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(三)不等式的性质及一元二次不等式
一、基础练一练手感熟练度
1.(2022/宁模拟)已知全集1/=鼻集合A={X|X2-3X+220},则CRA等于()A.1,2B.[1,2]C.一8,1]U[2,+8D.一8,1U2,+8解析选A由题意可得,CRA={X|X2-3X+2VO}={X|1VXV2},表示为区间形式即1,
2.故选A.
2.若实数m,ii满足mw0,则a11A.——m nc・W D.m2mn解析选B取机=2,〃=1,代入各选择项验证A、C、D不成立,只有B项成立(事实上6+1\奸1).A2a
23.若0,bvO,则p=^+不与q=a+b的大小关系为()A.pq B.pq C.pq D.p》q_h2,a2b2~a2,a2~b
2、、“
1、h2—a2b—a解析选B p-q=-+~a-b=-r+-^-=_标.匕_/=1脸一^-.*a0,力VO,方VO,力0,若=力,则p——q=O,此时p=q,若aWb,则p—gVO,此时pVq,综上,pWq.
4.不等式艺的解集是()D.—•1U1,31一J C.「白,1)U x+
5、2x+lQ-3(
1.31一J x-iy2WO XT解得一WxW3且x#l.解析选D
5.若VxWRZx2—mx+320恒成立,则实数次的取值范围为解析由题意可知/=〃产-24W0,解■得一2班WmW2布.答案[-2后,276]
二、综合练一练思维敏锐度
1.多选设,为非零实数,且幼,则下列不等式恒成立的是A.a2ab B.a2b2C•春焉D・苏〃解析选CD对于A,当Q=2,〃=3时,ab,但2v2X3,故A不一定成立;对于B,当=-2,方=1时,abt但-2212,故B不一定成立;对于C,*aht;・康一志=2力0,故C恒成立;对于D,ai-bi=a—ba2-}-ab-^b2=a—b」2,4”-,•ab,一力vO,又一万力十丁・・・苏53,故D恒成立.故选C、D.
2.已知a为实数,贝是“24r3”的A.充分不必要条件B,必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析选C当时,a2-a3=a2l_a0,所以解Q3;当时,a2a—10,所以.综上,是2〃3,,的充要条件.故选c.
3.若关于x的不等式GX一力0的解集是1,+°°»则关于x的不等式GX+BX—30的解集是A.—8,—1U3,4-°°B.1,3C.-1,3D.一8,1U3,+8解析选C关于X的不等式如一从0的解集是1,4-oo,即不等式好3的解集是1,4-°°,/.«=/0,,不等式dx+〃x—30可化为x+l・x—30,解得一1X3,,所求解集是一1,
3.
4.若存在[—2,3],使不等式2工一炉2成立,则实数的取值范围是A.-8,1]B.-8,-8]C.[1,4-oo D.[-8,+8解析选A设人幻=2%一必=一*-12+1・1,因为存在工£[一20,使不等式2工一X22“成立,所以〃W/Ixmax,所以aWl,故选A.
5.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题“今有出钱五百七十六,买竹七十八,欲其大小率之,问各几何?”其意是“今有人出钱576,买竹子78根,拟分大、小两种竹子为单位进行计算,每根大竹子比小竹子贵1钱,问买大、小竹子各多少根?每种竹子单价各是多少钱?”则在这个问题中大竹子的单价可能为()A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱解析选C依题意可设买大竹子x根,每根单价为山,购买小竹子78-x根,每根单价为/〃一1钱,所以576=,心+(78—幻(,〃-1),即78m+x=654,即x=6(109—136).因为-109109一13m20,即V即驾根据选项知m=8,x04W78,所以6109-13/n^78,=30,所以买大竹子30根,每根8钱.
6.(2022•广州楂拟)若“,/满足则的取值范围是()A.—n.a—fl.n B.—/0C.—«—//I).—«—解析:选B从题中一与V〃V夕〈为可分离出三个不等式一与VaV与
①,一^〈片与
②,afl
③.根据不等式的性质,
②式同乘以一1得一]一4]
④,根据同向不等式的可加性,可得一7tVa—/九由
③式得a—/V0,所以一7iVa—/V0,故选B.
7.在关于x的不等式/-3+l)x+〃v0的解集中至多包含2个整数,则的取值范围是()A.(-3,5)B.(-2,4)C.[-3,5]D.[-2,4]解析选D关于x的不等式炉一■(a+i)x+“vo可化为(x—l)(x—〃)
0.当时,不等式的解集为(1,);当〃1时,不等式的解集为3,1).要使得解集中至多包含2个整数,则“W4且°2—
2.又当a=l时,不等式的解集为,符合题意.所以a的取值范围是[-2,4],故选D.
8.若则不等式3一工)(丫-00的解集是.解析原不等式等价于住一切一00,,E11由Ov“vl,仔/.axr^答案[x\ax^
9.己知”+〃0,则系+/与十+的大小关系是__________________.皿9a、b(
1.1A a-b.b—a/,、1A(〃+二)(〃一力)*,.・・登也
2.崂+袅鸿.答案:普+拄那
10.已知三个不等式
①汕〉0;
②〉多
③儿〉Qd.若以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,共可组成个正确的命题.解析研究
①②二
③,由于外0,故一V
一、两边同乘以一必得加〉ad,故
①②③成立;研究
①③今
②,由于帅0,故加ad两边同除以一得一:〈一系故
①③②成立;研究
②③今
①,由于一一,两边同乘以一必得bcadt由不等式的性质知必有一ab V0即讳0,故
②③0
①成立.答案
311.若不等式好+收一20在区间[1,5]上有解,则的取值范围是.解析令人幻=》2+如-
2.・・・H0=-2,于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是450,解得一等,故的取值范围为一g,+
8.答案一K+
812.已知函数人》=炉++以小b£R的值域为[0,+°°.若关于x的不等式凡rVc的解集为加,机+6,则实数c的值为.解析由题意知.Ax=x2+ax+方=G+f2+》—5•.因为函数大幻的值域为[0,+8,所以力一彳=0,得力=彳■.由/trVc可得c0,且G+^Vc,解得一彳一代VxV—+正,所,〃i+6=一微+/,所以6=旭+6-加=2标,解得c=
9.答案
913.已知二次函数式工=”一m+2x+laCZ,且函数/x在一2,—1上恰有一个零点,则不等式人幻1的解集为.解析因为/x=ar2—a+2x+laW0,J=fl4-22—4a=a24-40,所以函数人x=ax2—°+2x+l必有两个不同的零点.因此八一2成-1VO,所以6«+52a+3V
0.解得一%.又a£Z,所以“=—
1.不等式人工1,即为一炉一x0,解得一IVxVO.故不等式大幻1的解集为一1,
0.答案一1,
014.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低X成13-2成=10%,售出商品数量就增加*成.要求售价不能低于成本价.1设该商店一天的营业额为,,试求J,与X之间的函数关系式j,=Ax,并写出定义域;2若再要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.解⑴由题意得,尸1《一部T0l+亲因为售价不能低于成本价,所以100一部一8020,解得
002.所以,=大幻=4010-x25+4x,定义域为{x|0WxW2}.1H2由题意得4010—x25+4x210260,化简得8x2-30x+13^0,解得又O0W2,所以x的取值范围是七
2115.己知函数於=*2—3+
1.1若大幻20在R上恒成立,求实数〃的取值范围;2若大幻、2成立,求实数的取值范围.解1由题意得/=一4W0,解得一4Wa/4,,实数的取值范围为[-4,4].2由题意使得50一之成立.令gx=x-,xe[l,2],则gx在区间[1,2]上单调递增,・・・gxmax=g2=盘等号解得“W3,・,•实数G的取值范围为-8,3].。