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专题
10.1随机事件与概率知识储备
1.事件的相关概念
2.频数、频率和概率⑴频数、频率在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件4是否出现，称〃次试验中事件A出现的次数〃4为事件A出现的频数，称事件A出现的比例加A=4•为事件A出现的频率.n⑵概率对于给定的随机事件4如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率6A稳定在某个常数上，把这个常数记作PA,称为事件A的概率.概率与频率的区别
①概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验次数无关，它度量该事件发生的可能性.
②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同.
③频率是概率的近似值，在实际问题中，仅当试验次数足够多时，频率可近似地看作概率
3.古典概型⑴特点
①有限性在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件.
②等可能性每个基本事件出现的可能性是均等的.⑵计算公式4包含的基本事件的个数——基本事件的总数一能力检测注意事项本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用
0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、单选题
1.2020•新疆巴州第一中学高二期中先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个基本事件的是A.“至少一枚硬币正面向上”B.“只有一枚硬币正面向上”C.“两枚硬币都是正面向上”D.“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”【答案】A所以第二次的点数比第一次大的概率为P=^=—361232次点数正好是连续的2个整数的基本事件有:1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1共10个,所以2次点数正好是连续的2个整数的概率为—=—3618【解析】先后抛掷2枚均匀的一分、二分的硬币，所包含的基本事件有｛正，正｝、｛正，反｝、｛反，正｝、｛反，反｝,“至少一枚硬币正面向上”包含的基本事件有｛正，正｝、｛正，反｝、｛反，正｝共三个，故A正确；“只有一枚硬币正面向上”包含的基本事件有｛正，反｝、｛反，正｝共两个，故B错；“两枚硬币都是正面向上”包含的基本事件有｛正，正｝共一个，故C错；“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”包含的基本事件有｛正，反｝、｛反，正｝共两个，故D错.故选A.
2.（2020•新疆巴州第一中学高二期中）下列事件属于古典概型的是（A.任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和作为基本事件B.篮球运动员投篮，观察他是否投中C.测量一杯水分子的个数D.在4个完全相同的小球中任取1个【答案】D【解析】判断一个事件是否为古典概型，主要看它是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性.A选项，任意抛掷两颗均匀的正方体骰子，所得点数之和对应的概率不全相等，如点数之和为2与点数之和为3发生的可能性显然不相等，不属于古典概型，故A排除；B选项，“投中”与“未投中”发生的可能性不一定相等，不属于古典概型，故B排除；C选项，杯中水分子有无数多个，不属于古典概率，故C排除；D选项，在4个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且包含的基本事件共有4个，符合古典概型，故D正确.故选D.
3.（2020•江西九江市•九江七中高三期中（理））在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案.该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的概率是（）【答案】D【解析】从4门学科中任选2门共有政治+地理、政治+化学、政治+生物、地理+化学、地理+生物、化学+生物，共6种情况其中满足政治和地理至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为g故选D
64.（2020•全国高三月考（理））龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u,以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（）13713A.—B.—C.—D.—4020410【答案】A【解析】依题意，阳数为
1、
3、
5、
7、9,阴数为
2、
4、
6、8,故所有的情况有=40种，其中满足条件的为（7,8,9）,（7,6,9）,（7,4,9）,（7,2,9）,（5,8,9）,（5,6,9）,（5,4,9）,（3,8,9）,（3,6,9）,（1,8,9）,（7,8,5）,（7,6,5,）,（7,8,3）,共13种，13故所求概率P=）.故选A.
405.（2020•全国高三其他模拟）文房四宝是中国独有的书法绘画工具（书画用具），即笔、墨、纸、砚.文房四宝之名，起源于南北朝时期，自宋朝以来“文房四宝”则特指宣笔（安徽宣城）、徽墨（安徽徽州歙县）、宣纸（安徽宣城泾县）、歙砚（安徽徽州歙县）、洪砚（甘肃卓尼县）、端砚（广东肇庆，古称端州）,若从上述“文房四宝”中任取两种，则恰好这两种都是“砚”的概率为（）D.—2【答案】A【解析】由题可知“文房四宝”共六种，其中砚有三种，C21故所求事件的概率P=d=匚.故选A.屐
56.（2020•全国高三专题练习（理））六博，又称“陆博”，是春秋战国时期开始流行的一种棋类游戏.游戏中需要使用的“博茕”，与我们今天的骰子非常接近，是古代人玩“六博”游戏的关键棋具.最早被发现的“博茕”是在陕西临潼秦始皇陵出土的石制十四面茕.这枚“博茕”为球形十四而体，每面都刻有一个数字，分别为零到十三，每投一次，出现任何一个数字都是等可能的.现投掷“博茕”三次，观察向上的点数则这三个数依次能构成公比不为1的整数的等比数列的概率为（）A.—B.——C.——D.——98686343343【答案】D【解析】枚举法可组成的等比数列有1,2,4；2,4,8；1,3,9；3,6,12；4,2,1；8,4,2；9,3,1；12,6,3；Q1共有8种，列式计算得一万==故选D
1433437.（2020•张家界市民族中学高二月考）为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15）,[15,20）,[20,25）,[25,30）,[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是（）【答案】D【解析】产品数量在口,15）内的工人有20x
0.02x5=2人，在[15,20）内的工人有20x
0.04x5=4人，从这6人中随机地选取2位工人进行培训共有Cl=15种，其中这2位工人不在同一组的有C；C；=2x4=8种，Q所以这2位工人不在同一组的概率是一・故选D1
二、多选题
8.（2020•山东聊城市•高二期中）先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为第二次出现的点数记为b,则下列说法正确的是（）A.〃+/=7时概率为-B.i+Z=6时概率为一C.a N2/7时的概率为，D.4+办是3的倍数的概率是g6【答案】AD【解析】先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为b,基本事件的总数为6x6=36个，对于选项A〃+b=7包含的基本事件有（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6个,A1所以+人=7时的概率为一二一,故选项A正确；366对于选项B〃+匕=6包含的基本事件有（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）共5个,所以a+b=6时概率为9,，故选项B不正确；365对于选项C1上如包含的基本事件有（2,1）,（3/）,（4,1）,（4,2）,（5,1）,（5,2）9I（6』）,（6,2）,（6,3）共9个，所以.22/时的概率为记=故选项C不正确；对于选项Da+b是3的倍数包含的基本事件有（1,2）,（1,5）,（2,1）,（2,4）,（3,3）,（3,6）,（4,2）,（4,5）,（5,1）,（5,4）,（6,3）,（6,6）共有12个,所以a+b是3的倍数的概率是—=—9故选项D正确，故选AD
3639.（2020•湖南高二月考）2019年国际数学奥林匹克竞赛（/MO）中国队王者归来，6名队员全部摘金，总成绩荣获世界第一，数学奥林匹克协会安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往机场接参赛选手.某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案.方案一不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为耳，外，则下列结论正确的是（）A.P[P,B.=8C.2P[=3P.D.[+8=3-6【答案】CD【解析】三辆车的出车顺序可能为可
3、
132、
213、
231、
312、321,3方案一坐到“3号”车可能
132、
213、231,所以[=—；6方案二坐到“3号”车可能
312、321,所以£=2；6所以2《=3鸟，p]+p2=l,故选CD.
10.2020•河北沧州市•高二期中从集合A={-L-3,2,4}中随机选取一个数记为〃，从集合6={-5,1,4}中随机选取一个数记为，则A.必0的概率是772B.〃+的概率是一2C.直线y=公+匕不经过第三象限的概率是g D.lna+ln/l的概率是』12【答案】AC【解析】由题意可得/所有可能的取法有-1,-5,-1,1,-1,4,-3,-5,-3,1,-3,4,2,-5,2,1,2,4,4,-5,4,1,4,412种，对于选项A满足0的取法有-1,-5,-3,-5,2,1,2,4,4,1,4,4共6种,61所以加0的概率P--二一,故选项A正确；122对于选项B满足〃+的取法有一LD,—1,4,—3,4,2,1,2,4,4,1,4,4,共7种，所7以+力之0的概率P=—,故选项B不正确；12对于选项C因为直线y=or+b不经过第三象限，所以QV0力20,所有满足直线丁=欧+人不经过第三象限的取法有—1,1,一1,4,—3,1,—3,4,共4种，41所以直线y=办+人不经过第三象限的概率=五二记故选项c正确；对于选项D因为lna+lnZ=ln4/l,所以所有满足lna+lnbl的取法31有2,4,4,1,4,4,共3种，故lna+lnbl的概率尸=一=一,故选项D不正确,故选AC124
三、填空题H.（2020•新疆巴州第一中学高二期中）从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为2【答案】§【解析】从甲、乙、丙三人中任选两名代表，所包含的基本事件有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）共22三个，其中甲被选中包含（甲，乙），（甲，丙）共两个基本事件，故甲被选中的概率为耳.故答案为
12.（2020•全国高三专题练习）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为.【答案】y【解析】4本名著选两本共有C=6种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，311所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为P=^=不故答案为
62213.（2020•山西大同市•高三月考（文））齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，规定每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，则田忌获胜的概率为.【答案】76【解析】设齐王的上等马，中等马，下等马分别为A,C,田忌的上等马，中等马，下等马分别Vj CI9b,c,每一场双方均任意选一匹马参赛，且每匹马仅参赛一次，胜两场或两场以上者获胜，基本事件有（4包Bb,6b）,（力？Be,Cb^,（46,Be,Ca^,[Ab,Ba,6b）,（4c,Bb,Ca^,（Jc,Ba,Cb^,共6个，其中田忌获胜的基本事件是（Ac,CO）,共1个，所以田忌获胜的概率为〃故答案为766
四、双空题
14.（2020•辽宁高二期末）在遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系如果两个数和b,Q的所有除本身以外的因数之和等于b,匕的所有除本身以外的因数之和等于，则称〃，b是一对亲和数.220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数.若分别在220和284的所有除本身以外的因数中各取一个数，取出的两个数相同的概率为;在取出的两个数不相同的条件下和大于180的概率为.3_2_31【答案】已【解析】220的所有除本身以外的因数有1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110,284的所有除本身以外的因数有1,2,4,71,142,分别在220和284的所有除本身以外的因数中各取一个数，基本事件总数〃=11x5=55,取出的两个数相同包含的基本事件个数根=3x1=3,YYI3・••取出的两个数相同的概率为《=—=一;n55在取出的两个数不相同包含的基本事件总数勺=C；C+C；C；=62,在取出的两个数不相同的条件下和大于180包含的基本事件有（44,142）,（55,142）,（110,71）,（110,142）,共4个，42・•・在取出的两个数不相同的条件下和大于180的概率为P=—=—.623132故答案为—,—.5531
五、解答题
15.（2020•河北省曲阳县第一高级中学高二月考）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位小时）的数据，绘制成如下的统计表组号分组频数频率1[0,3a b2[3,
6250.253[6,9C
0.404[9,
12150.155[12,15]
100.101求表中“，b,的值；2先采用分层抽样的方法，从第4组和第5组中抽取5人参科普知识竞赛，再从被抽出的5人中随机抽取2人进行能力评估，求参加能力评估的2人恰来自同一个组的概率.2【答案】1=10,b=0A0,c=40；2【解析】1题意得,c=100x
0.40=40,^=1-
0.25-
0.40-
0.15-
0.10=
0.10,则=100x
0.10=
10.所以=10,Z=
0.10,c=40；1532依题意得，从第4组抽出的人数为51一-=5x-=3人，记作A，B,C；15+105从第5组抽出的人数为5X3_=5X2=2人，记作b；15+105从5人中抽取2人,所包含的基本事件有A,3,AC,AM,A，3,C，氏，B,b,C,a,C,b,a,b,共10个；抽取的2人恰好来自同一个组所包含的基本事件有AB,AC,a,h,共4个;42所以参加能力评估的2人恰好来自同一个组的概率为P=-=-.
10516.2020•湖北十堰市•高二期中抛掷一颗般子2次，求12次点数之和为偶数的概率2第2次的点数比第1次大的概率32次点数正好是连续的2个整数的概率.【答案】1I；2；
3.【解析】连续抛掷一颗骰子2次，基本事件总数为〃=6x6=36,12次点数之和为偶数，即两个数都是偶数或都是奇数，共有2,2,2,4,2,6,4,2,4,4,4,6,6,2,6,4,6,6,1,11,3,1,5,3,1,3,3,3,5,5,1,5,3,5,5,18个，1Q1所以2次点数之和为偶数的概率为P=—=-；3622第二次的点数比第一次大的基本事件有L2,1,3,2,3,1,4,2,4,3,4,1,5,2,5,3,5,4,5,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6共15个,。
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