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第三章习题参考答案与提示第三章随机变量的数字特征习题参考答案与提示1设随机变量X的概率分布为X_______—3015p
0.
10.
20.
30.4k答案与提示EX二22已知随机变量X的分布列为X0123T-----------04--------p0M----------------k求1常数P;2数学期望EX;3方差X答案与提示D由归一性,p=
0.3;2EX=
1.7;3DX=
0.813已知随机变量X的分布列为X012p
0.3p
0.5k求1数学期望仇X-12;2方差X-12答案与提示由归一性,〃二
0.2;1EX-12=
0.8;2DX-12=
0.164已知连续型随机变量X的概率分布为1/8,0x8/W=0,其它求X的数学期望答案与提示EX二45设随机变量X服从拉普拉斯分布,其分布密度为1/x=e-P/%〉0-8〈元+82a求X的数学期望答案与提示该题要求熟练掌握计算连续型随机变量的数学期望的公式EX二B—1—第三章习题参考答案与提示6设随机变量X的概率密度为1+x,-1X40f x=A-x,0x1,0,其它求1常数八;2数学期望EX;3方差DX o答案与提示1由归一性得,-二1;2EX=0;3DX二二617设X的概率分布为fx=e」l-8x+8,求EX、OX X2答案与提示EX=0,DX=2O8设X的概率分布为1,2,0,求X的数学期望EX和方差DX答案与提示该题考察计算连续型随机变量的数学期望和方差的公式EX=0,DX=1/29设用人8两测量仪器测量某一产品的直径多次,结果如下表X118119120121122A
0.
060.
140.
600.
150.
051181191201211220.
090.
150.
520.
160.08试比较两种仪器的优劣答案与提示由于题设中没有给出所测产品直径的真实值,故要比较两种仪器的优劣,就是要比较这两种仪器哪个的测量精度更高一些,即要比较两种仪器测量的方差哪个更小一些由题设,得%二
120.99,EX=
119.99;DX=
1.104,咦二
0.6552显然有OXDX,可见,仪器的测量误差要比8仪器的测量误差大,故8仪A B器要优良些D设X的概率分布为e-%,x0—2第三章习题参考答案与提示求1y=2x的数学期望;⑵丫=6-2X的数学期望答案与提示1EY=E2X=2;2“二£e-2x=£
311.试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过不4答案与提示事件在〃次独立重复试验中发生的次数服从参数为〃,P的二项分布8场,P,当然在一次试验中发生的次数应服从81,P,即为0-1分布「八1,事件A在试验中发生,可令X二0,事件A在试验中不发生.题XW L即事件在一次试验中发生的次数的方差不超过44a设x、r的概率分布分别为2e-2x,%04e-4y9y0fW=n fy=n v八0,x00,y0求£X+y和E2X-3y2答案与提示可利用由数学期望性质及常用分布随机变量的数学期望和方差来计算石X+Y和£2X-3/2,关键是计算EX、EY、EY2O35E X+Y a;E2x_3y2=-o设X、y是两个相互独立的随机变量,其概率分布分别为e-y-5v5fy=o,箕它fM=0,其它求£xy答案与提示:EXY=4n设随机变量X服从正态分布,其数学期望Ex=
1.7,方差OX=3试求1X的概率密度;2y=1-2X的概率密度答案与提示考查服从正态分布随机变量的概率密度的一般表达形式、参数的几何意义及正态分布随机变量的性质112fy-2^6n e~,+2-42/24-00y+86设随机变量X~N1,
22、Y~N0,1,且相互独立,求:0Z=2X+丫的期望和方差;第三章习题参考答案与提示2Z=2X-y的期望和方差答案与提示由于两个独立的正态随机变量的线性函数也服从正态分布,即可得相应分布,进而求得其期望和方差1£Z=2,DZ=17o2EZ=2,ZZ=17o16,设随机变量X服从参数为人的泊松分布,且已知£[X-1X-2]=1,求人答案与提示入二1P设二维随机变量X,Y的联合概率分布律为
01010.
30.4求⑴EX,EY,DX,DY;2X,丫的协方差,相关系数,协方差阵,相关阵答案与提示⑴EX=
0.7,QX=
0.21,EK=
0.6,DY=Q.24o2EXy=
0.4;/CovX,y^-
0.02,p=
0.089;/\XY
0.21-
0.02协方差阵为-
0.
020.24相关阵为1-
0.089-
0.08918设随机变量x,丫的概率密度为J x+y,0x2,0y2—y=80,其它求相关系数p oXY答案与提示欲求相关系数,需先求DK OKEX、EY、CovX,丫1P——____o xy119设两个随机变量X、Y的方差分别为25及36,相关系数为
0.4,求X+丫及Dx-y答案与提示由方差的性质知DX+y=85,DX-Y=379设X与y方差分别为4和1,协方差Covx,y=
0.8,求I X与y的相关系数Pyy;22乂+3丫及2乂-3丫A I第三章习题参考答案与提示答案与提示:D P=
0.4;2D2X+3y=
34.6,D2X-3丫根
5.4XY2设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,若每次命中目标的概率为
0.4,则X2的数学期望破2答案与提示由题意,X~310,
0.4,所以£X2=
18.42已知X、y分别服从正态分布NO,32和N1,42,且X与y的相关系数P=-1/2,设z=x/3+y/2,求XY1求数学期望EZ,方差Z;2丫与Z的相关系数P;YZ答案与提示本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态分布的性质解1由数学期望、方差的性质及相关系数的定义P二寥尊得XY JDXJDYEZ=L,DZ=3;22由协方差的性质3及相关系数定义得Cov(y3z)_-73P KZJDYJDZ~~23设X和y的相关系数为
0.5,EX=EY=0^X2=EY2=2求E(X+y)2o答案与提示£X+y2=6o a假设一部机器一天内发生故障的概率为02机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障可获利10万元,发生一次故障仍获利5万元,发生二次故障获利0元,发生三次或三次以上要亏损2万元,求一周内期望利润答案与提示一部机器在一周5个工作日可视为5重贝努利试验,因此一周5个工作日里机器发生故障的次数记为X服从二项分布若以丫表示生产利润,则y是x的函数,因此同题化为求随机变量函।数的数学期望一周内期望利润近似为
5.21万元设随机变量X、y独立同服从正态分布No,2,求X-Y答案与提示由于随机变量x、丫相互独立同分布,故可求得联合概率分布,应用定理可得|x-y|,但计算比较繁也可应用正态分布的性质得Z=X-y~N0+0,Q2+-1272=N0,1,计算得122=i--o7T S设灯管使用寿命X服从指数分布,已知其平均使用寿命为3000小时,现有——5第三章习题参考答案与提示10只这样的灯管(并联)每天工作4小时,求150天内这10只灯管
(1)需要换管的概率;
(2)平均有几只需要更换;
(3)需要更换灯管数的方差答案与提示若设丫表示150天内这10只灯管需要更换的只数,则丫服从二项分布,即y〜8(10,P{X600}),所以问题
(1)即是求尸{丫21};问题
(2)即是求EY;问题
(3)即是求丫
(1)P{Y1}=1-e-2;
(2)EY=10-10^-
0.2;
(3)DY-10(1-^-
0.2)^-02o2设W与T1独立同分布,已知彳的概率分布为P{K=1}=1/3(/二1,2,3),又设X=max{^,T]},Y=min{^,r|}o求
(1)EX.EY;
(2)随机变量x,丫的协方差答案与提示欲求敬、£丫及Cov(x,r),需先求(X,丫)的概率分布及EXF X,Y)概率分布为2311/92/92/92o1/92/9301/922EX=o~9…140EY=q~9EXY=吧,Cov X,丫二叱92812设某种商品每周的需求量X是服从区间[1(),30]上均匀分布的随机变量,而经销商店进货数量为区间口0,30]中的某一整数,商店每售出一单位商品可得利500元;若供大于求则削价处理,每处理一单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位商品仅获利300元为使商店所获利润期望值不〃、于9280元,试确定最〃进货量答案与提示依题意,需求量X服从[10,30]上的均匀分布,因此其概率密度为10x30fW=20[0,其它而此商店经销该种商品每周所得利润是与X和进货数量”有关的,所以该问题化为求利润函数的数学期望最小进货量应不少于21个单位9设二维随机变量(x,丫)的概率密度为——6第三章习题参考答案与提示/匹刃y+6羽朔,-oox,y+oo212其中6x,y和巾x,y都是二维正态密度函数,且它们对应的二维随机变量的相关12系数分别为1/3和-1/3,它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0,方差者B是1o1求X和Y的概率密度/⑴和,及X和y的相关系数p o120问x和丫是否独立?为什么?答案与提示1由于二维正态密度函数的两个边缘密度正态密度函数,因此由%,丁和力2为力的两个边缘密度为标准正态密度函数,故/x=J——e-x2/2,-8V XV+81,/、1J》=.2-y2/2-00V+002必P=EXY-l+co l+00xj/x,ydxdy=0o-00-oo2x与y不独立©设X和y的联合分布在以点0,1,1,0,1,1为三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量U=X+y的方差答案与提示DU=\18随机变量=乂+丫可看作x,丫的函数,因此该题的解法较多,可应用公^JDU=DX+DY+2CovX,Y;也可应用公式DU=DX+Y=EX+72~[E[X+丫柞
31.对于任意二事件A和8,0PA1,0PB1,_PAB-PAPB JPAPBPAPF称为事件A和3的相关系数Q证明事件A和5独立的充分必要条件是其相关系数等于零;0利用随机变量相关系数的基本性质,证明*1答案与提示D利用事件A和3独立的定义尸A3=PAP6即可;2随机变量X和Y的相关系数为p=C°VXM=EXY-EXEY,而需将xy JDXJDYJDXJDY p=PAB一尸学仍乙转化为用随机变量表示,显然,若有JPAPBPAPB第三章习题参考答案与提示EXY=P AB,EX=P A,EY=PB以及历必=JPAP不,师=而而面即可,这只需定义卜,若世现卜,若吐现0,若不出现;0,若8不出现——8。