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（三）不等式的性质及一元二次不等式
一、基础练一练手感熟练度
1.（2022/宁模拟）已知全集1/=鼻集合A={X|X2-3X+220},则CRA等于（）A.1,2B.[1,2]C.一8,1]U[2,+8D.一8,1U2,+8解析选A由题意可得，CRA={X|X2-3X+2VO}={X|1VXV2},表示为区间形式即1,
2.故选A.
2.若实数m,ii满足mw0,则a11A.——m nc・W D.m2mn解析选B取机=2,〃=1,代入各选择项验证A、C、D不成立，只有B项成立（事实上6+1\奸1）.A2a
23.若0,bvO,则p=^+不与q=a+b的大小关系为（）A.pq B.pq C.pq D.p》q_h2,a2b2~a2,a2~b
2、、“
1、h2—a2b—a解析选B p-q=-+~a-b=-r+-^-=_标.匕_/=1脸一^-.*a0,力VO,方VO,力0,若=力，则p——q=O,此时p=q,若aWb,则p—gVO,此时pVq,综上，pWq.
4.不等式艺的解集是（）D.—•1U1,31一J C.「白，1）U x+
5、2x+lQ-3（
1.31一J x-iy2WO XT解得一WxW3且x#l.解析选D
5.若VxWRZx2—mx+320恒成立，则实数次的取值范围为解析由题意可知/=〃产-24W0,解■得一2班WmW2布.答案[-2后,276]
二、综合练一练思维敏锐度
1.多选设，为非零实数，且幼，则下列不等式恒成立的是A.a2ab B.a2b2C•春焉D・苏〃解析选CD对于A,当Q=2,〃=3时，ab,但2v2X3,故A不一定成立；对于B,当=-2,方=1时，abt但-2212,故B不一定成立；对于C,*aht；・康一志=2力0,故C恒成立；对于D,ai-bi=a—ba2-}-ab-^b2=a—b」2,4”-,•ab,一力vO,又一万力十丁・・・苏53,故D恒成立.故选C、D.
2.已知a为实数，贝是“24r3”的A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选C当时，a2-a3=a2l_a0,所以解Q3;当时,a2a—10,所以.综上，是2〃3，，的充要条件.故选c.
3.若关于x的不等式GX一力0的解集是1,+°°»则关于x的不等式GX+BX—30的解集是A.—8,—1U3,4-°°B.1,3C.-1,3D.一8,1U3,+8解析选C关于X的不等式如一从0的解集是1,4-oo,即不等式好3的解集是1,4-°°,/.«=/0,，不等式dx+〃x—30可化为x+l・x—30,解得一1X3,，所求解集是一1,
3.
4.若存在[—2,3],使不等式2工一炉2成立，则实数的取值范围是A.-8,1]B.-8,-8]C.[1,4-oo D.[-8,+8解析选A设人幻=2%一必=一*-12+1・1,因为存在工£[一20，使不等式2工一X22“成立，所以〃W/Ixmax,所以aWl,故选A.
5.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是“今有人出钱576,买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为（）A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱解析选C依题意可设买大竹子x根，每根单价为山，购买小竹子78-x根，每根单价为/〃一1钱，所以576=，心+（78—幻（，〃-1）,即78m+x=654,即x=6（109—136）.因为-109109一13m20,即V即驾根据选项知m=8,x04W78,所以6109-13/n^78,=30,所以买大竹子30根，每根8钱.
6.（2022•广州楂拟）若“，/满足则的取值范围是（）A.—n.a—fl.n B.—/0C.—«—//I）.—«—解析:选B从题中一与V〃V夕〈为可分离出三个不等式一与VaV与
①,一^〈片与
②,afl
③.根据不等式的性质，
②式同乘以一1得一]一4]
④，根据同向不等式的可加性，可得一7tVa—/九由
③式得a—/V0,所以一7iVa—/V0,故选B.
7.在关于x的不等式/-3+l）x+〃v0的解集中至多包含2个整数，则的取值范围是（）A.（-3,5）B.（-2,4）C.[-3,5]D.[-2,4]解析选D关于x的不等式炉一■（a+i）x+“vo可化为（x—l）（x—〃）
0.当时，不等式的解集为（1,）；当〃1时，不等式的解集为3,1）.要使得解集中至多包含2个整数，则“W4且°2—
2.又当a=l时，不等式的解集为，符合题意.所以a的取值范围是[-2,4],故选D.
8.若则不等式3一工）（丫-00的解集是.解析原不等式等价于住一切一00,,E11由Ov“vl,仔/.axr^答案[x\ax^
9.己知”+〃0,则系+/与十+的大小关系是__________________.皿9a、b（
1.1A a-b.b—a/,、1A（〃+二）（〃一力）*，.・・登也
2.崂+袅鸿.答案:普+拄那
10.已知三个不等式
①汕〉0；
②〉多
③儿〉Qd.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，共可组成个正确的命题.解析研究
①②二
③，由于外0,故一V
一、两边同乘以一必得加〉ad,故
①②③成立；研究
①③今
②，由于帅0,故加ad两边同除以一得一:〈一系故
①③②成立；研究
②③今
①，由于一一，两边同乘以一必得bcadt由不等式的性质知必有一ab V0即讳0,故
②③0
①成立.答案
311.若不等式好+收一20在区间［1,5］上有解，则的取值范围是.解析令人幻=》2+如-
2.・・・H0=-2,于是不等式在区间［1,5］上有解的充要条件是450,解得一等，故的取值范围为一g,+
8.答案一K+
812.已知函数人》=炉++以小b£R的值域为［0,+°°.若关于x的不等式凡rVc的解集为加，机+6,则实数c的值为.解析由题意知.Ax=x2+ax+方=G+f2+》—5•.因为函数大幻的值域为［0,+8,所以力一彳=0,得力=彳■.由/trVc可得c0,且G+^Vc,解得一彳一代VxV—+正，所,〃i+6=一微+/，所以6=旭+6-加=2标，解得c=
9.答案
913.已知二次函数式工=”一m+2x+laCZ,且函数/x在一2,—1上恰有一个零点，则不等式人幻1的解集为.解析因为/x=ar2—a+2x+laW0,J=fl4-22—4a=a24-40,所以函数人x=ax2—°+2x+l必有两个不同的零点.因此八一2成-1VO,所以6«+52a+3V
0.解得一%.又a£Z,所以“=—
1.不等式人工1,即为一炉一x0,解得一IVxVO.故不等式大幻1的解集为一1,
0.答案一1,
014.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低X成13-2成=10%,售出商品数量就增加*成.要求售价不能低于成本价.1设该商店一天的营业额为，，试求J，与X之间的函数关系式j，=Ax,并写出定义域；2若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.解⑴由题意得，尸1《一部T0l+亲因为售价不能低于成本价，所以100一部一8020,解得
002.所以，=大幻=4010-x25+4x,定义域为{x|0WxW2}.1H2由题意得4010—x25+4x210260,化简得8x2-30x+13^0,解得又O0W2,所以x的取值范围是七
2115.己知函数於=*2—3+
1.1若大幻20在R上恒成立，求实数〃的取值范围；2若大幻、2成立，求实数的取值范围.解1由题意得/=一4W0,解得一4Wa/4,，实数的取值范围为[-4,4].2由题意使得50一之成立.令gx=x-,xe[l,2],则gx在区间[1,2]上单调递增，・・・gxmax=g2=盘等号解得“W3,・,•实数G的取值范围为-8,3].。
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