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文本内容:
7.
3.2离散型随机变量的方差必备知识•自主学习离散型随机变量的方差、标准差⑴定义如果离散型随机变量x的分布列如表所示因为X的均值为EX所以DX=因-£%20+⑴-ex2〃+…+x“-Eg“=」互-EX2pi称为随机变量X的方差,有i=1时也记作VarX并称\]dX为随机变量X的标准差,记作⑵意义随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的离散程度.方差和标准差越小,随机变量的取值越集生;方差与标准差越大随机变量的取值越分散.且£X=
1.1则X二131【解析】由随机变量分布列的性质可得.
113、又石X=0xg+lx-+xx布=
1.1解得x=
2.所以X=0-+2-l.l2x-^=
0.
49.答案
0.
495.已知海关大楼顶端镶有AB两面大钟,它们的日走时误差分别为XlX2单位:S其分布列如下根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.【解析】由题意得,EXD=0EX2=0所以EXi=£X
2.OXi=-2-02x
0.05+-1-02x
0.05+0-02x
0.8+1-02x
0.05+2-02x
0.05=
0.50X2=-2-02x
0.1+-1-02x02+0-02x64+1-02x
0.2+2-02x
0.1=12所以0X10X
2.综上可知,A大钟的质量较好.⑶性质DaX+b=*DX.思考离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系?提示⑴离散型随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样本的变化而变化;⑵样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的.P基砧卜则%J.辨析记忆对的打“小,错的打“X”.⑴离散型随机变量的方差越大,随机变量越稳定.x提示离散型随机变量的方差越小,随机变量越稳定.2离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的.x提示单位不同,方差的单位是随机变量单位的平方;标准差与随机变量本身有相同的单位.⑶若a是常数,则Da=
0.4提示离散型随机变量的方差刻画离散型相对于均值的波动大小..已知随机变量荫足Pf=l=
0.3Pf=2=
0.7则£©和Df的值分别为A.
0.6和
0.7B.
1.7和
0.09C.
0.3和
0.7D.
1.7和
0.21【解析】选D.E©=1x
0.3+2x
0.7=
1.7D©=1-
1.72x
0.3+2-
1.72x
0.7=
0.
21..教材例题改编有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分藁数据,计算出方差分别为D(X甲)=11D(X乙)=
3.
4.由此可以估计()A.甲种水稻比乙种水稻分窠整齐B.乙种水稻比甲种水稻分篥整齐C.甲、乙两种水稻分篥整齐程度相同D.甲、乙两种水稻分藁整齐程度不能比较【解析】选B.Q(X甲)>O(X乙),所以乙种水稻比甲种水稻分窠整齐.关键能力♦合作学习类型一随机变量的方差及其性质(数学运算)题组训练、.已知随机变量X的分布列为则DX=;若丫=2X-1则DY=.【解析】由题意可知
0.4+
0.5+%=1所以%=
0.1所以EX=1x
0.4+2x
0.5+3x
0.1=
1.7所以OX=1-
1.72x04+2-
1.72x
0.5+3-
1.72x
0.1=
0.41Dy=22DX=
1.
64.答案
0.
411.
64.已知〃的分布列为⑴求方差及标准差;2设丫二2”及〃,求设y.12121【解析】1因为石〃=Oxg+10x-+20x—+50x—+60x—二116所以D⑺=0-162x-+10-162x-+20-162x—+50-JL\I162x—+60-162义石=384所以y/Drj=8加.⑵因为丫=2〃-灰〃,所以DK=02〃-E⑺=22D7=4x384=
1536.;解题策略方差性质应用的关注点⑴公式DaX+b=*DX;2优势既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列,又避免了涉及大数的计算,从而简化了计算过程.类型二离散型随机变量的方差的计算数学建模、数学运算【典例】编号为123的三位学生随意入座编号为123的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是,求E©和值为013*=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,即编号为123的座位上分别坐了编号为231或312的学生贝!JPC=O=j=|;4二1表示三位同学只有1位同学坐对了,C11则p^=1=感=2;4=3表示三位同学全坐对了,即对号入座则334J.所以4的分布列为Ea=Ox|+lx^+3x1=
1.00=JX0-12+xl-I24-7x3-12=
1.解题策略求离散型随机变量X的均值、方差的步骤⑴理解X的意义,写出X的所有可能的取值.⑵求X取每一个值的概率.⑶写出随机变量X的分布列.4由均值、方差的定义求用㈤,QX.跟踪训练根据以往经验,一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元,小雨天盈利163元,中雨天盈利90元.根据天气预报,明天无雨的概率是
0.2有小雨的概率是
0.3有中雨的概率是05问明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元?方差和标准差各是多少?【解析】用X表示明天发一辆车的盈利,由题意知PX=230=
0.2PX=163=
0.3PX=90=
0.5所以EX=230x
0.2+163x
0.3+90x
0.5=
139.9元所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是
139.9元方差X=230-
139.92x
0.2+163-
139.92x
0.3+90-
139.92x
0.5=
3028.69标准差弋X=
73028.69-
55.所以方差和标准差各是
3028.
6955.类型三随机变量方差的实际应用数学建模、数学运算【典例】为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X丫,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10987环的概率分别为
0.53aa
0.1乙射中1098环的概率分别为
0.
30.
30.
2.1求X丫的分布列;⑵求Xy的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.【解析】1依题意
0.5+3+〃+
0.1=1解得2=
0.
1.因为乙射中1098环的概率分别为
0.
30.
30.2所以乙射中7环的概率为1-
0.3+
0.3+
0.2=
0.
2.所以Xy的分布列分别为:2由⑴可得EX=10x
0.5+9X
0.3+8x
0.1+7x
0.1=
9.2环EY=10x
0.3+9x
0.3+8x
0.2+7x
0.2=
8.7环,DX=10-
9.22x
0.5+9-
9.22x
0.3+8-
9.22x
0.1+7-
9.22x
0.1=
0.96DF=10-
8.72x
0.3+9-
8.72x
0.3+8-
8.72x
0.2+7-
8.72x
0.2=
1.
21.由于EXEy说明甲平均射中的环数比乙高,又因为DXDY说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定,所以甲比乙的技术好,故应选拔甲射手参加奥运会.I解踵略利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤⑴比较均值离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高;⑵在均值相等的情况下计算方差方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度,通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定;⑶下结论依据均值和方差的意义得出结论.£跟踪训练、有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的成绩在80分,90分,100分的概率分布大致如表所示.试分析两名学生的成绩水平.【解析】因为EX=80x
0.2+90x
0.6+100x
0.2=90DX=80-902x
0.2+90-902x
0.6+100-902x
0.2=40EY=80x
0.4+90x
0.2+100x
0.4=90Dy=80-902x
0.4+90-902x
0.2+100-902x
0.4=80所以EX=EyDXDy所以甲生与乙生的成绩均值一样,甲的方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定.课堂检测•素养达标学生用书P
471.下列说法中正确的是()A.离散型随机变量4的期望£©反映了4取值的概率的平均值B.离散型随机变量的方差O©反映了取值的平均水平C.离散型随机变量}的期望E©反映了4取值的波动水平D.离散型随机变量乙的方差O©反映了取值的波动水平【解析】选D.离散型随机变量的期望砥)反映的是随机变量的平均取值水平;而则反映随机变量的集中(或稳定)的程度,即波动水平..已知随机变量乙©二5,则乙的标准差为【解析】的标准差.(教材二次开发练习改编)已知随机变量^的方差©=4且随机变量〃=+5贝[JD(rj)=.【解析】D(t/)=22D(a=
16.答案
16.已知随机变量X的分布列为新课程标准学业水平要求理解离散型随机变量的方差.理解禺散型随机变量的方差与标准差的概念.数学抽象.掌握方差的性质,会利用公式求离散型随机变量的方差.数学运算.会利用离散型随机变量的方差解决一些简单的实际问题.数学建模导思.什么是禺散型随机变量的方差、标准差?.离散型随机变量的方差的意义是什么?性质是怎样的XX1X2•••XnPP1P2•••Pnp15p310X1-2-1012p
0.
050.
050.
80.
050.05%2-2-1012P
0.
10.
20.
40.
20.1X123P
0.
40.5X010205060P1325115215115013P131216X10987P
0.
50.
30.
10.1Y10987P
0.
30.
30.
20.2分数X8090100概率尸
0.
20.
60.2分数丫8090100概率尸
0.
40.
20.4。