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第九讲等差数列与等比数列【知识回顾】
一、等差数列
1.涉及等差数列的基本概念的问题,常用基本量a,d来处理;
12.若奇数个成等差数列且和为定值时,可设中间三项为ad,a,ad;若偶数个成等差数列且和为定值时,可设中间两项为ad,ad,其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元.
3.等差数列的相关性质:aa1等差数列{a}中,aamnd,变式dm n,mn;n m n mn2等差数列{a}的任意连续m项的和构成的数列S,SS,SS,仍为等差n m2m m3m2m数列.3等差数列{a}中,若mnpq,则aaaa,n mn pq若mn2p,则aa2am n p14等差数列{a}中,San2bn(其中ad,d0)n n25两个等差数列{a}与{b}的和差的数列{ab}仍为等差数列.n n n n6若{a}是公差为d的等差数列,则其子列a k,a k+m,a k+2m,L也是等差数列,n且公差为md;{ka n}也是等差数列,且公差为kd.7在项数为2n1项的等差数列{a}中,S=n+1a,S=na,S=2n+1a;n奇中偶中2n+1中在项数为2n项的等差数列{a}中,S=na,S=na,S=naa.n奇n偶n12n+1n n1SSn,n8等差数列{a}中,n也是一个等差数列,即点n(nN*)在一条直线上.nn9两个等差数列{a}与{b}中,S n,T n分别是它们的前n项和,则a nS2n
1.n nb Tn2n1
二、等比数列
1.涉及等比数列的基本概念的问题,常用基本量a,q来处理;1aa,aq,aq2,a,aq
2.已知三个数成等比数列时,可设这三个数依次为或;qa a四个数时设为、、aq、aq3q3q
3.等比数列的相关性质:1若a是等比数列,则aaqmn;n mn2若a是等比数列,m,n,p,tN*,当mnpt时,aaaan mnpt特别地,当mn2p时,aaa2mnp3若a是等比数列,则下标成等差数列的子列构成等比数列;n4若{a n}是等比数列,S是{a n}的前n项和,则S,SS,SS…成等比m m2m m3m2m数列.a15两个等比数列{a}与{b}的积、商、倒数的数列{a b}、n、仍为等比数列.n n n nbbn n【考点剖析】考点一等差数列的通项和求和公式例
1、等差数列{a}的前n项和为S,且S=6,a=4,则公差d等于()n n315A.1B.C.-2D.33选题意图本题涉及等差数列的基本概念的问题,用基本量a,d来处理1答案C3解析∵S6aa且aa2d,a4,d2,故选C.3213311例
2、已知a为等差数列,a+a+a=105,aaa=99,以S表示a的前n项n135246n n和,则使得S达到最大值的n是()()n(A)21(B)20(C)19(D)18选题意图本题涉及等差数列的前n项和最大的问题,是比较典型的答案B解析由a+a+a=105得3a105,即a35,13533由aaa=99得3a99即a33,24644∴d2,aan42412n,n4a0由n得n20,选Ba0n1变式训练将全体正整数排成一个三角形数阵123456789101112131415………………按照以上排列的规律,第n行(n3)从左向右的第3个数为.n2n6答案2n2n解析前n-1行共有正整数1+2+…+(n-1)个,即个,2n2n n2n6因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个,即为.22点评本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力.考点二等比数列的通项和求和公式例
3、已知等比数列{a}的公比为正数,且a·a=2a2,a=1,则a=()n3952112A.B.C.2D.222选题意图本题涉及等比数列的基本概念的问题,用基本量a,q来处理1答案B2解析设公比为q,由已知得aq2aq82aq4,即q22,111又因为等比数列{a}的公比为正数,所以q2,na12故a2,选B.1q22例
4、设S为等比数列a的前n项和,SS2S,求公比q的值.n n369选题意图本题考查等比数列的求和公式答案解析若q1,则SS3a6a9a,2S29a18a,36111911由SS2S得a0舍去.所以q1,3691a1q3a1q62a1q91由SS2S得111q3,3691q1q1q234q.2变式训练已知数列a,S是它的前n项和,且S4a2nN,a1,n n n1n1
(1)设ba2anN,求证:数列b是等比数列;n n1n na
(2)设cn,求证:数列c是等差数列.n2n n选题意图本题考查等差数列、等比数列的证明.证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n项和S已知可求a.n n答案解析
(1)S4a2,S4a2SS4a4a,n1n n2n1n2n1n1n即a4a4a,n2n1nb a2a4a4a2a2a4a故n1n2n1n1n n1n1n2b a2a a2a a2an n1n n1n n1n由此可得b是等比数列且首项ba2a3,n121公比q2,b32n1na a a b32n13
(2)cn,ccn1nnn2n n1n2n12n2n12n14a13可知c是首项c1,公差d的等差数列,n122431cn.n44考点三等差数列的性质例
5、设等差数列a的前n项和为S,若S72,则aaa=.n n9249选题意图本题考查等差数列的性质解析a是等差数列,由S72,得S9a,a8n9955aaaaaaaaa3a
24.2492945645例
6、等差数列a n的前n项和为S n,已知a m1a m1a m20,S2m138,则m.(A)38(B)20(C)10(D)9w.w.w.k.选题意图本题考查等差数列的性质,比较典型答案C解析因为a是等差数列,所以,aa2a,n m1m1m由aaa20,得2a-a2=0,所以,a=2,m1m1m m mm2m1aa又S38,即12m1=38,2m12整理得(2m-1)×2=38,解得m=10,故选C.aa...a7n2a变式训练两个等差数列a,b,12n,则5=___________.n nbb...b n3b12n565答案12考点四等比数列的性质S S例
7、设等比数列{a}的前n项和为S,若6=3,则9=()n nS S3678(A)2(B)(C)(D)333选题意图本题考查等比数列的性质,比较典型答案BS1q3S解析设公比为q,则63=1+q3=3q3=2,S S33S1q3q61247于是9S1q31236例
8、在等比数列a中,若a,a是方程3x22x60的两根,则aa=__________.n11047选题意图本题考查等比数列的性质、根与系数的关系,比较简单答案2解析a aaa247110变式训练在等比数列a中,完成下列各题n
(1)若a0nN,且a a2a aa a25,求aa的值;n24354635
(2)若aaa,aab,a,b0,求aa的值;910192099100答案解析
(1)a22a aa225,即aa225,335535又因为a0nN,所以aa5n35aa bb9b9
(2)因为1920q10,所以aaaa q90aaa a99100910aa8910考点五等差数列、等比数列的综合例
9、等差数列{a}的公差不为零,首项a=1,a是a和a的等比中项,则数列的前10n1215项之和是()A.90B.100C.145D.190w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m选题意图本题考查等差数列的前n项,等比中项等内容答案B解析设公差为d,则1d2114d.∵d≠0,解得d=2,∴S=10010例
10、设a是公差不为0的等差数列,a2且a,a,a成等比数列,则a的前n项n1136n和S=()nn27n n25n n23nA.B.C.D.n2n443324选题意图本题考查等差数列的前n项和,等比数列的概念答案A解析设数列{a}的公差为d,则据题意得22d2225d,n1解得d或d0(舍去),2nn11n27n所以数列{a}的前n项和S2nn n2244例
11、公差不为零的等差数列{a}的前n项和为S.若a是a与a的等比中项,S32,n n4378则S等于()10A.18B.24C.60D.90w.w.w.k.s.
5.u.c.o.m选题意图本题考查等差数列的前n项,等比中项等内容答案C解析由a2a a得a3d2a2da6d得2a3d0,437111156再由S8ad32得2a7d8812190则d2,a3,所以S10ad
60.110121例
12、已知点(1,)是函数fxaxa0,且a1)的图象上一点,等比数列{a}的3n前n项和为fnc,数列{b}b0的首项为c,且前n项和S满足n n nS-S=S+S(n2).n n1n n1
(1)求数列{a}和{b}的通项公式;n n11000
(2)若数列{}前n项和为T,问T的最小正整数n是多少b b n n2009n n1选题意图本题考查等差数列、等比数列的综合应用x11解析
(1)Q f1a,fx3312af1cc,af2cf1c,13292af3cf2c.3274又数列a成等比数列,aa228121c,所以c1;n1a233327n1na1211又公比q2,所以a2nN*;a3n3331Q SSSS SSSSn2n n1n n1n n1n n1又b0,S0,SS1;n n n n1数列S构成一个首项为1公差为1的等差数列,n故S1n11n,Sn2n n当n2,bSSn2n122n1;n n n1b2n1(nN*);n1111
(2)TLn bb b b bb b b122334n n11111K1335572n12n1111111111111K2323525722n12n111n1;22n12n1n100010001000由T得n,满足T的最小正整数为
112.n2n120099n2009【课后作业】
1.在等差数列{a}中,a1,a5则{a}的前5项和S=()n24n5A.7B.15C.20D.
252.已知a为等比数列,aa2,a a8,则aa()n4756110A7B5CD
3.定义在,00,上的函数fx,如果对于任意给定的等比数列{a},{fa}仍是n n等比数列,则称fx为“保等比数列函数”.现有定义在,00,上的如下函数
①fxx2;
②fx2x;
③fx|x|;
④fxln|x|.则其中是“保等比数列函数”的fx的序号为()A.
①②B.
③④C.
①③D.
②④
4.已知等差数列a n的前n项和为S n,a55,S515,则数列aa1的前100项和为()n n11009999101(A)(B)(C)(D)
1011011001005.已知等比数列{a}为递增数列,且a2a,2aa5a,则数列{a}的通项n510n n2n1n公式a=______________.n
6.设数列a,b都是等差数列,若ab7,ab21,则ab__________.n n
11335517.已知{a}等差数列S为其前n项和.若a,Sa,则a=_______.n n12322ab
8.已知各项均为正数的两个数列{a}和{b}满足an n,nN*,n n n1a2b2n n2bb
(1)设b1n,nN*,求证数列n是等差数列;n1ananb
(2)设b2n,nN*,且{a}是等比数列,求a和b的值.n1a n11n
9.已知{a}是等差数列,其前n项和为S,{b}是等比数列,且ab2,ab27,n n n1144Sb
10.44(Ⅰ)求数列{a}与{b}的通项公式;n n(Ⅱ)记Ta ba ba b,nN*,证明T122a10b(nN*).n n1n121n n n n【参考答案】
1.【答案】B【解析】因为a1,a5,所以aaaa6,2415245aa5aa5所以数列的前5项和S1524615,选B.
52222.【答案】D【解析】因为{a}为等比数列,所以a aa a8,n5647又aa2,所以a4,a2或a2,a
4.474747若a4,a2,解得a8,a1,aa7;47110110若a2,a4,解得a8,a1,仍有aa7,47101110综上选D.
3.【答案】C【解析】等比数列性质,a aa2,n n2n1
①fafaa2a2a22f2a;n n2n n2n1n1
②fafa2a n2a n22a na n222a n1f2a;n n2n1
③fafaa aa2f2a;n n2n n2n1n1
④fafalna lnalna2f2a.n n2n n2n1n1故选C
4.【答案】A【解析】由a5,S15,得a1,d1,所以a1n1n,551n1111所以,a a nn1n n1n n1111111111100又1,选A.a a aa
1223100101101101121001015.【答案】2n【解析】a2a,aq42aq9,aq,aqn,510111n2aa5a,2a1q25a q,n n2n1n n121q25q,解得q2或q(舍去),a2n.2n
6.【答案】35【解析】设数列{a},{b}的公差分别为d,b,n n则由ab21,得ab2bd21,3311即2bd21714,所以bd7,所以abab4bd747
35.
5511117.【答案】a1,Sn2n2n441【解析】因为Saaaaaada2dda,231231111211所以aad1,Snann1dn2n.21n144b abb
8.【解析】
(1)∵b1n,∴an n=n
1.n1a nn1a n2b n21bn2an2bb∴n11n.a n1a n22222∴b n1b n1b nb n1nN*.a n1ananan2b∴数列n是以1为公差的等差数列.anab2
(2)∵a0,b0,∴n na2b2ab
2.n n2nnn nab∴1ann
2.(﹡)n1a2b2nn设等比数列{a}的公比为q,由a0知q0,下面用反证法证明q=1n na若q1,则a=2a2,12q2∴当nlog时,aaqn2,与(﹡)矛盾.q n11a1a若0q1,则a=2a1,12q1∴当nlog时,aaqn1,与(﹡)矛盾.q n11a1∴综上所述,q=
1.∴aanN*,∴1a
2.n11b22又∵b2n=bnN*,∴{b}是公比是的等比数列.n1aann an112若a2,则1,于是bbb.1123a1ab ab aa22a2又由ann即a1n,得b=
111.n1an2b n21a12bn2na121∴b,b,b中至少有两项相同,与bbb矛盾.∴a=
2.1231231222222∴b==
2.n221∴a=b=
2.
129.【解析】
(1)设数列{a}的公差为d,数列{b}的公比为q,nnab2723d2q327d3则44Sb104a6d2q310q2441故a3n1,b2nn n
(2)Ta ba ba bnn1n121na3n13n23n5ncc2n12n12n22n1nn1T2n[cccccc]2ncc n1223nn11n1102n23n510b2a12T1210b2an nnnn。