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2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编10.立体几何
一、选择题(2017·6)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A.90B.63C.42D.36(2017·6)(2016·7)(2015·6)(2014·6)(2016·4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为()A.B.C.D.(2016·7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π(2015·6)一个正方体被一个平面截取一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.(2015·10)已知A、B是球O的球面上两点,∠AOB=90º,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36πB.64πC.144πD.256π(2014·6)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.(2014·7)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为()A.3B.C.1D.(2013·9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是101110011000,画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为()(2012·7)如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.9C.12D.18(2012·8)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为()A.πB.4πC.4πD.6π(2011·8)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为()A.B.C.D.
二、填空题(2017·15)长方体的长、宽、高分别为321,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(2013·15)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.(2011·16)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.
三、解答题(2017·18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明直线BC∥平面PAD;
(2)若△PAD面积为,求四棱锥P-ABCD的体积.(2016·19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D´EF的位置.(Ⅰ)证明;(Ⅱ)若,求五棱锥D´—ABCEF体积.(2015·19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.(2014·18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的点.(Ⅰ)证明PB//平面AEC;(Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A点到平面PBD的距离.(2013·18)如图,直三棱柱中,,分别是,的中点.(Ⅰ)证明平面;(Ⅱ)设,,求三棱锥的体积.(2012·19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,,D是棱AA1的中点.I证明平面BDC1⊥平面BDC;(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(2011·18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明PA⊥BD;(Ⅱ)若PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编10.立体几何
一、选择题(2017·6)B解析由题意,该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱,故其体积为,故选B.(2016·4)A解析因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为,所以正方体的外接球的半径为,所以球面的表面积为,故选A.(2016·7)C解析因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成,所以其表面积为,故选C.(2015·6)D解析截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.(2015·10)C解析设球的半径为R,则△AOB面积为,三棱锥O-ABC体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时,所以球O的表面积.(2014·6)C解析原来毛坯体积为π·32·6=54πcm2,由三视图得,该零件由左侧底面半径为2cm,高为4cm的圆柱和右侧底面半径为3cm,高为2cm的圆柱构成,所以该零件的体积为π·32·2+π·22·4=34πcm2,则切削掉部分的体积为54π-34π=20πcm2,所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为,故选C.(2014·7)C解析∵B1C1//BD,∴BD//面AB1C1,点B和D到面AB1C1的距离相等,故选C.(2013·9)A解析在空间直角坐标系中,先画出四面体O-ABC的直观图,以zOx平面为投影面,则得到正视图如右图,故选A.(2012·7)B解析由三视图知,其对应几何体为三棱锥,其底面为一边长为6,这边上高为3,棱锥的高为3,故其体积为=9,故选B.(2012·8)B解析设求圆O的半径为R,则,.(2011·8)D解析由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥后面是一个圆锥,选D.
二、填空题(2017·15)14π解析球的直径是长方体的对角线,所以.(2013·15)解析设正四棱锥的高为,则,解得高.则底面正方形的对角线长为,所以,所以球的表面积为.(2011·16)解析由圆锥底面面积是这个球面面积的,得所以,则小圆锥的高为,大圆锥的高为,所以比值为.
三、解答题(2017·18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明直线BC∥平面PAD;
(2)若△PAD面积为,求四棱锥P-ABCD的体积.(2017·18)解析
(1)在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90º,所以BC//AD.又,故BC//平面PAD.
(2)取AD的中点M,连结PM,CM,由及BC//AD,知四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,,所以CM⊥面PAD,因为,所以CM⊥PM.设BC=x,则CM=x,,PC=PD=x取得中点,连结,因为△PCD的面积为,所以,解得x=-2(舍去)x=2,于是AB=BC=2,AD=4,,所以四棱锥P-ABCD的体积.(2016·19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D´EF的位置.(Ⅰ)证明;(Ⅱ)若,求五棱锥D´—ABCEF体积.(2016·19)解析(I)由已知得,又由得,故由此得,所以(II)由得由得所以于是故由(I)知,又,所以平面于是又由,所以,平面又由得五边形的面积所以五棱锥体积(2015·19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.(2015·19)解析(Ⅰ)交线围成的正方形EHGF如图(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=
8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=
10.于是MH=.因为长方体被平面分为两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为(也正确).(2014·18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的点.(Ⅰ)证明PB//平面AEC;(Ⅱ)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A点到平面PBD的距离.(2014·18)解析(Ⅰ)设AC的中点为O,连接EO.在三角形PBD中,中位线EO//PB,且EO在平面AEC上,所以PB//平面AEC.(Ⅱ)∵AP=1,,,,∴,作AH⊥PB角PB于H,由题意可知BC⊥平面PAB,∴BC⊥AH,故AH⊥平面PBC.又,故A点到平面PBC的距离.(2013·18)如图,直三棱柱中,,分别是,的中点.(Ⅰ)证明平面;(Ⅱ)设,,求三棱锥的体积.(2013·18).解析(Ⅰ)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(Ⅱ)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A
1.由AA1=AC=CB=2,得∠ACB=90°,,,,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以.(2012·19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,,D是棱AA1的中点.I证明平面BDC1⊥平面BDC;(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.(2012·19)解析(Ⅰ)由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C∴BC⊥面ACC1A1,又∵DC1面ACC1A1,∴DC1⊥BC,由题设知∠A1DC1=∠ADC=45º,∴∠CDC1=90º即DC1⊥DC,又∵DC∩BC=C∴DC1⊥面BDC,∵DC1面BDC1,∴面BDC⊥面BDC
1.(Ⅱ)设棱锥B-DACC1的体积为,=1,由题意得,,由三棱柱ABC-A1B1C1的体积,∴,∴平面BDC1分此棱柱为两部分体积之比为1:
1.(2011·18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明PA⊥BD;(Ⅱ)若PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.(2011·18)解析(Ⅰ)因为∠DAB=60º,AB=2AD,由余弦定理得,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD,又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(Ⅱ)过D作DE⊥PB于E,由(I)知BC⊥BD,又PD⊥底面ABCD,所以BC⊥平面PBD,而DE平面PBD,故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC,由题设知PD=1,则BD=PB=2,由DE·PB=PD·BD得DE=,即棱锥D-PBC的高为.·A.B.C.D.DPABCBACDB1C1A1DPABCBACDB1C1A1BACDB1C1A1。