对称矩阵与反对称矩阵的若干性质3

一、预备知识定义1子式称为的顺序主子式.定义2的所有顺序主子式全大于0,则正定.定义3如果n级复矩阵满足，那么是酉矩阵.定义4矩阵成为对称的，如果，即.定义5矩阵成为反对称的（斜对称的），如果，即.定义6正交对角化的定义一个矩阵称为可正交对角化，如果存在一个正交矩阵和一个对角阵，使得.定义7矩阵对称，即满足，则称为复对称矩阵.定义8数域P上nn矩阵，称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C,使B.

二、对称矩阵与反对称矩阵的若干性质

1、对称矩阵的特有性质

（1）实对称矩阵的性质性质1矩阵是对称矩阵，则可对角化.下面以例1为例介绍对称矩阵化为对角阵的方法.例1对角化矩阵Stepl:求矩阵的全部特征根det所以的全部特征根是8,6,

3.Step2:对于特征值求出齐次方程0的解以同样的方法求出特征值，的解分别是/•Step3:令,则存在矩阵P,使得DAP为对角矩阵.观察上例，我们知对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，故可得出以下定理定理1如果是对称矩阵，那么不同特征值对应的特征向量是正交的.证明设、是对应不同特征值、的特征向量.为证明0,计算因此0,但是，所以.性质2对称矩阵可正交对角化下面以例2为例介绍对称矩阵正交对角化的方法.例2设，求正交矩阵使得为对角矩阵.解因此特征值为1,

3.解方程X0,得特征向量，令解方程X,得特征向量，.将，正交化，令，加单位化得，一令正交矩阵,则性质3对称矩阵与二次型的标准型，即对称矩阵的对角化问题.上的一个二次型是一个定义在上的函数，它在向量x处的值可由表达式计算，此处是一个nn对称矩阵，旦矩阵称为二次型的矩阵.由对称矩阵的合同标准型定理知，任意对称矩阵都可合同于一对角阵，将此与二次型的标准型联系，就可得到将二次型化为标准型的方法.下面通过例题说明；例3求一变量替换xy,把二次型4化为标准型.解二次型的系数矩阵是因此特征值为2,2,

8.特征值对应的特征向量为,，.令,则二次型的标准型为

2.由前面的讨论可知，为对称阵，则也可正交对角化，那么上例也可求一正交阵Q,将二次型化为标准型.只需将，正交化，单位化得Q,则Q为正交阵，将原二次型化为标准型

2.性质4设是n级实对称矩阵，且，则存在正交矩阵，使得证明由于是实对称矩阵，则存在正交阵，使，其中，…，为的特征值全为实数，可不妨设,那么，由于，因此1,从而i,所以.性质5设是n级实对称矩阵，且,则存在正交矩阵，使得证明因是实对称矩阵，故的物征值，…,，不妨设，则存在正交阵，使，由于，因此，因此0或者，所以结论成立.性质6秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩为1的对称矩阵之和.证明由题设，，且R,那么存在可逆矩阵使，其中Ddiag,0,令diag il,2,…r,那么C…C,每个C都是对称矩阵，且秩为

1.性质7设是n级实对称矩阵，则正定的充分必要条件是的特征值全正.证明因是实对称矩阵，则特征值，，…，均为实数，且存在正交阵T,使.而合同关系保持正定性，因此正定当且仅当正定当且仅当

2、复对称矩阵的特有性质性质1复对称矩阵与实对称矩阵的区别复对称矩阵与实对称矩阵的显著区别之一是不一定能对角化.例矩阵是不可对角化的事实上，如果存在非奇异矩阵P和对角矩阵，使，那么D,从而,矛盾.

3、负对称矩阵与实对称矩阵的类比性质复对称矩阵的Takagi分解定理:设是对称矩阵，则存在酉矩阵和非负对角矩阵,使得.其中U的列是特征向量正交组，的对角元素是的相应特征值的非负平方根.性质1设，对称的充分必要条件是存在矩阵使得S,令S,其中U是酉矩阵，而D.证明矩阵对称，则由Takagi分解定理S.其中.反之，若S,则显然对称.性质2设是n级实对称矩阵，则存在正定阵S,使.证明由于正定，则存在正交阵T,使AT,其中

0.令，则0,取矩阵ST,则显然S也是正定矩阵，且.例4设正定矩阵，求正定矩阵S,使.解0,特征值为1,

4.特征值1对应的线性无关特征向量,，正交化得,.4所对应的特征向量.将单位化得，，.取正交矩阵T,则，令S,则.性质3对称矩阵的谱分解假设,此处P的列是的单位正交特征向量，…,,且相应的特征值，…,属于对角矩阵，那么.利用乘积的行列展开，我们可以得到

（2）由于它将分解为的谱（特征值）确定的小块，这个的表示就称为的谱分解,而

（2）中每一项都是一个秩为1的nn的矩阵.性质4任一复对称矩阵合同于规范形，其中r；任一实对称矩阵合同于规范形，其中p称为的正惯性指数，rp称为的负惯性指数，2pr称为A的符号差.

2、反对称矩阵的特有性质由于反对称矩阵的特殊性，使其有了与对称矩阵不同的性质.性质1若，都是数域P上的n级反对称矩阵，则，k（k）亦都是反对称矩阵.证明，都是反对称矩阵，根据定义，，而，k.故，k（k）亦都是反对称矩阵.性质2反对称矩阵的主对角元素全为

0.证明为反对称矩阵，，对于主对角线上的元素，所以0,故结论成立.性质3数域P上奇数级反对称矩阵的行列式等于

0.证明设是n级反对称矩阵，n是奇数，贝IJ.从而，于是，由此得出，20,因此0,结论得证.性质4设是反对称矩阵，则合同于diag,其中S,即反对称矩阵的秩一定是偶数.证明设是非零反对称矩阵（显然对于零矩阵，结论成立），用归纳法证明.n2,反对称矩阵，明显地合同于，结论成立.假设nk时结论成立.当nkl时，若最后一列全为0,则最后一行也全为0,,由归纳结论成立，若最后一列不全为0,不妨设0,先对作合同变换再利用右下角，1,1,通过一系列的合同变换，可将两行两列的其余非零元素全化为0,那么合同于，其中仍为反对成矩阵，因此矩阵合同于，由归纳，则nkl时结论也成立.

3、实对称矩阵与反对称矩阵的类比性质性质1若是实对称矩阵，那么也是实对称矩阵.证明由于是实对称矩阵，所以.，故也是实对称矩阵.性质2若是反对称矩阵，那么也是反对称矩阵.证明由于是反对称矩阵，所以.，故也是反对称矩阵.性质3设为实对称矩阵，则的特征值均为实数.证明设是的特征值，于是有非零向量满足令其中是的共辄复数，则.在式两边取转置得,即由和可知而故，即是一个实数.性质4反对称实对称矩阵的特征值是枣或纯虚数.证明由于是实反对称矩阵，因此，且，设C为S的一特征值，且0为对应的一特征向量，那么，对其分别取转置与共观，贝I」，，，将两式相加，得0,即为零或纯虚数.性质4数域P上任一n级矩阵都可以表示成一个堆成矩阵与一个反对称矩阵之和，且表法唯一.证明，由于，，因此是对称矩阵，是反对称矩阵.从而是对称矩阵，是反对称矩阵.故结论成立.性质5设是一个n级矩阵，则是反对称矩阵当且仅当对任一n维列向量X,有0;如果是对称矩阵，且对于任一n维列向量有0,那么

0.证明（必要性）设是反对称矩阵，即，由于，因此，即20,即得

0.（充分性）由于任给n维列向量X,均有0,即0,因此可取（第i分量是1,其他份量为零的n维列向量）代入，则

0.再取代入，则得0,即,所以是反对称矩阵.设是对称矩阵，即，由于任一n维列向量X,有0,由也是反对称矩阵，即，那么，所以

0.性质6若对称矩阵可逆，则也是对称矩阵；若反对称矩阵可逆，则也是反对称矩阵.证明设为对称矩阵且可逆，则，故也是对称矩阵.设为反对称矩阵且可逆，则，故也是对称矩阵.性质7若对称（反对称），则它的合同矩阵也对称（反对称）.证明设矩阵对称，与合同，则存在可逆矩阵使，故P.若为反对称矩阵，用同样的方法亦证明.。