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专题15等式性质与不等式性质【知识点梳理】知识点
一、符号法则与比较大小实数的符号任意XW/则x0(X为正数)、4=0或x0(X为负数)三种情况有且只有一种成立.两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质
①两个同号实数相加,和的符号不变符号语言a0b0=a+b0;a0b0=a+b0
②两个同号实数相乘,积是正数符号语言a0b0=ab0;a0b0=ub()
③两个异号实数相乘,积是负数符号语言a0J)0^ab0
④任何实数的平方为非负数,0的平方为0符号语言xe7=x20x=0=x2=
0.比较两个实数大小的法则对任意两个实数“、4—b a-〃0oab;a—b=0^a=b.对于任意实数、bab,a=b三种关系有且只有一种成立.知识点诠释这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据.知识点
二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有1对称性ab=ba2传递性abbc^ac3可力口性4〃O4+C〃+CCWRacbe4可乘性ab-c=0=ac=bec0=acbe运算性质有1可加法则abcd=a+cb+d.2可乘法贝ij ab^cd0=acb-d03可乘方性a00〃eN=b0知识点诠释不等式的性质是不等式同解变形的依据.知识点
三、比较两代数式大小的方法作差法任意两个代数式、b可以作差〃-人后比较〃与的关系,进一步比较与/,的大小.
①a-/0oab;
②々—〃vOoavb;
③a—b=0oa=b.作商法任意两个值为正的代数式可以作商4后比较与1的关系,进一步比较〃与〃的大小.b
①91=4力;b
②g1=avZ;h3—=I=«=/.b中间量法:若ab且bc则c(实质是不等式的传递性).一般选择或1为中间量.【题型归纳目录】题型一用不等式(组)表示不等关系题型二作差法、作商法比较两数(式)的大小题型三利用不等式的性质判断命题真假题型四利用不等式的性质证明不等式题型五利用不等式的性质比较大小题型六利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【典型例题】题型一用不等式(组)表示不等关系(2022・江苏•高一)铁路乘车行李规定如下乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mem.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为〃、机(单位cm)这个规定用数学关系式可表示为()A.a+b+cMB.a+b+cMC.a+b+cMD.a+b+cM(2022•天津河北•高一期末)铁路总公司关于乘车行李规定如下乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130°〃.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为力(单位cm)这个规定用数学关系式表示为().A.a+b+c\30B.a+b+c\30C.tz+/+c130D.a++c之130(2022・贵州毕节•高一阶段练习)某学生月考数学成绩x不低于100分,英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分,用不等式组表示为()x100x100AB«•200y+z240200y+z240x100x100CD200y+z240[200y+z240(2022・全国•高一课时练习)某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有()A.5种B.6种C.7种D.8种(2022•江苏淮安•高一期中)某公司准备对一项目进行投资,提出两个投资方案方案A为一次性投资300万;方案8为第一年投资80万,以后每年投资20万.下列不等式表示“经过〃年之后,方案6的投入不大于方案A的投入”的是()A.80+20«300B.80+20/7300C.80+20(/-1)300D.80+20(/2-1)300(2022・河南•范县第一中学高一阶段练习)完成一项装修工程,请木工每人需付工资800元,请瓦工每人需付工资7(X)元,现工人工资预算为20000元,设请木工X人,瓦工V人,则X)满足的关系式是()A.
8.r+7y2(X)B.8犬+7),之200C.8x+7y=200D.8x+7y2(X)(2022・全国•高一课时练习)某校在冬季长跑活动中,要给获得
一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过200元,已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于!,且获得一等奖的人数不能小于
2.设获得一等奖的学生有1人,获得二等奖的学生有人,则x,y满足的不等关系为.(2022・上海・上外附中高一期中)用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉所受的阻力会越来越大,使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的((keV)已知一个铁钉受击3次后全部4进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的]请从这个实例中提炼出一个不等式组(2022・全国•高一课时练习)请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式(设糖水为克,含糖为力克,加入的糖为加克).(2022•辽宁葫芦岛•高一期末)社会实践活动是青年学生按照学校培养FI标的要求,利用节假FI等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动,可以使学生丰富对■国情的感性认识,加深对社会、对人民群众的了解,从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性;可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识,锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组,小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以卜.三个条件
①男学生人数多于女学生人数;
②女学生人数多于教师人数;
③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为7则女学生人数的最小值为;若男学生人数未知,则该小组人数的最小值为.题型二作差法、作商法比较两数(式)的大小(2022•江苏•高一)如果那么()A.a-h0B.acbeC.——D.a~b1ab(2022•江苏•高一)已知x=a3-by=a2b-a则的大小关系为()a.b.c.%=yd.无法确定(2022・全国•高一专题练习)已知cl且彳=+1—8y=4c—Vc-1»则x,y之间的大小关系是A.xyB.x=yC.xyD.xy的关系随c而定(2022•江苏•高一)若M=/+/+]N=2(x+y-l)则M与N的大小关系为()A.M〈NB.MNC.M=ND.不能确定(多选题)
5.(
2022.江苏.高一)^ab\则下列不等式一定成立的是()bb-\卜bb+\-bb+\仁11A.-B.-C.-D.--aa-\aa+\aa+\ab(多选题)
6.(2022•江苏镇江•高一期末)对于实数〃,bc正确的命题是()A.若abIjllJaB.若abU则C.若贝iJa0〃()D.若ab0c0则abbb+c(2022•江苏•高一)已知P=K-1Q=2x-x则0Q.(填〜域“v”)[2:(2022•四川省峨眉第二中学校高一期中(理))若:()则下列不等式正确的是()abA.p||/|B.abC.—D.a+bab][3:(2022•江苏•高一)如果a力0那么下面不等式一定成立的是()A.a-b0B.acbcC.a2b2D.——ab][4:(
2022.广东.普宁市华侨中学高一期中)若ab则下列不等式成立的是()A.a-b0B.-7C.时同D.a2b2ab][5:(2022•江苏・高一)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“V”和符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远,若abceR则下列用不等号表示的真命题是()](2022•江苏•高一)(I)比较3/-X+1与2/+X—1的大小;
(2)已知求证a.c-ac-b(2022・全国•高一课前预习)己知“、beR;且#〃,比较必与a为的大小.(2022•黑龙江・哈师大附中高一阶段练习)已知试比较空耳与半的大小.a-b~a-b题型三利用不等式的性质判断命题真假
1.(2022•江苏•高一)若力cdeR则下列说法正确的是()A.若abcd则B.若ab则a/〉/C.若ab贝lj〃一c/-cD.若a〃0贝abA.出工且则B.若0avl则〃aabC.若a/0贝D.若ccbva,ac0WOcb2ab
26.2022•广东珠海•高一期末对于任意实数dAc给定下列命题正确的是A.若ab则〃cbcB.若abcd则a-c/-dC.若acbc°,则D.若ab则ab多选题
7.2022•江苏・高一已知,b满足且acvO则下列选项一定成立的是acb宜b-a八_lra
2、a-c八A.——B.10C.—v—D.0aacccac多选题
8.2022•江苏南通•高一期末设〃00c则A.acbcB.c—ac—bC.abc2D.a~xclfxc多选题
9.2022•江苏•无锡市第一中学高一期末若abceR且公功,则下列不等式一定成立的是A.a+ch+cB.ac^bc22C.-^0D.a+ba-b0a-h
10.2022•江苏・高一对于实数小bc判断以下命题的真假1若ab则acbe;2若acb/,则3若av0则aabA];4若〃〃,则||网;5若aJL则a0/v.ab题型四利用不等式的性质证明不等式
2022.湖南•高一课时练习证明不等式1若a〃v0cd0则acbd;2若ab0cd0则ereb2d.2022•湖南•高一课时练习利用不等式的性质证明下列不等式1若〈力,c0则一bc0;2若avO-\b05Maab2ab.2022•全国・高一1试比较x+lx+5与x+3『的大小;2已知ah——求证ab
0.ab2022・全国•高一单元测试1若bc—*0bd3求证半与*■;bd2已知cab0求证b;c-ac-b3观察以下运算Ix5+3x6lx64-3x5Ix5+3x6+4x7lx6+3x5+4x7lx7+3x6+4x
5.
①若两组数〃/42与历,岳,且a/%2为夕2则血+2b2之而2+2加是否成立试证明;
②若两组数〃,23与bi岳,加且bWbWb3对/加+2历+3为/历+28/+3的/历+aibi+a3b3进行大小顺序不需要说明理由.2022•江苏•高一课时练习已知〃20求证:4a4b:a\[abb.
2022.江苏.高一课时练习证明下面的结论1如果a60c4且c0那么ac加/;2如果a〃0cd0那么ac/d;3如果cd0那么」;acbd4如果aZ0cd0e0那么上二.acbd2022•江苏•高一课时练习已知av2v0求证:a2b
2.2022•新疆•阜康市第一中学高一阶段练习⑴比较?=a+3a-5与y=.+2a-4的大小2已知a0cvd.求证a-cb-d
2022.福建・永安市第三中学高中校高一阶段练习1求证+1建+53+32;2求证a2+/
2..2tz+/-
1.2022•湖北•武汉市育才高级中学高一阶段练习1若A-ad2仇/0求证乎一;bdnn2ab0ccl0n0求证n-——2022•全国•高一专题练习若ab0cc/0e0求证-~~题型五利用不等式的性质比较大小L222・山西吕梁♦高一开学考试已知“卜,则下列结论正确的是B.a+babC.\a\\b\D.abb
22.(2022・北京•高一期末)若bc则下列不等式一定成立的是(
3.(2022・重庆巴蜀中学高一期末)若人0则下列不等式一定成立的是()(多选题)
5.(2022•黑龙江・齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一•书中首先把作为符号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用和“〉”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若〃,bceR则下列命题正确的是()[6:(2022・湖南•高一课时练习)下列结论是否成立?若成立,试说明理由;若不成立,试举出反例.(1汝口果一一0那么/;
(2)若abch0Plija—•b
(3)若acbe则a〃;
(4)若a8cd则a—cZ-d.][7:(
2022.全国•高一课时练习)下列命题正确的是()]
8.(2022・湖南•高一课时练习)如果力0则有(用“/或v填空):A.abcac2be2B.ab=4bC.abM.cd=a+cb+dD.ab=a2b~
11.(2022•全国•高一课时练习)若则q填〜V或“=”)题型六利用不等式的基本性质求代数式的取值范围(2022•江苏•高一)已知0xv40vy6则2x-y的取值范围是(2022•江苏•高一)已知则的取值范围为(2022•吉林延边.高一期末)已知-1£844则々一给的取值范围是()A.-7a-2/4B.-6a-2b9C.6a-2b9D.-2a-2bS(多选题)
4.(2022•黑龙江.大庆外国语学校高一阶段练习)设xy为实数,满足14”40”2则F列结论正确的是()A.\x+y6B.\x-y2C.0xy8D.^2(2022•全国•高一)已知一1/2则一方的取值范围是.(2022・全国•高一)若实数xV满足-2y1则)」上的取值范围是.(2022・全国•高一)已知勖“-〃,则£的取值范围为b(2022•江苏・高一)设2a7\b2求a+3b2a-b,的范围.b[8:(
2022.江苏.高一)已知-g殁必尸g求生吆的取值范围.223][9:(2022・江苏•高一)
(1)试比较(x+l)(x+5)与(x+3『的大小
(2)已知一2工工4一124),43求x一儿土的取值范围.]ba门bb+\A.--B.-aba«4-11111Ca-rh-aD.花飞(多选题)
4.(2022•河北保定•高一期末)己知则()aA.b\B.«1I2C.a—D.ci+b—baA.若ba0则一abC.若abcd则a+cZ+d多选题
6.2022・广东揭阳•高-期末B.若ab则acbeD.若ac2be2,则a已知ac0下列结论正确的是()A.2ab+cB.ab-cb^a-cC.——a-cb-c(多选题)
7.(
2022.辽宁丹东•高一期末)D.£-c3Z-c3如果abcdeR那么A.若a〃,则一工abC.若abcdPPJachclB.若acbe则D.若abcd则a+cZ+d1-a-b;2-ab⑶而后;4-
1.。