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第一章概率论的基本概念
1.写出下列随机试验的样本空间.⑴记录一个小班一次数学考试的平均分数充以百分制记分.解S={g,1,…,100吐其中〃为小班人数.n2同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和;解:S={3,4,…,18}.3生产产品直到得到10件正品为止,记录生产产品的总件数;解:S={10,11,12,…,〃,・・・}.4对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上“正品二不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品就停止检查,或检查4个产品,停止检查,记录检查的结果.解:5={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111},其中0表示次品,1表示正品.5在单位圆内任意取一点,记录它的坐标;解:S={x,y|x2+y21}.⑹将一尺之趣成三段,观察各段的长度.解:S={x,y,z|x0,yQ,z0,x+y+z=1},其中无y,z分别表示第
一、
二、三段的长度.
2.设人昆为三事件,用A,民C的运算关系表示下列各事件.14发生川与C不发生;1PA=19+x1+9x8x1=
3.TO m9n98TO⑵尸4=]+
4、,=
3554543519.
(1)设甲袋中装有〃只白球,相只红球,乙袋中装有N只白球,M只红球,今从甲袋中任取一只球放入乙袋中,再从乙袋中任意取一只球,问取到白球的概率是多少?解用4表示“从甲袋中取得白球放入乙袋”,表示“从甲袋中取得红球放入乙袋”.再记3表“再从乙袋中取得白球”.因为且勺互斥,所以P
(8)=P(A)p(阴A)+P(AJ P(8|4)二n x一[,+m x一,n+m7V+AZ+1n+m N+M+1(〃+m)N+〃(〃2+〃)(A/+N+1)
19.
(2)第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球.先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率.解记的为“从第一盒子中取得2只红球”.J为“从第一盒子中取得2只白球”.C3为“从第一盒子中取得1只红球,1只白球”,D为“从第二盒子中取得白球;显然C,C,Q两两互斥,乙0尸2^3=由全概率公式,有R)建总产忸+小鼠尸(盛]兴(尸
(4)5___4__—5__C211C2-11C2119999Q
20.某种产品的高标为“MAXAM”,其中有2个字母已经脱落,有人捡起随意放回,求放回后仍为“MAXAM”的概率.解设44…M分别表示字母MA,MX,MA,MM,AX,
1210.AA,AM,XA,XM,AM脱落的事件,则尸■=1闫,2,…,10,/1U用8表示放回后仍为“MAXAM”的事件,则PB\A=^闫,2,…/2,10,尸8]夕=8|夕=1,所以由全概公式得P山=那尸APB|Z=1x1x8+1x1+1x1=3i iT0-2TO
10521.已知男子有5%是色盲患者,女子有
0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?解:4={男人},4={女人},8={色盲},显然zy4=s,A4=
0.由已知条件结尸对=尸5=1,尸B|Z=5%,尸B|Z=
0.25%.1221由贝叶斯公式,有.4口PA\B=片月切=尸A尸旧41尸份PA^PB\4+PAPB\A151_2+ee_20I.5+
1.25-7T-2TOO2T
000022.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及格则第二次及格的概率为1若至少一次及格则他能取2得某种资格,求他取得该资格的概率.2若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率.解6={他第/次及格}£1,
2.已知已4=P勺4尸P,尸%7=P/
2.1氏{至少有一次及格},则8=俩次均不及格}斗所以尸8=1—P出=1—产例4=1—尸伪尸伪-412121=1-[1-尸利[IRE=1一1一加1=;Pjl
0.⑵由乘法公式,有尸A3=PA尸由全概率公式,有PA2=PAPA\A^PtAPA-\A=P#l_p.P=P2P2T2,于是PA\A=p2=2p12^D2,P p+1*
2223.将两信息分别编码为A和8传递出去,接收站收敛到时,在被误收作口的概率为.02,而8被误收作人的概率为.01,信息A与信息8传送的频繁程度为2:1,若收站收到的信息是A问原发信息是4的概率是多少?解设与82分别表示发报台发出信号井及阳,又以4有4分别表示收报台收到信号件及“・则有户闻=2,pB=,p*B=
0.98,132311P4|BJ=
0.08,户4|约=
0.01,户网号=
0.91,从而由Beyes公式得PB\A=PBPA\B11户回尸司怛开■尸⑻尸4|月_3x0-98J96二21-
197.7,.xO.98-k
7.xO.01O
024.有两箱同种类的零件,第一箱装50只,其中10只一等品;第二箱装30只,其中18只一等品,今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样.试求⑴第一次取到的零件是一等品的概率;
(2)第一次取到的零件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率.解:⑴记午{在第/次中取到一等品}闫,2,氏{挑到第/箱}.则有P/4=PBPA|B+P8P/A|B=1X1+1X18=
0.
4.1111212252302伍=尸耳户华朋+月鸣尸勺阳=9x1x1+%1x18=oi9423,PA IAj=^^=
0.
4856.
210.
425.某人下午5:00下班,他所积累的资料表明到家时间5:35〜5:395:40-5:445:45〜5:495:50〜5:545:54之后乘地铁到家的概率
0.
100.
250.
450.
150.05乘汽车到
0.
300.
350.
200.
100.05家的概率一枚硬币定乘地铁二是乘汽结果他是5:47到家某日他抛-决天车,的,试求他是乘地铁回家的概率.解设4={乘地铁},氏{乘汽车},d{在5:47到家},由题意,AB=0,AJB=S.已知RA=
0.5,PC|A=
0.45,RC|8=02,RB=
0.5,由贝叶斯公式有R Al=R G⑷只⑷=R G加⑷=__=
06923.
0.45x
0.5+
0.2x
0.
526.⑴设有4个独立工作的元件1,2,3,
4.它们的可靠性分别为P.%必,P,将它们按图1-3的方式联接,求系统的可靠।4J4性.解记4表示第,个元件正常工作1*=1,2,3,4,A表示系统正常・因为4=4居4+444两种情况不互斥,所以RA=RA}4+RA4-RA£44加法公式=PA RA RA+RARA-PA PA田A PA12314J34=p pp+pp-p ppp A,A,A,A独乂•
123141234123426.2设有5独立工作的元件1,2,3,4,5,它们的可靠性均为P,将它们按图1-4的方式联接,求系统的可靠性.解记4表示第I个元件正常工作i=1,2,3,4,5,B表示系统正常,则’PB=PAA uAA AJAAJAAA=PA^P AAA+》A町+》AAA~PAA AA AAj-PAA AAf-PAAA/\-PAAA AA-PA AAA+4叫2-.WA返2345=2p2+2p2-5P4+2p
2.
27.如果一危险情况发生时,一电路闭合并发出警报,我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性.在C发生时这些开关每一个都应闭合,且至少一个开关闭合了,警报就发出,如果两个这样开关并联接,它们每个具有
0.95的可靠性即在情况C发生时闭合的概率.⑴这时系统的可靠性即电路闭合的概率是多少?2如果需要有一个可靠性至少为
0.9999的系统,则至少需要用多少只开关并联?这里各开关闭合与否都是相互独立的.解1设可表示第/个开关闭合,A表示电路闭合,于是A=AA
2.由题成当两个开关并联时尸A=
0.
96.再由4,A2的独立性得PA=PAyA^=PA+PA j-PA Q尸始尸
④尸凡=2x
0.96-
0.962=
0.
9984.2设至少需要〃个开关闭合,则P A=A=1-n〃[1-PA]=1-
0.
0440.9999,i=1i/=1i即
0.04,0,00001,所以〃,吗输$58,故至少需要4只开关联.
28.三个独立地去破译份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,问三个中至少有一个能将此密码译出的概率是多少?解:设A,⑸分别表示{第
一、
二、三人独立译出密码}表示{密码被译出},则PD=PAJB^C=1-PAJBUC=1一蛆〜5€=1-叩年小=
1.4x
24534529.设第一个盒子装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二个盒子装有2只蓝球,3只绿球,4只白球.独立地分别在两只盒子中各取一只球.30至少有一只蓝球的概率;⑵求有一只蓝球一只白球的概率;31已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率.解记勺与久分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球,一只绿球,一只白球,B«以分别表示是从第二只盒子中取到1L/C一只蓝球,一只绿球,一只白球.则4与与独立i=l,2,
3.⑴所求概率为PAUB=PA+PB-PAB=3+2-3X2=
5.111111797992所求概率为PABuAB=P4P4+P4P4=
34.2X2=
16797953.⑶所求概率为aAi2u/qi Auq=pAnj Auq+pA/j=PAB AuB PABAuB=P空uAB%+PA ABuAB_PAB-bPAB_16/63_16-3__3/—一__一•PAuB5对
351130.A,B,C三人在同一办公室工作,房间有三部电话,据统计知,打给4B,C的电话的概率分别为2/5,215,
115.他们三人常因工作外出,A,B,C三人外出的概率分别为1/2,1/4,1/4,设三人的行动相互独立,求⑴无人接电话的概率;2被呼叫人在办公室的概率;若某一时间段打进3个电话,求3这3个电话打给同一人的概率;4这3个电话打给不同人的概率;5这3个电话都打给民而B却都不在的概率.解设%%J分别表示A,民C三个人外出的事件,A,昆分别表示打给三个人的电话的事件.1尸无人接电话”尸A/F二尸A]Pq尸J=〔x1x〔=
1.244322用表示被呼叫人在办公室的事件,则O=7t4+3B+eC,尸D=P今4+印+中=p储PA+PP仍p+pqp©
12.3X
2.3X1_1325454520@用£表示3个电话打给同一个人的事件,耳,与与分别表示3个电话是打给A,反C,则E=E+E+E123a2-d7PE=PE+PE+PE=3+l3+,=1235一3—51254用厂表示3个电话打给不同的人的事件,则F由六种互斥情况组成,每种情况为打给A,B,C的三个电话,每种情况的概率为2/乂1_45553于是PF=6x4=24125125⑸由于是知道每次打电话都给民其概率是1,所以每一次打给3电话而3不在的概率为J,且各次情况相互独立,于是P3个电话都打给B,B都不在的概率=、3=工.
40431.袋中装有机只正品硬币,〃只次品硬币次品硬币的两面均印有国徽.在袋中任取一只,将它投掷一次,已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率为多少?解用A表示出现r次国徽的事件,B表示任取一只是正品的事件,则PA=PBPA|B+PBPA\珍=m1r+n x1「,m+n2m+n PBPA\B=m P(阴止PA m+n-2r
32.设一枚深炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3,击伤的概率为1/2,击不中的概率为1/6,并设击伤两次也会导致潜水艇下沉,求施放4枚深炸能击沉潜水艇的概率.解用A表示施放4枚簿炸击手潜小艇的毒件,则P(A)=1-P(A)=1-K1)4+C3()3x]=1-1,.6462B
433.设根据以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏的情况共有三种损坏2%(这一事件记为A),损坏10%(事件%),损坏90%(事件),且知P
(4)=0・8,尸⑷=O.15,P
(4)=O.O5,现在从已被运输的物品中随机地取3件,发现这3件都是好的(这一事件记为B),试分别求P(4⑻,(网,网(这里设物品件数很多,取出一件后不影响后一件是否是好品的概率).解因为3表取得三件好物品.8乂/+8+邑且三种情况互斥,由全概率公式,有尸仍)=尸
(4)尸仍金)+尸(AJRBIAI+PHJ尸(B|A)=
0.8x
0.983+
0.15x
0.93+
0.05x
0.13=
0.8624,^-=^S=0-873^PA8二P4P8]勾=
0.15xL9|8=3=
0.1268,
20.8624PA PB|A_
0.05x
0.1_3--/1________3—=
0.
0001.P⑻
0.8624解表示为A与或A-A3+AC或4-8JC.2A,B都发生,购不发生;解表示为:AB3或AB-ABC或AB-C.⑶4B,C中至少有一个发生;解表示为:A+3+C44,民都发生;解表示为ABC5,民都S容生;解表示为4与G或S-A+3+0或AubuC⑹A,风中不多于一个发生;解即A,民中至少有两个同时不发生相当于AB,BQA3中至少有一个发生.故表示为AB^BG-AC⑺A,昆C中不多于三个发生;解相当于c中至少有一个发生.故表示为石屏[或8A,B,C中至少有二个发生.解相当于:AB,8C,AC中至少有一个发生.故表示为:AB+BC+AC.
3.设A,3是两事件且⑷=
0.6,伊=
0.
7.问:⑴在什么条件下PA3取得最大值,最大值是多少?2在什么条件下PA8取得最小值,最小值是多少?解:1因为尸AB二尸0+尸仍—尸且PAPBPAJB,所以当Au5时,PAuB=P5,PA8取到最大值,最大值为PAB=PA=
0.
6.
34.将A B,C三个字母一一输入信道,输出为原字母的概率为%而输出为其它一字母的概率都是1-/
2.今将字母串AAAA.BBBB,CCCC之一输入信道,输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为为3目+2+3=1,已知输出为,BCA问输入的是AA44的概率是多少?设信道传输每个字母的工作是相互独立的.解用A B,C分别表示输入信号为AAAA,BBBB,CCCC,用H表示输出信号为ABCA,由于每个字母的输出是相互独立的,于是有尸H|G=oc2[1—a/2]2=a21-a2,尸H]均=31—a/2]3=a1一3,8PH\C=a[1—a/28a0一a,-8又P网=P,PB=p,尸C=p,由贝叶斯公式得123PA\H=PH\AP A7V a21-a2a1-a a4风1—2----------X a-a4・p+万+
138.P1822ap⑵当Au8=S时,PA8取到最小值,最小值为尸AB=
0.6+
0.7—1=
0.
3.
4.设A,民是三事件,且尸A=尸8=尸=1/4,PAB=PBC=Q,PAC=1/
8.求人民C至少有一个发生的概率.解:PA,B,C至少有一个发生=PA+B+C=PA+PB+PC-PAB-PBC-PAC+PABC=3/4—1/8+0=5/
8.
5.在一标准英语字典中有55个由两个不同的字母所组成的单词,若从26个英文字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?解记A表“能排成上述单词:因为从26个任选两个来排列,排法有魅种.每种排法等可能.字典中的二个不同字母组成的单词55个,磨以w PA==•花
130266.在房间里有10人.分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码.⑴求最小的号码为5的概率;解记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A.因为10人中任选3人为一组选法有C%种,且每种选法等可能.又事件A相当于有一人号码为5,其余2人号码大于
5.这种组合的种数有1xq.所以pA JxC2=1~Cf-T2102求最大的号码为5的概率.解记“三人中最大的号码为5”为事件同上,10人中任选3人,选法有C%种,且每种选法等可能,又事件B相当于有一人号码为5,其余2人号码小于5,选法有1x母种,所以PB=1xC=
1.B20107,某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶.在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些标签发给顾客,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2桶红漆顾客,能按所订颜色如数得到定货的概率是多少?解记所求事件为A在17桶中任取9桶的取法有C缶种,且每种取法等可能.取得4白3黑2红的取法有C4XC3XC2,故04X03X0^
3、/__10__^4_______a.…….243T
178.在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个.⑴求恰有90个次品的概率;解用4表示取出的产品恰有90个次品.在1500个产品中任取200个,取法有C锄种,每种取法等可能.200个产品恰有90个次品,取法有C90G10种.因此r z4001100尸4=-
90110.2至少有2个次品的概率.__解用8表示至少有2个次品.用表示不含有次品,耳表示只含有一个次品.同上,200个产品不含次品,取法有C2oo种,110020个产品含一个次品,取法有,o°q慌种.因为昆纥+4且*q互不相容,所先PB]=1-P B]=1-[PB+PB]=l-1Cl99+200八,4001100_____UOO-01120015009,从5双不同鞋子中任取4只,这4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?解样本空间所含典样本点数为c自用,表示4只全中至少有2支配成一对,则式表示4只全不配对.式所包含的样本点数为QX24(先从5双鞋中任取4双,再从每双中任取一只).因此——2=8,尸
(八)=1一尸d)=l—8=
13.
212110.在11张卡片上分别写上Probability这11个字母,从中任意连抽7张,求其排列结果为Abitity的概率.解所有可能的排列构成样本空间,其中包含的样本点数为牛.用A表示正确的排列,则A包含的样本点数为GCiCiCiGCiCi=4,则221111I4口阳=弁=
0.
0000024.II
11.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,
3.解记4表示杯中球的最大个数为/个(£1,2,3).三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等可能.对A必须三球放入三杯中,每杯只放一球.放法4X3X2种.故F(^)=4X3X2=614316对4必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球.放法有0x4x3种.故尸(8=02x4x3=9216对4必须三球都放入一杯’.咨法有4种.P(A)==.33T
612.将50只钏钉随机地取来用在10个部件,其中有3个佛钉强度太弱,每个部件用3只枷钉,若将三个强度太弱的斜钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少?解记力表示10个部件中有一个部件强度太弱.把随机试验E看作是用三个钉一组,三个钉一组去佛完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序.但10组钉钏完10个法部件要分先后次序)对E聊法有3xC3xC3X种,每种装504744等可能.23对A三个次钉必须钏在一个部件上.这种聊法数为(03X03乂
0.00051)一47一反=______C3X G3X XU
2313.已知尸知)=
0.3,尸
(8)=04,尸(演)=
0.5,求产解尸八=1_尸{=
0.7,PB=1—PB=
0.6,A=AS=ABJB=ABJAB,注意4848=
①.故有尸A8=尸Q—尸AB=.7—
0.5=
0.
2.再由加法定理产AJS=P%PB—尸,8=
0.7+
0.6—
0.5=
0.8,于是尸口|4°8=凡8*°8]=尸58=0・2=
0.
25.一AJB PAJB
0314.已知产HJ,PB\A=\尸ABJ,求尸AJB.432解根据条件概率PA^}=PAB=PAPB\A1一田可-P[B,PAPB\A1x1尸B=—=q=-片—816,2根据乘法公式P阴=尸8|/48,1J.34T2根据加法公式户48=尸八+尸8—尸48=1+1一1=
1.46口
315.掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率用两种方法.解法一在缩小的样本空间SB中求产刊8,即将事件8作为样本空间,求事件人发生的概率.掷两颗骰子的试验结果为一有序数组X,9不疔1,2,3,4,5,6并且满足x+火7,则样本空间为S={-y\1,6,6,1,2,5,5,2,3,4,4,3},每种结果工少等可能.A={掷二骰子,点数和为7时,其中有一颗为1点},故63解法二用公式法A|B=RB.s={x,y|m1,2,3,4,5,6;y=l,2,3,4,5,6},每种结果均可能.A=掷两颗骰子,用y中有一个为1点”,■“掷畋颗例子,x+y=7;.则PB=^=\PAB=2,62662故RA|B=RAB|=2=17W丁63~
616.据以往资料表明,某3口之家,患某种传染病的概率有以下规律P{孩子得病}=.6,P{母亲得病成子得病}二.5,P{父亲得病I母亲及孩子得病}=4求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率.解令人={孩子得病},耳{母亲得病},仁{父亲得病},则KA=
0.6,RSA=
0.5,F\QAB=OA,所以H C|AB=1-RQAB=1-
0.4=06RAB=RAH£A=
0.6x
0.5=
0.3,所求概率为__PAB C=PAByP C|AB=
0.3x
0.6=
0.
18.
17.已知在10只晶体管中有2只次品,在其中取两次,每次任取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率⑴两只都是正品;2二只都是次品记为事件⑻;3一只是正品,一只是次品记为事件C;4第二次取出的是次品记为事件;解设A尸{第i次取出的因E屈同,
2.1PAA=PAPA|A=b xZ=^b.12121g个2AA=PAPA|A=2J=
1.12121109453P{AA^JAA=PA4+P笈A12121212=PAPA|A+PAPA|A=82i28=16121121TO9T09454尸芍=「4+的=PAPA|A+PAPA1止2/士卫=112112110~9~0-
9518.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随机地拨号,1求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率;2若已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?解设A广{第i次拨号拨对}闫23,A={拨号不超过3次而拨通},则A=A+卒2+年山%且三种情况互斥,所以PA=PA+PAPA\A+PAPA\APA\AA.一口1121121312于是。