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概率论知识点总结第一章随机事件及其概率第一节根本概念随机实验将一切具有下面三个特点
(1)可重复性
(2)多结果性
(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E表示.随机事件在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件.不可能事件在试验中不可能出现的事情,记为
①.必然事件在试验中必然出现的事情,记为..样本点随机试验的每个根本结果称为样本点,记作
3.样本空间所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用.表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集.根本领件一单点集,复合事件一多点集一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现.事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)包含关系假设事件A发生必然导致事件B发生,那么称B包含A,记为B及A或A之B.相等关系假设8二A且4二8,那么称事件A与事件B相等,记为A=B.事件的和“事件A与事件B至少有一个发生〃是一事件,称此事件为事件A与事件B的和事件.记为AUB.事件的积称事件“事件A与事件B都发生〃为A与B的积事件,记为AH B或AB.事件的差称事件“事件A发生而事件B不发生为事件A与事件B的差事件,记为A-B.用交并补可以表示为A-B^AB.互斥事件如果A,B两事件不能同时发生,即人8二中,那么称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件.互斥时AuB可记为A+B.对立事件称事件“A不发生”为事件A的对立事件逆事件,记为A对立事件的性质Ac B=
①,A uB=Q.事件运算律设A,B,C为事件,那么有1交换律AUB=BUA,AB=BA2结合律AU BUC=AUB UC=AUBUC ABC=AB C=ABC3分配律AU BHC=AUB nAUC ABUC=AHB UAnC=ABUAC4对偶律摩根律AuB=Ac BAcB=AuB第二节事件的概率概率的公理化体系1非负性:PA三0;2标准性PQ=13可数可加性Al uA2u...uPu...两两不相容时概率的性质:1P
①=0⑵有限可加性Al UA2U.・.LM两两不相容时当AB二
①时P AUB=P A+P B3PA=1-PA4PA-B=P A-PAB5P AUB=P A+P B-P AB第三节古典概率模型
1、设试验E是古典概型,其样本空间.由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.那么k定义事件A的概率为PA=%n
2、几何概率设事件A是Q的某个区域,它的面积为uA,那么向区域.上随机投掷一点,该点落在区域A的概率为尸4=曳*MQ假设样本空间.可用一线段,或空间中某个区域表示,那么事件A的概率仍可用上式确定,只不过把口理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为条件概率,记作PA|B.乘法公式:PAB=PBPA|B=PAPB|A全概率公式设今是一个完备事件组,那么PB=£PAPB|A贝叶斯公式设4,4,...,4是一个完备事件组,那么第五节事件的独立性两个事件的相互独立假设两事件A、B满足PAB=PA PB,那么称A、B独立,或称A、B相互独立.三个事件的相互独立对于三个事件A、B、C,假设PAB=PA PB,PAC=PAPC,PBC=PB PC,PABC=PA PBPC,那么称A、B、C相互独立三个事件的两两独立对于三个事件A、B、C,假设PAB=PA PB,PAC=PAPC,PBC=PB PC,那么称A、B、C两两独立独立的性质假设A与B相互独立,那么A与B,A与8,A与B均相互独立总结
1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色.
2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,应牢固掌握.
3.独立性是概率论中的最重要概念之一,应正确理解并应用于概率的计算.第二章一维随机变量及其分布第二节分布函数分布函数设X是一个随机变量,x为一个任意实数,称函数尸X=P{X%}为X的分布函数.如果将X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数F x的值就表示X落在区间f-8,X]内的概率分布函数的性质[1)单调不减;12)右连续;
(3)F〔-8)=0/(+8]=1第三节离散型随机变量离散型随机变量的分布律设xjk=l,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值,称P/X==p*为离散型随机变量X的分布律,也称概率分布.当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时,常用表格形式表示分布律.分布律的性质⑴opzl;⑵ZpZ=l离散型随机变量的概率计算(1〕随机变量X的分布律,求X的分布函数;[2)随机变量X的分布律,求任意随机事件的概率;[3)随机变量X的分布函数,求X的分布律三种常用离散型随机变量的分布
1.〔0一1〕分布参数为P的分布律为77X=1}=P1/X=O}=1-P
2.二项分布参数为n,p的分布律为P/X=左}=C叩出U-/)n-k,女=0,1,2,例如n”重独立重复实验中,事件A发生的概率为P,记X为这n次实验中事件A发生的次数,那么X B(n,p)入k
3.泊松分布参数为人的分布率为尸{X=攵}=船-3左=/,2,.例如记X为某段事件内交换机接到的呼叫次数,那么X〜P入第四节连续型随机变量连续型随机变量概率密度fx的性质⑴fx三02lfxdx=7,P/X-a}-\i afxdx=0一8a3P[a Xb]=P{a Xh}=P{a Xb}-P{a Xb}=』b fxdxa4fx=F,x,Fx=fxdx一8连续型随机变量的概率计算⑴随机变量X的密度函数,求X的分布函数;/⑴=fx公一82随机变量X的分布函数,求X的密度函数;fx=Fx⑶随机变量X的密度函数,求随机事件的概率;P{aXb}=J bfxdx⑷随机变量X的分布函数,求随机事件的概率;P{aXb}=FbYFa三种重要的连续型分布:a-x~/,记为X〜U[a,b].
1.均匀分布密度函数/X=\b-else a
02.指数分布密度函数〃x=「力>°,记为X〜E入I0X-0N0,1称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可A1U
23.正态分布密度函数/X二.央;以通过线性变换转化为标准正态与布,越蠢计算概率.第五节随机变量函数的分布离散型在分布律的表格中直接求出;连续型寻找分布函数间的关系,再求导得到密度函数间的关系;注意分段函数情况可能需要讨论,得到的结果也可能是分段函数.第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的联合分布函数联合分布函数Rx,y=P{X-x,7-y},表示随机点落在以x,y为顶点的左下无穷矩形区域内的概率.联合分布函数的性质1分别关于x和y单调不减;⑵分别关于x和y右连续;33F-8,y=0,Fx,-8=0,F-8,-8=0F+8,+8=1第二节二维离散型随机变量联合分布律P{X=x,Y=y}=p联合分布律的性质pt0;注pj=1第三节二维连续性随机变量联合密度:Fx,y=f vdv\x fu,vdu联合密度的性质/x,y0;ff/x,ydxdy=1;P{x,yeD}=ff fx,ydxdy第四节边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布律在表格边缘,对应概率相加求出;二维连续性随机变量的边缘密度先求出边缘分布函数,在求导求出边缘密度第六节随机变量的独立性独立性判断1假设x,y取值互不影响,可认为相互独立;2根据独立性定义判断Fx,y=FxxFyy离散型可用pj=P AP-j连续型可用/x,y=于x6cfy
⑨独立性的应用1判断独立性;2独立性,由边缘分布确定联合分布第四章随机变量的数字特征离散型随机变量数学期望的计算EX=ZXR,EgX=Zgxj%kk连续型随机变量数学期望的计算EX=1xf xdx,E gX=1gx f6cdx方差的计算DX=EX—EX2,DX=EX2—E2X数学期望的性质DE C=C2E CX=CE X3E X+Y=E X+E Y4当X,Y独立时,E XY=E XE Y方差的性质1D C=02D CX=C2D X3假设X,Y相互独立,那么DX±Y=DX+DY常见分布的数学期望和方差两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布。