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相邻问题捆绑法例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )种A.720 B.360 C.240 D.120解因甲、乙两人要排在一起,故将甲、乙两人捆在一起视作一人,与其余四人进行全排列有种排法;甲、乙两人之间有种排法由分步计数原理可知,共有=240种不同排法,选C相离问题插空法例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,有多少不同的排法?(只要求写出式子,不必计算)解先将6个歌唱节目排好,其不同的排法为种;这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目,有种排法由分步计数原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种
三、定序问题缩倍法例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号现有3面红旗、2面白旗,把这5面旗都挂上去,可表示不同信号的种数是__________(用数字作答)解5面旗全排列有种挂法,由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法,故共有不同的信号种数是=10(种)
四、标号排位问题分步法例4 同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年卡的分配方式有( )A.6种 B.9种 C.11种 D.23种解此题可以看成是将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,且每个方格的标号与所填数不同的填法问题所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法;第二步把被填入方格的对应数字,填入其它3个方格,又有种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两格中,只有1种填法故共有3×3×1=9种填法,而选B
五、有序分配问题逐分法例5 有甲、乙、丙三项任务,甲需由2人承担,乙、丙各需由1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有( )种A.1260 B.2025 C.2520 D.5040解先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下8人中选1人承担乙项任务,最后从剩下7人中选1人承担丙项任务根据分步计数原理可知,不同的选法共有=2520种,故选C
六、多元问题分类法例6 由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有( )A.210个B.300个C.464个 D.600个解按题意个位数只可能是0,1,2,3,4共5种情况,符合题意的分别有,个合并总计,共有+=300(个),故选B另解先排首位,不用0,有种方法;再同时排个位和十位,由于个位数字小于十位数字,即顺序固定,故有种方法;最后排剩余三个位置,有种排法故共有符合要求的六位数=300(个)
七、交叉问题集合法例7 从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?解设全集U={6人中任取4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有=252(种)
八、部分符合条件淘汰法 四面体的顶点及各棱中点共有10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有( )A.150种 B.147种C.144种D.141种解10个点中取4个点共有种取法,其中同一侧面内的6个点中任取4个点必共面,这样的面共有4个;又同一条棱上的3个点与对棱的中点也四点共面,共有6个面;再各棱中点共6个点中,取四点共面的平面有3个故符合条件4个点不共面的取法共有=141(种),故选D
九、多排问题单排法例9 两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每人一座位),则不同的坐法种数为( )A. B. C. D. 解此题分两排坐,实质上就是8个人坐在8个座位上,故有种坐法,所以选D
十、至少问题间接法例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )种A.140 B.80 C.70 D.35解析在被取出的3台中,若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意,故符合题意的取法有=70种,选C
十一、选排问题先取后排法例11 四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有_________种(用数字作答)解先从四个小球中取两个放在一起,种不同的取法;再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆,并分别放入四个盒子中的三个盒子中,有种不同的放法依据分步计数原理,共有种不同的方法。