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专题15等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点
一、符号法则与比较大小实数的符号任意xeR则x0(x为正数)、x=0或x0(尤为负数)三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质
①两个同号实数相加,和的符号不变符号语言a0b0=a+b0;a0b0=a+b0
②两个同号实数相乘,积是正数符号语言a0b=ab6;aObO=ab()
③两个异号实数相乘,积是负数符号语言a0b0=ab0
④任何实数的平方为非负数,0的平方为0符号语言xeR=x20x=0=x2=
0.比较两个实数大小的法则对任意两个实数〃、b
①a-匕Ooab;a-/vOoab;〃=Ooa=b.对于任意实数、b»aba=ba三种关系有且只有一种成立.知识点诠释这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据.知识点
二、不等式的性质对于B、C因为所以a+l
0.bb+\ba+\-ab+\h-ahb+1所以-=-T—-=-—-o.所以2丝:.故B正确,c错误;aa+\aa+la\a-\]aa+\对「D因为所以,一!=0所以故D正确.ababab故选BD(多选题)
6.(2022•江苏镇江•高一期末)对于实数〃,bJ正确的命题是()A.若“〉〃,则.〉♦+〃2C.若一:,则0〃ab【答案】ABD【解析】【分析】利用作差法,作商法和特值法依次判断选项即可.【详…田hamX.a+ba-b八a+b.a-b八对这项A因为a〃,所以=0b=02222所以b故A正确;对选项Bab01所以y/ab4b因为=所以,〃,即a故B正确;byJb对选项C令a=2b=3满足,1,不满足a0/O.ab对选项D因为aZ0c0aa+cab+c]-ba+c]ca-b八所以工一;一=1\―-=77;—0故D正确.bb+cbb+cbb+c故选ABD2022江苏•高一已知夕=/一|Q=2x2-x则/Q.填“〉”或v”【答案】v【解析】【分析】作差判断正负即可比较.【详解】因为P_Q=r_1—2厂—xj=—x~+x—1=—x——0所以P〈Q.24故答案为.2022•江苏•高一1比较3/-又+1与+x-l的大小;2已知aZ0求证.c-ac-b【答案】13x2-x+\2^+x-li2证明见解析.【解析】【分析】1求差法进行大小比较即可2求差法去证明即可解决.【详解】1由3/-x+1-2/+x-1=x2-2x+2=x-l2+l
0.可得3/-工+12/+4-
1.abac-b-bc-aa-bcc-ac-bc-ac-Zc-ac-bcab0c-a0c-h0・.iJ0b*c-ac-h
9.2022全国•高一课前预习已知〃、bwR且#b比较与的大小.【答案】abhahba【解析】【分析】两指数式比较大小,由指数式采用作商法,经讨论和1比较大小.【详解】•••、bwR,,/沙0abba0作商察=分命=a6=铲*2若ba0则0£1a-b,令1此时aahbabha成立.10-222•黑龙江・哈师大附中高一阶段练习已知…,试比较霁与合的大小.【答案】a2+b2a+ba1-b~a-b【解析】【分析】利用两个数都大于0直接利用作商比较其大小即可.【详解】Qab0:.a-ba2b2a+b0aba2+b20a+b八0,a-b两数作商a2+b2a+ba2+b2a-b+—x-b~a-ba+ba-ha+ba+b22ab1—2~7i]»a+ba2+b2a+b2/v-ra~-lra-b题型三利用不等式的性质判断命题真假
1.2022•江苏・高一若abcdsR则下列说法正确的是A.若abod则仇/B.若ab则C.若ab则D.若a〈b0则ab【答案】C【解析】【分析】对于AB举例判断,对于CD利用不等式的性质判断【详解】对于A若a=2/=lc=-1〃=-2则ac=〃d=-2所以A错误,对于B若c=贝ijac=加=o所以B错误,对于C因为〃/所以由不等式的性质可得a-c〃-c所以C正确,对于D因为人0所以必0所以£二,即所以D错误ababba故选c(2022•四川省峨眉第二中学校高一期中(理))若一工0则下列不等式正确的是()abA.|目B.abC.D.a+bab【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断.【详解】,V、0同,A错,B错;2一少咱吟诗错;a+b0abD正确.故选D.(2022•江苏•高一)如果av匕0那么下面不等式一定成立的是()A.a-b0B.acbeC.a2b2D.—7ab【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质依次判断即可.【详解】若ab0则一〃0故A错误;若ab0c0则故B错误;若则a〉/,故C正确;若ab0则故D错误.ab故选C.(2022•广东•普宁市华侨中学高一期中)若ab则下列不等式成立的是()a-b()B.-7C.网D.a2b2ah【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质对选项逐一分析【详解】对于Aah=a-b0故A正确CD均不成立,可举反例,取=1b=-2故选A(2022•江苏•高一)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远,若abceR则下列用不等号表示的真命题是()A.〃工0且则一B.若则/abC.若abU则D.若ccbvaac0则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.【详解】对于A当=-2力=1不等式不成立,故错误;对于B取〃=/=!〃,故错误;28对于C因为人0所以ab+aab+b即出+1)伙〃+1)两边同时除以(+1)得空2故正确对丁D当=0不等式不成立,故错误.故选C.(2022•广东珠海•高一期末)对于任意实数ac,给定下列命题正确的是()A.若abIliJacheB.若abcd||lija-cb-dC.若ac2be*则D.若ab则ab【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断A、B、D根据不等式的性质证明C;【详解】解对于A当c=0时,若则农=历=0故A错误;对于B若〃=0b=-\c=-ld=-10满足则a-c=lb-d=9a-cb-d不成立故B错误;对于C若acbc~则0,所以,故C正确;对于D若=一18=1满足〃,但是一二,故D错误;ab故选C(多选题)
7.(2022•江苏•高一)已知,,c满足且acvO则下列选项一定成立的是()八cb八b-a仆厂b,aa-c„A.--B.0C.———D.0aacccac【答案】ABD【解析】【分析】分析的符号,由不等式的基本性质对选项逐一判断【详解】cba且acv0可得c00rI)对于Acba0故一一,A正确aah—a对于Bbac0故——0B正确c对于C〃的符号不确定,无法比较,故C错误对于Dcaa0c0故已」■()D正确ac故选ABD(多选题)
8.(2022•江苏南通•高一期末)设00c则()A.acbeB.c-ac-bC.abc2D.a~^cb~c【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的性质或反例可得正确的选项.【详解】因为aZOcacbe故A错误,而-av-b故c-ac-b故B正确.11cc又一〈工,故一〉工即故D正确.abab取=人=2=-3此时aZOc(Habc2»故C错误.故选BD.(多选题)
9.(2022•江苏•无锡市第一中学高一期末)若ahc£R且心山则下列不等式一定成立的是()A.a+cb+cC.0a-b【答案】AB【解析】【分析】根据已知条件,结合不等式的性质,以及特殊值法,逐一判断作答.【详解】对于A因bc£Rab则”+cb+cA正确对于B,c20ab则actbc2B正确2对于C当c=0时,——=0C不正确;a-b对于D当o=Db=-\满足ab但a+ba-b=0D不正确.故选AB
10.2022•江苏•高一对于实数aAc判断以下命题的真假1若a,则acVZc;2若adbc~,则a;3若a〃0则a/;4若则同四;5若则a00v.ab【答案】假命题真命题真命题真命题真命题【解析】【分析】根据不等式的基本性质和实数的性质,逐个推理运算,即可求解.【详解】1中,因为的符号不定,所以无法判定的和尻•的大小,故原命题为假命题;2中,因为4c2〃c、2所以cwO可得/0故原命题为真命题;ab[ab_3中,因为{_所■以/工而,又因为「_所以他尸,a0[Z0综合可得/面片,故原命题为真命题.4中,根据实数的性质,两个负实数,绝对值大的反而小,故原命题为真命题.5中,因为〃〃且,:所以〃一〃0且,一]0ababb一0所以力一a0且一;一可得〃力0ab又因为♦〃,所以a0力0故原命题为真命题.题型四利用不等式的性质证明不等式I.2022・湖南•高一课时练习证明不等式1若avv0cvd0则acZd;2若ab0cJ0则crcb2d.【答案】1证明见解析;2证明见解析;【解析】【分析】1利用不等式的性质可证得结论;2由力0知利用cd,即可证得结论;Qab0两边同乘以c0WJacbe又cd0两边同乘以AvO则力cZd即acbdv«Z0两边同乘以a0得两边同乘以〃0得所以同以从0乂c0则a2cb2c0乂cd0则//cb2d即a2cb2d2022•湖南•高一课时练习利用不等式的性质证明下列不等式:1若a/c0则一30;2若6/0-1/0则aab2ab.【答案】I证明见解析2证明见解析【解析】【分析】1可知而c0即可得证;2可知12〃一[而ao即可得证;证明/ab.a-b0又evO.a-bc0;证明•.一1〃0/.0/21/.1b0Z—1乂a0aahah.2022・全国•高一1试比较x+lx+5与x+3『的大小;2已知--7,求证ab
0.ab【答案】1x+lx+5x+32;2证明见解析.【解析】【分析】x+lx+5与x+32作差,判断差的正负即可得出结论;2结合不等式的性质分析即可证出结论.【详解】I由题意,x+lx+5-x+3-=x2+
6.r+5-x2-6x-9=-40,所以x+lx+5vx+
32.2证明因为所以,一!0即0ababab而a〃,所以则a〃.得证.2022・全国•高一单元测试1若加一企0bd0求证孚5二幺;bd2已知ca60求证:c-ac-b3观察以下运算1x5+3x6”6+3x51x5+3x6+4x71x6+3x5+4x7”7+3x6+4x
5.
①若两组数a/与〃/
①且右飞2b/b2则曲+〃2b仑4/历+夕2历是否成立试证明;
②若两组数句23与岳,
②b3且ai32%3对/6+2岳+3历/历+2历+3b3力/+a2b2+sb3进行大小顺序不需要说明理由.【答案】1证明见解析;2证明见解析;3
①成立,证明见解析;
②力+〃力z+a必也+2从+〃.必7也+2岳+3b3【解析】【分析】
(1)
(2)根据不等式的基本性质即可得证;
(3)
①根据已知条件结合不等式的性质即可得出结论;
②,根据已知条件直接写出结论即可.【详解】证明
(1)因为取()所以」0bd又be-ad
0.即ad所以二之7,所以=+I2+IBP————;dbdbbd
(2)因为所以c-a0c-〃abe、ic-ac-b所以——一—,abcab所以——c-ac-b
(3)解
①成立,证明如下*.*a1bi+a2b2—(a1b2+abD=ai(b】一b2)+a2(b-bi)=(a/-a2)(b]—岳)又b/b2,(〃/―42)(b/—岳巨0即+2/
①+
⑦力;
②4力3+力2+43力力2+42力/+3
①/历+a2b2+a3b3(2022•江苏•高一•课时练习)己知〃人0求证
(1)\/a\fb;
(2)a\fabb.【答案】
(1)证明见详解;
(2)证明见详解.【解析】【分析】
(1)结合冢函数),=五的单调性,即得证
(2)由0右0框0结合不等式的性质,即得证【详解】
(1)由塞函数),=正在+8)单调递增,且4〉/0故即得证;
(2)由(I)衽080由不等式的性质,a4^b又y[a〃()甚0不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有⑴对称性abobva2传递性abhc=ac3可力口性ahoa+c6+cc£Rc0=4Cbe4可乘性ahc=0=ac=bec0=acbe运算性质有1可力口法则abccla+cb+d.2可乘法则abOcd0=achd03可乘方性aO〃eN*=,/0知识点诠释不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点
三、比较两代数式大小的方法作差法任意两个代数式〃、8可以作差后比较a-8与0的关系,进一步比较〃与〃的大小.a-0oab;a-〃0oab;a-b=0oa=b.作商法任意两个值为正的代数式、h可以作商a+匕后比较@与1的关系,进一步比较与人的大小.bbb-=1oa=b.b由不等式的性质,y/abb综上a\fabb»即得证2022•江苏•高一•课时练习证明下面的结论1如果cd且c0那么2如果力0cd0那么acbd;3如果匕0cd0那么——上;acba4如果匕0cd0e0那么巴巴.acba【答案】见解析.【解析】【分析】本题考查的是不等式的证明,先对原式进行转换,再利用不等式的性质进行证明即可.【详解】/abc/.ache cdb.\/xbd则有acbdabc0acbe\-cdb0/.bebd则有acbd;/«/..«-/---=---00;baabba」八jr\11—“c11八cd0c—d0=0——0;dccddc4由3可得,上,且0那么且acbaacbd2022江苏高一课时练习已知求证a2b
2.【答案】证明见解析【解析】【分析】利不等式的性质证明即可【详解】因为V
60.所以20abb~
0.所以°2从2022•新疆•阜康市第一中学高一阶段练习I比较x=a+3a—5与y=a+2〃—4的大小2已知尻求证a-cb-d【答案】1x’;2见解析.【解析】【分析】1利用作差法即可得出答案;2利用不等式的性质即可证明结论.【详解】1解x-y=a+3a—5—〃+2-4=/一加一15一/一2-8=—70所以x;2因为,abcd所以-c所以a+-c^ia-cb-d.2022•福建・永安市第三中学高中校高一阶段练习1求证a+la+5va+32;2求证+
3..2卜/+-
1.【答案】1证明见解析;2证明见解析.【解析】【分析】I利用作差法即证;2利用作差法即证.【详解】+13+5—a+32=/+6〃+5—〃2+6«+9=-40・•・〃+1+5+3;/a2+/-2〃+〃-1=4-2〃+1+伊-2力+1=a-l2+/-l
2..O当且仅当==1时等号成立,cC+b~.+b—\^.2022•湖北•武汉市育才高级中学高一阶段练习1若庆一次/20bd0求证孚《邛bd、〃〃ab0cdtn0求证——rra-c{h-dy【答案】I证明见解析,2证明见解析【解析】【分析】1利川作差法证明即可,2利用不等式的性质证明即可【详解】1因为从一加20M0c+da+bbc+d-da+bbdbc+bd-ad-bdbd2因为c40所以一c一d0因为〉人0所以一d0所以a—c2g—d20所以11n所以西因为〃vO即a-c2b-d22022・全国•高一专题练习若4/0cvdvOevO求证、2人工«-cb-d【答案】证明见解析【解析】【分析】先根据不等式性质判断4-C〃-4的大小关系,然后结合不等式性质可判断厂—的大小关系,由a-cb-d此即可证明—的大小关系.a-cb-d【详解】证明Qc〃0:.-c-d
0.乂abU:.a-cb-d
0.乂e0•0/77—~7^2•a-cb-d题型五利用不等式的性质比较大小
1.(2022•山西吕梁•高一开学考试)已知()则下列结论正确的是()abA.abB.a+babC.\a\\t\D.abb-【答案】B【解析】【分析】结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】因为•!()所以〃0故A错误ab因为所以+/00所以〃+/〃/故B正确;因为bvavO所以同同不成立,故C错误;ab-b2=b(a-b)因为〃〃0所以a—80即,力-从=〃(-6)0所以心〈成立,故D错误.故选B(2022•北京•高一期末)若”bc则下列不等式一定成立的是()112A.a+bcB.abc2C.a-cc-bD.—+——abc【答案】C【解析】【分析】举反例可判断ABD由不等式的性质可得a+〃2c可判断C【详解】选项A令々=-1〃=-1=-2a+b=c不成立,A错误;选项B令々=-1〃=-1=-2abc2»不成立,B错误;选项C由acbc可得a+/2c故a-cc-bC正确;1选项D令a=1/)=lc=-2-+不成立,D错误.abc故选C
3.(2022•重庆巴蜀中学高一期末)若则下列不等式一定成立的是()利用不等式的性质可判断ABD取特殊值可判断C选项.【详解】选项A因为所以—-0a2b20ab所以32故a错误ba选项B因为b0则而0所以a+c心必,即4(1+〃)〃(1+4)又寻用0所以不等式(1+8)》(1+4)两侧同时乘以白不,则¥2故B错误;选项C当a==;时,此时ab0a一;b—故C错误;ba选项D因为所以右折0则白3,故D正确.故选D.(多选题)
4.(2022•河北保定•高一期末)已知则()a【答案】BCD【解析】【分析】A选项可以举出反例,BCD可以利用不等式的基本性质推导出.【详解】|Iia=2b=-满足条件,故A错误;4一=〃2]=4[故B正确;由人一0得〃;故C正3aab\”一,2确;由《;有〃+6一,故D正确.吟°故选BCD多选题
5.2022•黑龙江•齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=作为符号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,bceR则下列命题正确的是A.^baWO——B.若a力,则acahC.若abcd则a+cZ+4D.若仪,,则【答案】ACD【解析】【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得,注意选项B中c为0的情况.【详解】选项A.在不等式ja两边同除以必得一A正确;ab选项B当c=O时,ac=beB错误;选项C同向不等式相加,不等号方向不变,C正确;选项D•.•所2雨,两边同除以不得,〃〃,D正确.故选ACD.多选题
6.2022•广东揭阳•高一期末己知下列结论正确的是A.2ab+cB.ah-cba-cC.------D.«-c3a-cb-c7【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性质逐项分析即得.【详解】*.*«Zc02ab+c故A正确;取a=3b=2c=l0则a/2-c=3/,a-c=4故B错误;由a6c0可知,[・•・一!一Vy!—,(〃-C)3(Z-C)3故C错误,D正确.a-cb-c故选AD.(多选题)
7.(2022•辽宁丹东•高一期末)如果,瓦cdwR那么()A.若〃〃,则B.若acbd则abC.若abcd贝ljac8dD.若abcd则a+【答案】BD【解析】【分析】根据举例说明即可判断选项A、C根据不等式的基本性质即可判断选项B、D.【详解】A令〃=1b=-\满足但」:故A错误abB因为ac/0,所以a〃,故B正确;C令/=—1c=1»d=—\满足a〃,cd但ac=bd故C错误;D因为〃),cd由不等式的性质,得a+c0+故D正确.故选BD(2022•湖南•高一课时练习)如果则有(用“”或填空)/;
(2)-ab
(3)\[a^\[b^;
(4)—
1.a~【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质求解.【详解】
(1)由a〃v0可得一a0;Q/()/.—0ci—b—lip——;ababababQavbvO db
0.后后;Qab
0.a—b-=\即色
1.bbb故答案为;;;.2022・湖南♦高一课时练习下列结论是否成立?若成立,试说明理由;若不成立,试举出反例.⑴如果那么〃〃;2若abcb0则f b3若acbe则ab-4若a〃,cd^a-cb-d.【答案】I成立,理由见解析;2成立,理由见解析;3不成立,理由见解析;4不成立,理由见解析;【解析】【分析】由不等式的性质判断12成立,取特殊值判断34不成立.\c-ac-b^—a—b:.ah故成立.⑵•/abcZ0即,b取=1力=2C=-1时,满足acAc但是a〃不成立.取=1〃=0=3]=-1满足a〃,cd但是一d不成立.2022•全国•高一•课时练习下列命题正确的是A.ab、cwU=ac1be1B.ab=\[a4bC.ab^cd=a+cb+dD.ab=ab【答案】A【解析】【详解】对于选项A••chO
1.c,又ab.ac2be成立.故A选项正确;对广选项B当〃00时,结论明显错误;对于选项C当a=4〃=3c=ld=2时,a+c=b+d所以结论错误;对于选项D当=1/=-2时,a2b2所以结论错误.(2022•全国•高一•课时练习)若人则[占.填或“=)【答案】77【解析】【详解】anb故答案为v题型六利用不等式的基本性质求代数式的取值范围(2022•江苏•高一)己知0x406则21-),的取值范围是【答案】-62A-y8【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解.【详解】解因为0%40y6所以02x8-6-y0所以-62x-y8(2022•江苏•高一)已知
23.-2〃一1贝I]2〃一人的取值范围为【答案】52a-b8【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】2«3-2/-1故426\-b2得52-匕8(2022吉林延边•高一期末)已知-1“,则一力的取值范围是()A.-7«-2/4B.-6a-2b9C.6a-2b9D.-2tz-2/8【答案】A【解析】【分析】先求-幼的范围,再根据不等式的性质,求加的范围.【详解】因为-14bW4所以一8七一北三2由得一7工〃一给
4.故选A.(多选题)
4.(2022•黑龙江・大庆外国语学校高一阶段练习)设xy为实数,满足l〈xW40y2则下列结论正确的是()A.1x+}6B.\x-y2C.0xy8D.—^2)【答案】AC【解析】【分析】根据x歹的范围及基本不等关系,对选项一一分析即可.【详解】对于A0+ix+y2+4gpix+y6故A正确;对于B-2-y0则1—2Kx-yv4+()即一lKx-y4故B错误;对于C0xl.q,K4x2gp0xy8故C正确;对于D由题知,之,则土21x=:,故D错误;故选AC
5.(2022全国•高一)已知一14\b2则Q-b的取值范围是.【答案】-3a-b3【解析】【分析】利用不等式的基本性质可得答案.中间量法^abRbc则”c(实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量.【题型归纳目录】题型一用不等式(组)表示不等关系题型二作差法、作商法比较两数(式)的大小题型三利用不等式的性质判断命题真假题型四利用不等式的性质证明不等式题型五利用不等式的性质比较大小题型六利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一用不等式(组)表示不等关系(2022・江苏•高一)铁路乘车行李规定如下乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mem.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为、和(单位cm)这个规定用数学关系式可表示为()A.a+b+cMB.a+b+cMC.a+b+cD.a+b+cM【答案】A【解析】【分析】根据长、宽、高的和不超过Mem可直接得到关系式.【详解】•长、宽、高之和不超过Mem:.a+b+cM.故选A.(2022•天津河北•高一期末)铁路总公司关于乘车行李规定如下乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130a〃.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为,力工(单位〃),这个规定用数学关系式表示为().A.a+b+c130B.u+b+c130C.a+b+c130D.«+/+c130【答案】C【解析】根据长、宽、高的和不超过130〃可更接得到关系式.【详解】因为一la41b2则一2—/一1所以一1—2a—/4—1即tt~b的取值范围是—3ci-b
3.(2022•全国•高一)若实数x满足—lvxv2-2yl则)』彳的取值范围是【答案】-4y-x2【解析】由可得然后相加便可得到的取值范围.【详解】因为一lvxv2所以-2-xvl又因为一24),41所以-2+(-2)〉一工1+1即Tvy-xv
2.到,容易错解为[T,2].(2022・全国•高一)已知处vav-〃,则£的取值范围为.b【答案】-172【解析】【分析】由如一/九可得0再将2/“一方同乘:可得答案.b【详解】因为2/7Vav-〃,所以给所以〃
070.b将不等式2ZvavT,同乘以],bn.ba2b口门,a则一一—一gp-l—
2.bbbb故答案为b【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力属于基础题.(2022•江苏•高一)设27lb2求a+362a-b£的范围.b【答案】5va+劝V1322«-/131^7b【解析】【分析】根据不等式的基本性质,先求出+劝与的范围,再由可乘性得出;的范围即可.b【详解】*.*2«71/242«1433Z6—-12h5£7+3Z1322/-Z13b故5a+3〃132V加一力13I—
7.b(2022•江苏•高一)已知领p求—的取值范围.【答案】-3,,青2【解析】【分析】先求出蓝,-,的取值范围,结合即可求解.JJ【详解】a7C7CB汽•,,,,,,636636两式相加得一;,一72;,333又ap,a-p-031().(2022•江苏•高一)
(1)试比较(文+1)(1+5)与(x+31的大小
(2)已知一2KxKT2KyK3求下儿二的取值范围.yX1【答案】
(1)证明见解析;
(2)-5-K-3;-1---.y3【解析】【分析】
(1)作差法证明;
(2)利用不等式的性质直接计算可得.【详解】1因为x+lx+5-x+32=x2+6x+5-+6工+9=Y0所以x+1x+5x+
32.2因为2Vy43所以-3K—yK—2所以一5一W-3;因为一24x4-124y43所以lK—x«2^-^3y2所以所以3yy3【详解】长、宽、高之和不超过]30cm/.a+b+c
4130.故选C.(2022・贵州毕节•高一阶段练习)某学生月考数学成绩x不低于100分,英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分,用不等式组表示为()x100xIOOA《B[200y+z240[200y+z240Jx100x100C,[200y+z240D,[200y+z240【答案】D【解析】【分析】利用题设条件即得.【详解】数学成绩工不低于100分表示为XNI00英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示故选D.(2022・全国•高一课时练习)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有()【答案】C【解析】【分析】根据题意60x+70j,K500x3y2考虑工=3x=4x=5x=6四种情况,计算得到答案.【详解】设软件x片磁盘》盒,xye/VJjliJ60x+70y500x3y
2.当x=3时,),=234满足条件;当工=4时,y=23满足条件;当x=5时,y=2满足条件;当工=6时,丁=2满足条件;故共有7种方案.故选C.(2022•江苏淮安•高一期中)某公司准备对一项目进行投资,提出两个投资方案方案A为一次性投资300万;方案8为第一年投资80万,以后每年投资20万.下列不等式表示“经过〃年之后,方案8的投入不大于方案A的投入”的是()A.80+20n300C.80+20〃-12300D.80+20/7-1300【答案】D【解析】【分析】由不等关系求解即可.【详解】经过〃年之后,方案8的投入为80+20〃-1故经过〃年之后,方案B的投入不大于方案A的投入,即80+20w-l300故选D2022・河南・范县第一中学高一阶段练习完成一项装修工程,请木工每人需付工资800元,请瓦工每人需付工资700元,现工人工资预算为20000元,设请木工大人,瓦工人,则xy满足的关系式是A.
8.r+7y200B.
8.r+7y200C.8x+7y=200D.8x+7y0200【答案】D【解析】【分析】根据给定条件直接列出不等式即可判断作答.【详解】因请木工每人需付工资8元,木工1人,则需付木工工资800汇元,因请瓦工每人需付工资700元,瓦工人,则需付瓦工工资700y元,于是得完成这项装修工程,共需付工资800x+
700.y元,而工人工资预算为20000元,因此有800x+700j20000即8无+7兄20所以x丁满足的关系式是8x+7y
200.故选D2022•全国•高一课时练习某校在冬季长跑活动中,要给获得
一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元,已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于;,且获得一等奖的人数不能小于
2.设获得一等奖的学生有x人,获得二等奖的学生有了人,则x,V满足的不等关系为2x+20【解析】【分析】根据已知可直接得到不等式组,化简即可得到结果.【详解】由题意得20x+10y200^1y-3,化简得•x2xN¥yeN*2x+y203x-y0yeN故答案为,2x+y203x-.y0x22xwN*yeN*
8.(2022•上海•上外附中高一期中)用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的已知一个铁钉受击3次后全部4进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的彳,请从这个实例中提炼出一个不等式组:【答案】【解析】【分析】44-+—I77k444-+—+-T17IkIk2由第二次敲击铁钉没有全部进入木板,第三次敲击铁钉全部进入木板可得.【详解】解依题意,知第二次敲击铁钉没有全部进入木板,第三次敲击铁钉全部进入木板,所以[44-4--L77k
444、,—IH
721.[17k7k°故答案为4—+74—+7-十
9.(2022・全国•高一课时练习)请根据“糖水加糖变得更甜了“提炼出一个不等式:(设糖水为4克含糖为力克,加入的糖为6克).__bh+mz
八八、[答案]-Vab0w0aa+m【解析】【分析】〃克糖水中有人克糖(力0)若再添用克糖(〃〉0)浓度发生了变化,只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得.【详解】・・•克糖水中有〃克糖,糖水的浓度为(I〃克糖水中有b克糖(4b0),若再添〃克糖(m0)则糖水的浓度为空”,a+m又糖水变甜了,说明浓度变大了,.20b0abm
0.aa+m„bh+m
八八、故答案为一(ab0tn0)aa+m
10.(2022•辽宁葫芦岛•高一期末)社会实践活动是青年学生按照学校培养Fl标的要求,利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动,可•以使学生丰富对国情的感性认识,加深对社会、对人民群众的了解,从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性;可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识,锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组,小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件
①男学生人数多于女学生人数;
②女学生人数多于教师人数;
③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为7则女学生人数的最小值为;若男学生人数未知,则该小组人数的最小值为.【答案】512【解析】【分析】设男学生、女学生、教师的人数分别为X、V、z可得出zyx2z当x=7时,讨论z的取值,结合不等式的性质可求得的最小值;当x的值未知时,讨论z的取值,结合不等关系可求得x+y+z的最小值.【详解】设男学生、女学生、教师的人数分别为X、丁、z则zyx2z.若x=7则h可得:vzv7则zw{456}当z=4时,取最小值5即男学生人数为7则女学生人数的最小值为5;若x的值未知,当z=l时,则1=z)yx2不满足题意,当z=2时,则2=z)yx4不合乎题意当z=3时,则3=zyx6此时y=4x=5则x+y+z=12合乎题意.故当男学生人数未知,则该小组人数的最小值为
12.故答案为
512.题型二作差法、作商法比较两数(式)的大小(2022•江苏•高一)如果avZvO那么()A.a-b0B.acbeC.—7-D.a1b~ab【答案】C【解析】【分析】举例判断ABD错误,再证明C正确.【详解】由己知可取〃=-3人=-2=()贝IJa-b=-\0A错,ac-be=0B错,a2=9b2=4a2b2»D错,因为av/0所以一0所以1一;=与£0故c对,abanab故选c.(2022•江苏・高一)已知〃,x=a3-by=a2b-af则MV的大小关系为()A.vyB.工C.x=VD.无法确定【答案】B【解析】【分析】作差可得x-y的表达式,根据题意,分析可得x-y的正负,即可得答案.【详解】x-y=/6)(/+1)因为力,所以4一0又/+10所以(4-份(/+1)0即xy.故选B(2022•全国•高一专题练习)已知1且x=47T一无,,则-y之间的大小关系是()A.xyC.xy【答案】C【解析】【分析】D.xy的关系随c而定r应用作商法比较二1的大小关系即可.【详解】4-曰Me、八T74Jc+1-y[cyjc+\/c—l由题设,易知xy0乂———-广1y\Jc-\lc-lx/c+1+x/c.•.xVy.故选C.
4.2022•江苏•高一若M=/+,2+lN=2x+,—1则M与N的大小关系为A.MNB.MN【答案】B【解析】【分析】利用作差法判断大小即可【详解】因为M-N=f+/+]_2x+y-1C.M=ND.不能确定=x2+y2+l-2x-2y+2=x-l2+j-l2+l0所以MN故选B多选题
5.2022•江苏•高一若则下列不等式一定成立的是【答案】BD【解析】【分析】利用作差法对四个选项一一比较,即可得到正确答案.【详解】对于A因为所以4一
10.bb—\bci-\}—ctb-1a—b八hb-1所以-=--7—^--=-~八,所以一一;.故a错误;aa-\aa-\aa-iaa-\abaA.——ab【答案】D【解析】【分析】cbb+T_1111B.C.abD.—f=a67+1ba7ba--=--3b2511n5=—b—=—2=—2a33A.b\12B.alC.a〉—D.a+〃—babb-\bb+1bb+\11A.-aa-\B.-——aa+1C.-——aa+\D.--ab。