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概率论与数理统计复习题一.填空题1设4伐为三个事件,用4B,的运算关系式表示下列事件:4B,都发生;A,B,中不多于一个发生解ABC;AB oBCo AC=ABCu ABC^J ABCoABC2一副扑克牌共52张,无大小王,从中随机地抽取2张牌,这2张牌花色不相同的概率为C2cle13CC13解P=41313=_或者P=1-413=_一巴―17C21752523同时掷甲、已两枚骰子,则甲的点数大于乙的点番的岁为解S={,,./11,7=1,…,6},A={i j}5PA=—-—36124设随机事件A与3相互独立,PA=
0.5,PCB=
0.6,则PA—3=,PAuB=解PA-B=PAB=PAPB=
0.2,PAu B=PA+PB-PAPB=
0.8111已知PA=_,PB|A=-P仍=_,则PAu⑷=□.431116解PA8=PAP8|A=_x_=_,PADB=PA+PB—PA8=
43126.已知PA=
0.6,PAB=
0.3,且A,B独立,则PAuB=L解P AB=P AP仍=
0.3=P[B]=
0.5=P⑻=
0.5PA DB=尸A+PB-PAB=PA+PB-PAPB=
0.
87.已知PA=
0.4,PB=
0.3,且A,B互不相容,则P不B=卫,P4B三亘解PAB=PB-PAB=
0.3,PAB=PA—PAB=
0.3或PAB=PAUB=1-或A-PB=
0.
38.在三次独立的实验中,事件B至少出现一次的概率为19/27,若每次实验中B出现的概率均为p,则p=解设X表示3次试验中事件B出现的次数,则X口以3,p,191P{X21}=1—P{X=0}=1—1—〃3=一,・・.p=_2739设X口PV0,则X的分布律为___________________________________X ked解P[x=k}=--------,攵=o/2・・・
10.设随机变量X服k从!泊松分布,旦已知P{X=1}=P{X=2},那么P{X=4}=入2_九Ne-卜24e-22解由P{X=1}=P{X=2}即——-=---------n九=2,P{X=4}=----------------=_e-21!2!4!
311.设随机变量乂口0,5,则方程2乂X2+2刈+1=]为未知数有实根的概率为L3解P{AN0}=P{2X2—4x2X20}=P[X2]+P{XQ}=_5/2设乂口1,3,丫口;72,4,X与丫相互独立,则Z=2X—3丫口解EZ=2EX-3Er=-4,VarZ=4VarX+9VarY=48,Z=2X—3丫口N—4,
4813.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,则其中至少有一件是不合格品的概率为G12解p==]_—=_C
23314.设随机变量x,y的概率分布如右表,则EX=,V*X=解•.•P{Xl}=,P{X=2}=,・・・Ex=2,£X2=3,VX=3_
223333915.已知随机变量X服从[1,3]上的均匀分布,则£X=,V〃X=解EX=±2=2,WZ.X=312_
1212316.二维连续型随机变量XI的联合概率密度为贝!]1例0/x,ydxdy=-oo-oo
17.设随机变量XI独立且X1的概率密度分别为\lx0cx1,14y,0y2,/x%=jo,其它,刀y=1o,其它,则x,y的联合概率密度为0x l,0y2解X,Y独立,/x,y=f xfy=X Y其它,
18.设随机变量序列%4,…X」…相互独立,且服从同一分布,EX二日存在,则,0,有lim尸{|_乙乂_曰2£}=0k in kK=\19设{X}是独立同分布的随机变量序列,X口0/0,〃=123,・・・,那么当nf+8时n n1V o+io X=_乙X依概率收敛于---------二5n i2i=\------------
20.位x、丫相互独立且x口为2根,y□Z2n,则x+丫口殍加+力
21.设X,VD Npi,dO2,o2,p,则c°yx,y=pa a1212I
222.设X,X,・・.X是来自总体殍10的样本,则统计量丫=苫乂n210〃12n i-------------i=l L-j X
023.设总体X具有概率密度函数/x=产0z else00〉0为已知,样本为X,X,…X,则夙又=,VarX=12n解Em=EX=e,VarX=吧竺!=吧n n
24.在总体N52,
6.32中随机抽一容量为36的样本,则样本均值大落在
50.8到
53.8之间的概率为__
6.32_
6.32解£X=52,VarX一,X口N52,一二N52」.O52,3636_
53.8-
5250.8-52P{
50.8X
53.8}=0------------------中-------
1.
051.05«
01.71-0-
1.14=
0.9564-1-
0.8729=
0.
829325.设X,X,・・・X是来自总体X的样本且EX=|LI,LX=O2,生2未知,12n则日的矩估计量为,2的矩估计量为日二七X二|i1日二pi1中解〈1・•・〈1・・.|Li=¥,O2=_Zx2—朽I|Li=E,X2=VTzrX+[EX]2==j2+|Li2|52=|LX一卬n/l2I21/=
126.随机抽查某校的7名学生,测得他们的裸眼视力分别为LO,L3,
0.6,
1.2,
0.9,
1.5,
2.0,则总体均值日及方差o2的矩估计值分别为「=,-2=.1y1y2解由上「.pi=无=_乙工=
1.21432=_乙元2-k=
0.1755n ni z=1/=1y*设X,X,…X是来自总体N0,
0.32的样本,则尸{x
21.44}=1210i i=1X X/八1「解:•一口N0,1,・・.一2□殍⑴,・・.——V□殍
100.
30.
30.09”乂,2/=1P{兄X
21.44}=P{_LSx216}=1-P{—LSX216}=
0.90,v H10=15,987i
0.09i
0.09,o.9o vZ=12=1i=1多设X,X,…X是来自总体乂口为2〃的样本,E万=须2=.1210__VarX2n n解£歹=EX=〃,VarX=-----------=一=ES2=VarX=2n10105a设在总体NM,O2)中抽取一容量为16的样本,这里内02为未知参数,S2为样本方差则P{£i
2.041}二,VarS2=02解•••s1*2口=16O2・・.P{fi
2.041}=P{15S
230.615}=
0.99,•无215=
30.578«
30.6150202・
0.990215s25215s2042J4VarS2=Var__•=_______2Var=x2x15=
150215021521530.铅的密度测量值服从正态分布NN,G2,测量16次,算得黑
2.705,5=
0.029,则目的置信水平为
0.95的双侧置信区间为o解1—a=
0.95,a=
0.05,02未知,口的置信区间为_S—S//c rcu0-0290029—H-15X+__^〃-1=
2.705—152705+^^,15F513V166975回
0.97522n nnQ=
2.705-17x
2.1314,
2.705+,x
2.1314=-
2.6895,
2.7205ypB ypQ二.计算题
1.设某人按如下原则决定某日的活动如该天天下雨,则以
0.2的概率外出购物,以
0.8的概率去探访朋友;如该天天不下雨,则以
0.9的概率外出购物,以
0.1的概率去探访朋友,设某地下雨的概率是
0.3以下要求用字母表示随机事件,写出计算公式⑴试求那天此人外出购物的概率2已知此人那天外出购物,试求那天下雨的概率解设A:下雨,B:购物C:会友则PA=
0.3,PA=
0.7,PB|A=
0.2,PC|A=
0.8,PB]A=
0.9,PC\A=
0.11PB=PBA uBA=PB\APA+PB~\APA=
0.69PAB PB\APA
0.2x
0.322PA\B=PB PB0£9232设随机变量X口N1,4,现对X进行三次独立观察,求至少有两次观察值大于-1的概率解:P{X-1}=1-尸{X/-1}=1-
①±1=1-1-01=
0.8413,2设Y表示三次观察中观察值大于-1的次数,则丫□53,
0.8413,则P{Y2}=1_P{Y=0}-P{Y=1=1-1-
0.84133-3x
0.84131-
0.84132=
0.
94033.某地抽查结果表明,考生的外语成绩百分制X近似服从正态分布N⑴,o2,平均成绩为72,96分以上的考生占
2.3%,求⑴标准差的直◎靖年成绩在60分到84分之间的概率解日二72,
2.3%P A{9=6}
①nog121--------84-7260-72o P{60X84}=0[2一
①.二2
①1一1=0-6828‘、iex,0%
4.设随机变量X的概率密度为/、=〈1101else3求1常数c2X的分布函数3解⑴由P{_VxV」,4丫=2*+1的概率密度函数241=/%世=1134办;=-co o5c=502/不=1,fx^=」5力=X5—000x01130A:1313x13P{_%J=F J-F_=_5-_5o24424124当0cx1,1y=2x+13时y―1y_1Fy=P{Yy}=P{2X+l y}=P{X一}二/一,2x2y-1y-1y-l[_5_y-14ly3=by=尸^—=/^—x——1^^32Y YX X2I[
005.将2个球随机地放入2个盒子中,若X、y分别表示放入第1个,第2个盒子中球的个数,求
(1)(乂,丫)的联合分布律和边缘分布律.
(2)求{乂=1|丫=1}
(3)X、丫是否独立解
(1)X012P{Y=j}r10-44110-02211-004P{X=i}14I2P{X=1|Y=1}=I11=13P[X=1|Y=1}=1W P{X=1}=L,X,Y不独立P{Y=}}
216.设X,Y是独立同分布的随机变量,P{X=i}=P{Y=i}=-,1,2,3,=maxX,Y,一3N=min(X,y),求(HN)的联合分布律和各自的边缘分布律并求出P{X=/}.解X,Y独立且X123Y123P[X=iJ=j}=P[X=i}P{Y=i}=_ij=1,2,3,所以9X,Y1,11,21,32,1⑵2⑵33,1⑶2⑶3M123223333N1111221231P11111111k999999999故M,N N\M123PN=il11/92/92/95/9201/92/91/33001/91/9P{M=i}1/91/35/91并且尸{X=Y}=V P[x=iJ=i}=~o3z=i[3x
7.已知随机向量(X,y)的概率密度函数为/(x,y)=〈八0yx1其它试求:⑴f y2f x|y3EX,VarX,CovX,Y4P[X+Y^}o YX\Y解⑴/3=卜/%,切公=
1.3%公=旦1_尸0y10else/x y2jx12当y wO即0y1时|y=Q else3EX=J+oo J+8x,ydxdy=f1J rx-3xdydx=J13x3dx=:Q o4—oo-oo0f
3、2ydxdy=I1f vX2・3xdydx=J13x^dx=_o5—00-oo VarX=EX2—[£X]2=g_g2=±5480E(y)上J+8yfx,ydxdy=f11y•3xdydx=f1^_x^dx=:00028+CQ£(xy)工j xyfx,ydxdy=f1xy-3xdy]dx=/^_x^dx=:-^x-oo o oo210Cov(x,y)=E(xr)-E(x)E(y)=3-10481601x=P[X+Y]}=J;Ji3xdxdy2I y=x4=1,[y=1-x x=3f21-0913—22ydy=y-y2U=220[Qe-(2X+3y)x05y
08.设二维随机变量(XI)的概率密度为f(x,y)=〈八[0else试求
(1)(X,Y)落在三角形区域x20,y20,2x+3y V6内的概率2fy,f x\y3EXWy,C°uXM丫X»「「62v f62x P{X,Y GD}=J3J___66H
2、+3ydydx=J32e—2x•-6-3川dx解1330000=I32^-2X-1-^2X-6dx=[-e-2x-2e-6x卜=1-7e-60r ff°+00广6e-2x+3ydx=3e-3y y0⑵/y=/x5ycbc=\o即Y服从参数为3的指数分布.-80else当,时,/3y=Z[2s x0XIY fyI0else YL f2e-2x10⑶观察得出X,Y独立,则/x=.即X服从参数为2的指数分布.x[o else,EX=」Vary=j2=_,CovX,y=
2399.设随机变量X的分布如下,已知项X=
0.9,V〃X=
0.49,试求a,b,c的值X012P ab c解:a+b+c=1”£X=+2C=
0.9,MQ=X=EX2—EX”=b+4c—
0.92=
0.49,得a=
0.3,Z=O.5,c=
0.211-~e g-x
3110.设总体的概率密度函数为/x=41-8为未知参数,X,•一X是一个样本I2o,X♦一xX1试求的最大似然估计量和矩估计2试问0*=不是的无偏估计吗,为什么?解⑴最大似然估计“=n/%,=/n-^L Xi—%i_/=1lnL0=—nln0+_〃=nx}_e『二,〃.=0-0।,
0.lnL0=——n—nx=0J00oT Q=x-±为最大似然估计值,0-X-X为最大似然估计量矩估计n=EX=f+0C VW^=I+0°x^e~e公=1+,0=|Ll-1-QO1V矩估计量为e=T-1矩估计值为e=1-12E6*=£X=EX=I+O^O,所以e*不是的无偏估计
11.设总体X口区20,p,p0为未知参数,x,x・・・,x是来自x的一个样本12n1试求P的最大似然估计量P2试问P是无偏估计量吗?为什么?解1因为总体x口820,〃%,〃=a外1一〃”0-设,・・・,X为样本X,X,X的一组观察值,似然函数I2n12n Lp=H/X,p=n Cx.p「1—P20-x j=FI Cxp/u1—p20〃-慨20/=120Z=1lnLp=ZlnCxj+In”+20〃一zixlnl-p20/=1_lnL p-njc-]20〃-n为=0dp pp P=—为最大似然估计值,P二—为最大似然估计量2020X£X20P一2E p=E——=---------=-------=P,所以P是P的无偏估计2020201_60x—6x20JC0八人
12.设总体x的概率密度为/%=03其它,‘其中00为未知参I,数,X,X,…,X是来自总体x的样本.12n1求0的矩估计量e.2验证矩估计量e是e的无偏估计.解1日=EX=16®x-6x2dx=1=2日-QO o氏2的矩估计量为9=27,的矩估计值为0=212£0=E2X=2EX=2EX=0,0是的无偏估计。