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为a该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2tt/2(1-cosa)(单位:km则S占地球表面积的百分比为().A.26%B.34%C.42%D.50%答案■
(1)A
(2)C•解彳》
(1)根据题意,分2步进行分析
⑦将AB、CDE、F六位地质学家分为3组若分为114的三组,有C*h5种分组方法若分为123的三组,有qCj=60种分组方法,若分为222的三组,有遂善-15种分组方法,A3则共有15书0+15=90种分组方法.雀将A所在的组安排到甲学校剩下的2组安排到其他两个学校,有2种安排方法则共有90*2=180种安排方法.故选A.⑵由题意可得8S%球蒙旗度篇岩%恳所以S占地球表面积的百分比为竺碧羿峙嘴=42%.故选C.(2021年湖南省模拟)“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜(如图).其反射面的形状为球冠(球冠是球面被平面所截后剩下的曲面截得的圆为底,垂直于圆面的直径被截得的部分为高,球冠面积S-2tt//7其中/为球的半径力为球冠的高),设球冠底面的周长为C半径为则当C=2TTS-16n时*=(A等C誓D誓务B解析A:2iTr=2TT.:U
1.:S=2tt//7=16tt„.//7^
8./2犬/2=序,-音七6崩n,解得尽来,即尺当**邛,故选B-2021年江苏省二模红外统自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触,降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎,某厂生产的红外线自动测温门,其测量体温误差服从正态分布M
0.1Q32从已经生产出的测温门中随机取出一件,则其测量体温误差在区间
0.407内的概率为.附:若随机变量f服从正态分布M,*,则中丑$
8.27%R“-2功D
5.45%答案■
13.59%•由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布MO.
10.32得“F.1次.
3.溯量体温误差在区间
0.
4.
0.7内的概率^04f7=/^z/^fZ/*27^[a^-2crf7/*267-/^//-7fZ/^]^*
95.45%-
68.27%=
13.59%.◎创新点4新定义、新信息迁移问题2021年八省联考北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2tt与多面体在该点的面角之和的差多面体的面的内角叫作多面体的面角,角度用弧度制,多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是所以正四面体在各顶点的曲率为2口3楠不1故其总曲率为4tt.求四棱锥的总曲率.若多面体满足顶点数技数,面数-2证明:这类多面体的总曲率是常数.M»1由题可知四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑,所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知,四棱锥共有5个顶点5个面,其中4个为三角形1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个三角形的内角与1个四边形的内角组成,则其总曲率为2tt*5-4tt*211=4tt.2设多面体的顶点数、棱数、面数分别为〃/祖所以n-1+mW设第/.个面的棱数为X所以xi+xi+...所以总曲率为-2犬总-2+...犬%-2]=2ttp-tt2/-2/77=2tt〃-A777=4tt所以这类多面体的总曲率是常数.lEB^I2021年湖北省模拟定义域是一个函数的三要素之一,已知函数Jzz的定义域为[211985]则函数shuangyiliu力=Jzz妃018力+Jzz戚2021力的定义域为.A[丑竺]B[也耍]L20182021JL20212018j答案》A解析■由抽象函数的定义域可知,爵<2021%<膘:解得赧*器所以所求函数的定义域为端,制•故选A・2021年北京市一模对于平面直角坐标系x©中的两组点,若存在一条直线ax+by+c=Q使这两组点分别位于该直线的两侧则称该直线为“分类直线”.对于一条分类直线匕记所有的点到/的距离的最小值为6约定越大,分类直线/的分类效果越好.某学校高三2班的7位同学在2020年期间网购文具的费用A单位:百元和网购图书的费用乂单位:百元的情况如图所示,现将和丹归为第厘点,将和Q归为第湖点在上述约定下,可得这两组点的分类效果最好的分类直线记为£.给出下列四个结论115234M百元)直线x=
2.5比直线3x-y-5=Q的分类效果好;雀分类直线£的斜率为2;争该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元,则小明的这两项网购费用所对应的点与第/鹿点位于L的同侧;您如果从第俎点中去掉点第/蛆点保持不变那么分类效果最好的分类直线不是L.其中所有正确结论的序号是.答案■2@®后对于,由题图可知,闩
1.52013凡23R24931Q32643当分类直线为好.5时6命当分类直线为3x-y-5=Q时泌畔岑.直线3x-y-5-0比直线x-
2.5的分类效果好,故
⑦错误;对于
②,由题分析可知,直线L的位置由pq6确定,过点Q作直线41直线门只,则当/■位于这两条平行线中间位置并与这两条平行线平行时直线/■即为所求,此时kL=kP1P3=Q故
②正确;对于
③,当点只到直线L的距离与点Q到直线L的距离相等时,点33在L的右侧,故
③正确;对于
④,去掉点后2k3+b0k2+b、解得4=1故
④正确.◎创新点5多学科的交汇与融合问题【仇5;12020年山东卷日唇是中国古代用来测定时间的仪器,利用与唇面垂直的唇针投射到暑面的影子来测定时间.把地球看成一个球球心记为,地球上一点4的纬度是指04与地球赤道所在平面所成角,点4处的水平面是指过点/且与04垂直的平面.在点/处放置一个日唇,若唇面与赤道所在平面平行点/处的纬度为北纬40则唇针与点4处的水平面所成角为•A.20°B.40°C.50°D.90°22021年河南省高三一模某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度,其工作原理为:激光器发出的光平均分成两束射出,在被测物体表面汇聚,探测器接收反射光.当物体横向速度不为零时,反射光相对探测光会发生频移琴改其中1/为测速仪测得被测物体的横向速度4为激光波长为两束探测光线夹角的一半.如图,若激光测速仪安装在距离高铁1m处,发出的激光波长/l=1600nm1nm=10^m测得某时刻频移右-
9.0对091句则该时刻高铁的速度约等于._40mm—A360km/hB.340km/hC.320km/hD.300km/h耕1B2A解析-1画出截面图如图所示,其中CD是赤道所在平面的截线/是点处的水平面的截线,依题意可知O0AB是唇针所在直线.0是唇面的截线,依题意唇面和赤道平面平行,唇针与唇面垂直,根据平面平行的性质定理可知m\\CD根据线面垂直的定义可得AB±m.由于^AOC^MCD所以/OAG=zAOCNO°由于z04G+zGAE=zBAE+匕GAE=QQ\所以zBAE=zOAG=40°^针与点4处的水平面所成的角为zBAE=4Q°.(2021年广东省一模)当人的心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/60mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式以/)=101*25sin(160n/)M中岗为血压(单位:mmHg)/为时间(单位:min)则下列说法正确的是().收缩压和舒张压均高于相应的标准值收缩压和舒张压均低于相应的标准值收缩压高于标准值,舒张压低于标准值收缩压低于标准值,舒张压高于标准值答案・C辫析=101*25sin(160tt/):-1sin(160tt/)
1..p(妇76126]即收缩压为126舒张压为
76.:读数120/80mmHg为标准值,:收缩压高于标准值,舒张压低于标准值,故选C.
2.(2021年河北省模拟)溶液酸碱度是通过pH计算的pH的计算公式为pH=g[H]其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔所•,人体血液的氢离子的浓度通常在1X10-
7.45~1XI0-
7.35之间,如果发生波动,就是病理现象那么正常人体血液的pH值的范围是().A.[
7.
257.55]B.[
7.
257.45]C.[
7.
257.35]D.[
7.
357.45]答案■D解析■依题意,令pHi=-lg[1x10-7^]=
7.45iPH2=-|g[lx10-735]=
7.35i。