【高三数学知识点总结】22：数列的概念和等差数列

【高三数学知识点总结】数列的概念

1.数列的定义与通项公式

（1）数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，即简记为数列其中，称为数列的首项，称为数列的第项

（2）数列的通项公式如果数列的前项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，可以记为填空题要写出数列的通项公式要记得写成“”的形式如已知数列的前项和为那么该数列的通项公式为

2.数列的前项和

（1）

（2）与的关系.例已知数列的前项和的公式，求的通项公式.

（1）；

（2）.答案

（1）；

（2）

3.数列的单调性

①递增数列对于任意均有

②递减数列对于任意均有例已知数列是递增数列，且则实数的取值范围为_________.答

4.求数列的最大项（或最小项）

（1）利用数列的单调性求.例若求数列第几项最大.解，当时，；当时，；当时，.，中第8项或第9项最大.

（2）利用相邻项的关系求解若最大，则；若最小，则.

5.数列是关于项数的函数，其定义域是正整数集或它的子集，其图像是一些离散的点数列问题也可以利用函数的视角解题例已知数列的通项公式则数列的第________项最大.答

10.等差数列

1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，即（常数）.例若数列满足则_________.答

2.等差数列的通项公式若等差数列的首项为公差为则其通项公式为.注

（1）推广如

（2），等差数列的通项是关于的一次函数，一次项前的系数为公差

3.等差中项若三个数组成等差数列，那么叫做与的等差中项，且.注:证明等差数列的方法两种

（1）定义法（常数）或（常数）例1已知各项均为正数的数列的前项和为且求数列的通项公式.答例2已知数列的前项和为且满足

（1）求证是等差数列；

（2）求的表达式.答

（1）

（2）.

（2）等差中项法若，则，即成等差数列.例已知数列中，前项和

（1）求证数列是等差数列；

（2）求数列的通项公式.答

（1）

（2）

4.等差数列的前项和公式

（1）若已知首项和末项则；

（2）若等差数列的首项为公差为则其前项和公式为；

（3）若等差数列的首项为公差为则其前项和公式为.注:等差数列的前项和则是关于的二次函数，且常数项为

0.例等差数列的前项和分别为且则_____.答变式_____.答

5.等差数列的常用性质

（1）等和性质若为等差数列，且则有.

（2）片段和性质数列也成等差数列，公差为

（3）隔项成等差若为等差数列，公差为则使公差为的等差数列.

（4）奇数项的和等于中间项乘以项数，即

（5）奇偶性质若为偶数，则；若为奇数，则（中间项）.

（6）若为等差数列，为其前项和，则也是等差数列.

（7）若与是等差数列，且前项和分别为与则例

（1）在等差数列中，已知则___________.

（2）已知、分别是等差数列的前项和，且则___________.

（3）设等差数列的前项和为若则正整数______.答

（1）

（2）

（3）

6.求的最值法一因等差数列前项和是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.法二

（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当由可得达到最大值时的值．

（2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和即当由可得达到最小值时的值．例设递减的等差数列的前项和为若

（1）求数列的通项公式；

（2）当为何值时，取得最大值？

（3）求答:

（1）

（2）或

（3）.

7.已知等差数列求字母的值特值法（利用前三项成等差）+检验例已知等差数列中，公差其前项和为且满足

（1）求数列的通项公式；

（2）设若是等差数列，求的值；

（3）求的最大值.答

（1）；

（2），；

（3）时取最大值。