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专题
2.2基本不等式知识点一基本不等式.基本不等式如果*0而工竺当且仅当〃=〃时,等号成立.2其中数叫做正数出〃的算术平均数,疝叫做正数a》的几何平均数.2/1X.变形—2ab£R当且仅当a=Z时,等号成立.I2〃+/22疯,a〃都是正数,当且仅当〃=/时,等号成立.知识点二用基本不等式求最值用基本不等式节而求最值应注意Ivi是正数.2
①如果盯等于定值P那么当x=y时,和x+y有最小值25/F;
②如果x+v等于定值S那么当x=y时,积盯有最大值S.43讨论等号成立的条件是否满足.知识点三基本不等式的两个变形A.-B.-C.—D.
142417.若x0y0且一+二=1则3x+y的最小值为()xyA.6B.12C.14D.
16.已知xy0且x+2y=,q则x+y的最小值为()A.3+2B.472C.2y/2D.
6.已知正实数xy满足2x+y=Ay则x+2),的最小值为()A.8B.9C.5D.
7.已知x0y0且4x+y=肛,则x+16),的最小值为()A.64B.81C.100D.
121.若正数a〃满足a+〃=则a+2/的最小值为()A.6B.4/2C.3+2/2D.2+2/
2.设a0b0»-+-=1若不等式a+恒成立,则实数/的取值范围是()abA.(-co8JB.(-816]C.(-co7]D.[16+8).设a0〃0-+-=2则使得a+b.小恒成立,求机的取值范围是()ab9A.
(39)B.(01]C.(-00-]D.(-008]
2.已知xye/T且x+y=4则使不等式L+±.〃恒成立的实数机的取值范围为(79A.(2+oo)B.(一8—]C.(3+00)D.(-co—]44o
1.若x0y0且一+—=1x+2y〃/+7”恒成立,则实数〃?的取值范围是(A.—8/n1B〃?一8或〃zlC./〃v—1或〃?8D.—1//i
8.已知x0y0且3x+2y=10则下列结论正确的是().已知0方02a+b=ab则下列结论正确的是(A.a+〃的最小值为3+2夜B./+从的最小值为16C.g+5的最大值为亚D./ga+lgb的最小值为31g
223.设正实数〃满足+=1则下列结论正确的是()A.L+J■有最小值4B.4而有最大值」ab2C.+乐有最大值D./+〃有最小值」
2.设正实数小,〃满足利+〃=2则下列说法正确的是()A.上的最小值为2B.,〃〃的最大值为1mnC.而十五的最大值为4D.+〃2的最小值为』
4.如图,计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为x,宽为),.
(1)若菜园面积为72则一),为何值时,可使所用篱笆总长最小?17
(2)若使用的篱笆总长度为30求+士的最小值..经过长期观测得到在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量),(千辆/小时)与汽车的平均速度d(千米/小时)之间的函数关系为尸、⑼”—(z0).4+30+1600(I)在该时段内,当汽车的平均速度d为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留分数形式)
(2)若要求在该时段内车流量超过1千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?.某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出MxeN*)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(〃-网)万元(>0)剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高
0.2x%.500(I)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?
(2)在
(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润,则〃的取值范围是多少?.2018年10月19日,由中国工信部、江西省政府联合主办的世界V7(虚拟现实)产业大会在南昌开幕,南昌在红谷滩新区建立VR特色小镇项目.现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批作设备,经调试后今年投入使用,计划第一年维修、保养费用22万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该设备使用后,每年的总收入为180万元,设使用1年后设备的盈利额为y万元.
(1)写出),与x之间的函数关系式
(2)使用若干年后,当年平均盈利额达到最大值时,求该厂商的盈利额.4+〃丫~Nab(absR当且仅当=〃时取等号);卜之I-।(a0/0当且仅当=〃时取等号).211一+一ab利用基本不等式求最值
(1)拼凑法,拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时,要注意“一正、二定、三相等”,尤其是要注意睑证等号成立的条件.
(2)常数代换法,常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时,应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.【例1】y=x+±(r.l)的最小值为()【变式训练1]若1则+—!—有()(7-1【变式训练2】已知和)都是正数,若x+y=2则_!_+士的最小值为()xy【变式训练3]若x0丁,且则3x+)的最小值为()xyA.6B.12C.14D.16【例4】已知x且“+2),=外则十丁的最小值为()A.3+2立B.472C.272D.6【变式训练1】已知正实数X)满足
2、+)=冲,则%+2),的最小值为()A.8B.9C.5D.7【变式训练2】已知x0,0且4x+)=M则x+0的最小值为()A.64B.81C.100D.121【变式训练3】若正数“,〃满足+力=,则•+给的最小值为()A.6B.4夜C.3+2D.2+2夜基本不等式与恒成立⑴分离参数,转化为求代数式的最值问题.⑵观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或取值范围.【例5】设-+-=\若不等式a+b..〃恒成立,则实数,的取值范围是(ab)A.(-008]B.(一816]C.(-oo7]D.[164-co)【变式训练1】设〃0+\=2则使得a+〃..恒成立,求机的取值范围是()9A.(-oo9)B.(011C.(-ooj]D.(-oo8]【变式训练2】已知x且x+y=4则使不等式_L+〃〃恒成立的实数/〃的取值范围为()79A.(2-Foo)B.(-8—]C.(3+co)D.(-oo—]44【变式训练3]若x0,0且2+L1”+2y「+7〃恒成立,则实数的取值范xy围是()A.-8m\B./〃-8或/%1C./〃—1或/〃8D.—I/8基本不等式综合【例6】已知x0)°且3x+2y=10则下列结论正确的是()A.0y5B.阮+后的最大值为C.丁+的最小值为詈D.孙、的最大值为会【变式训练I】已知2田=则下列结论正确的是()A.〃+〃的最小值为3+2夜B./+〃的最小值为16C.A+的最大值为D.松+/a的最小值为3/g2【变式训练2】设正实数,力满足+0=1则下列结论正确的是()A.L+_L有最小值4B.,石有最大值工ab2c.G+%有最大值D./+//有最小值」2【变式训练3】设正实数/〃,〃满足〃+〃=2则下列说法正确的是(A.上的最小值为2B.小〃的最大值为1mnC.而+6的最大值为4D.裙+〃2的最小值为*4不等式的证明1策略从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”着“可知”,逐步推向“未知”.2注意事项
①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立;
②累加法是不等式证明中的一种常用方法证明不等式时注意使用;
③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.【例7】己知,3均为正数,且血=1【变式训练I】已知,b-设工=疯,,=/三叱,求证:【变式训练2】已知,b,且〃+〃=1求证(i+l)(|+l)„
9.ab【变式训练3】解答下列各题.
(1)设〃0/0a+b=1求证—I1■—..8;abab
(2)设且」-…恒成立,求实数小的取值范围.a-bb-ca-c基本不等式的实际应用应用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)认真审题,恰当选择变量(x或y)并求其取值范围;⑵用x或y表示要求最大(小)值的量z;
(3)利用基本不等式,求出z的最大(小)值;
(4)回到实际问题中去,写出实际问题的答案.【例8】如图,计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为x宽为y.(I)若菜园面积为72则X),为何值时,可使所用篱笆总长最小?
(2)若使用的篱笆总长度为30求2的最小值.【变式训练I】经过长期观测得到在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(「辆/小时)与汽车的平均速度D(千米/小时)之间的函数关系为产,92°_t+3u+1600
(1)在该时段内,当汽车的平均速度u为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留分数形式)
(2)若要求在该时段内车流量超过1()千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?【变式训练2】某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出MxwN.)名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为10(-亮)万元(a0)剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高
0.2x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?
(2)在
(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润,则a的取值范围是多少?【变式训练3】2018年10月19日,由中国工信部、江西省政府联合主办的世界1次(虚拟现实)产业大会在南昌开幕,南昌在红谷滩新区建立城特色小镇项目.现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批设备,经调试后今年投入使用,计划第一年维修、保养费用22万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元,该设备使用后,每年的总收入为180万元,设使用x年后设备的盈利额为y万元.
(1)写出),与x之间的函数关系式;
(2)使用若干年后,当年平均盈利额达到最大值时,求该厂商的盈利额.A.2B.3C.4D.5【变式训练1】函数/(x)=5x+竺(x0)的最小值为()XA.10B.15C.20D.25【变式训练2]若x0则函数/(x)=2x+,的最小值是()A.V2B.2C.2D.3【变式训练3】已知x0则x+2的最小值为()XA.y/2B.2C.2V2D.4【例2】函数),=x+」L*—2)取最小值时X的值为()x+2A.6B.2C.GD.x/6A.最小值为3B.最大值为3C.最小值为-1D.最大值为-1【变式训练2】函数),=A.3x+—!—*-2)的最小值为()x+2B.2C.1D.0【变式训练3】函数),=A.83x+±(x」)的最小值为()3x-l3B.7C.6D.5【例3】若“,力是两正实数,3+3=1则〃+〃的最小值是(ba)A.4GB.85/3C.7+473D.7+873【变式训练1]若x00且\3=i则3x+)’的最小值为()A.12B.6C.14D.
161.4),=x+—(X..1)的最小值为()XA.2B.3C.4D.
52.on函数fx=5x+—x0的最小值为XA.10B.15C.20D.
253.若x0则函数/x=2x+,的最小值是XA.V2B.2C.2D.3拒
4.己知x0则x+—的最小值为XA.x/2B.2C.25/2D.
45.函数y=X+-ISX-2取最小值时x的值为x+2A.6B.2C.5/3D.瓜
6.若>1则+」一有()4—1A.最小值为3B.最大值为3C.最小值为-1D.最大值为-
17.函数),=+」一>一2)的最小值为()x+2A.3B.2C.1D.
08.41函数y=3x+x~的最小值为3x-l3A.8B.7C.6D.
59.若%〃是两正实数,3+±=1则+〃的最小值是()baA.4GB.8x/3C.7+46D.7+
861013.若x0y0且一+―=1则3x+y的最小值为xA.12B.6C.14D.
161114.已知xy都是正数,若x+y=2则一+—的最小值为(。