专题16椭圆的简单几何性质（知识精讲）（解析版）

专题十六椭圆的简单几何性质—知识结构图二.学法指导.由标准方程研究性质时的两点注意1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型.2焦点位置不确定的要分类讨论，找准与几正确利用〃=加+2求出焦点坐标，再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是abyC而应是242〃2c..利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是

①确定焦点位置；

②设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程；

③根据」知条件构造关于参数的关系式，利用方程组求参数，列方程组时常用的关系式有b2=a1—c22在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个..求椭圆离心率及范围的两种方法1直接法若已知ac可直接利用e=求解.若已知小人或〃，c可借助于〃=〃+/求出c或〃，再代入公式求解.2方程法若〃，c的值不可求，则可根据条件建立ab的齐次关系式，借助于〃2=//+理，转化为关于ac的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以的最高次幕，得到关于e的方程或不等式，即可求得的值或范围..代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则400直线与椭圆相交；/=0台直线与椭圆相切；/VOO直线与椭圆相离..解决椭圆的中点弦问题的两种方法⑴方程组法通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解.

（2）点差法设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为4（为，V）8（X2）唠，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点（M）和）和斜率公8有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理.利用心8=1三*一号葺=一舄，转化为中点（X0和）与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法.三.知识点贯通知识点1由椭圆方程研究几何性质例题L求椭圆

9.F+16）2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.*22【解析】把已知方程化成标准方程为会+5=1所以a=4b=3c=y[\6—9=y{l所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a=8和2/=6:离心率6=（=乎；两个焦点坐标分别是一巾，0®0四个顶点坐标分别是一40400-

303.知识点二由几何性质求椭圆的方程例题2求适合下列条件的椭圆的标准方程⑴椭圆过点30离心率6=坐2在X轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；【解析】1若焦点在X轴上，则4=3率，；.c=*C2=9—6=

3.aj・•・椭圆的方程为+=

1.若焦点在y轴上，则b=3台正导^^粤解得次=

27..二椭圆的方程为君+]=

1.片\―v广工所求椭圆的方程为a+彳=1或方+a=

1.o22设椭圆方程为今+本=1〃

0.如图所示，△4以2为等腰直痢三角形尸为斜边Ai4的中线（高）且|OF|=c＜也|=2寸，c=/=

4.\a2=b2-^c2=32故所求椭圆的方程为弓+得=

1.知识点三求椭圆的离心率

（1）定义椭圆的焦距与长轴长的比仔尔为椭圆的离心生.

（2）性质离心率e的范围是皿.当e越接近于1时，椭圆越显；当e越接近于

①时，椭圆就越接近于圆.例题

3.设椭圆点+於13＞〃＞0）的两焦点为人，尸2若在椭圆上存在一点P使京•港=0求椭圆的离心率e的取值范围.【解析】由题意知PQ_LPB所以点尸在以K尸2为直径的圆上，即在圆炉+尸=2上.V2V2又点P在椭圆上，所以圆/+}2=・2与椭圆）+浜=1有公共点.连接OP（图略），则易知0V〃〈cV4所以分Wc2V〃2即4一/w/V^所以与W/V*所以乎gvI.所以当，1）.知识点四直线与椭圆的位置关系直线y=kx-\-m与椭圆方=13＞方＞0）的位置关系y=kx-\-m联立，2+且=]消去）得一个关于x的一元二次方程.crb2例题

4.己知直线/y=2x+/n椭圆C

1.试问当〃取何值时，直线/与椭圆C I4

（1）有两个公共点；2有且只有一个公共点;⑶没有公共点.y=2x-]-int【解析】直线/的方程与楠圆c的方程联立，得方程组消去，，得g^+a玳+Z/M-d=0

①.方程

①的判别式/=8机产-4X9X2，层-4=-8加+

144.⑴当/0即-36〃3正时，方程

①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线/与椭圆C有两个公共点.2当/=即6=±3时，方程

①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线/与椭圆有且只有一个公共点.3当/V0即mV—3啦或〃3也时，方程

①没有实数解，可知原方程组没有实数解.这时直线/与桶圆C没有公共点.知识点五弦长和中点弦问题设直线与椭圆交于AX]，|仅工2”两点，则有\AB\=y]x]—X22+O，l~22=yj14-X22—4X1X21求此弦所在的直线方程；⑵求此弦长.【解析】1法一设所求直线方程为〉，-1=网”-

2.代入椭圆方程并整理，得4R+1—82/一女工+42左一12—16=

0.又设直线与楠圆的交点为4®yi8x2竺，则即及是方程的两个根..xi+及42火2—k义M为八B的中点，/.—^―=\.7=224个十1解得=一故所求直线的方程为x+2，4=

0.法二设直线与椭圆的交点为Axi，iBS闻.又M2l为AB的中点，・・・汨+也=4，1+，2=

2.又A8两点在椭圆上，则.6+4彳=16与+4比=

16.两式相减得.¥T—应+4彳一比=

0.于是Xl+x2x—X2+4yi+”划一2=

0..yi-.V2xi+x2**X\—X24+”2*即kAB=—

1.又直线AB过点M2l故所求直线的方程为x+2y—4=

0.2设弦的两端点分别为Axiyi8x2”，x+2y—4=0由“上得/-4%=0T6+7=1，**«X|4-X2=4Xi%2=0:.|48|=寸1+B/xi+%24一4xim1+--42—4义0=2小.知识点六与椭圆有关的综合问题例题

6.椭圆氏定+方=1心6经过点4—20且离心率为坐1求椭圆E的方程；2过点尸40任作一条直线/与椭圆C交于不同的两点MN.在x轴上是否存在点Q使得NPQM+NPQN=180？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】1由条件可知，椭圆的焦点在X轴上，且4=2又6=彳=乎，得C=也.由a2—〃=/得力2=4—02=

2.・•・所求椭圆的方程为:+^=

1.2若存在点几0使得/PQM+ZPQN=180°则直线QM和QN的斜率存在，分别设为Aik

2.等价于1+攵2=.依题意直线/的斜率存在，故设直线/的方程为，=kx—

4.[=^.v—4得2K+1/—16/工+32炉-4=

0.因为直线/与椭圆C有两个交点，所以/

0.即16尸尸-423+132公-40解得出，tll.32尸一4则X1+X2=22+]，X1X2=27+「y\=kX]—4»=X2-4令尸点+告=0x\—my2+X2—机i=0当2W0时，2xiX2—〃+4内+及+8〃=0所以m=l.当k=0时，也成立.所以存在点Q

（10）使得NPQM+ZPQN=\80°.五易错点分析易错•由椭圆的方程研究椭圆性质例题

7.椭圆a+卓=13＞力＞0）与椭圆今+员=入（人＞0且—1）有（）A.相同的焦点B.相同的顶点C.相同的离心率D.相同的长、短轴【答案】C【解析】在两个方程的比较中，端点、〃均取值不同，故ABD都不对，而”同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.由椭圆的方程判断焦点的位置，/与），2谁的分母大，焦点就在那个轴上易错二由椭圆的性质求参数的范围22/11例题

8.设e是椭圆工+汇=1的离心率，且ew-J则实数上的取值范围是k4UA.

（03）B.3字C.

（02）D.

（03）U件+8）【答案】D【解析】当焦点在工轴时e当焦点在y轴时6=e.A:e

（03）所以实数上的取值范围是O3U故选D.由椭圆的方程不能确定焦点的位置时，要分情况讨论内容考点关注点椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质性质运用离心率求离心率，由离心率求方程焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形ZgUx焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上标准方程5+方=1380土缸13泌0范围一aWxW”且一bWyWb-b£x《b且一对称性对称轴为坐标轴对称中心为原息顶点Ai—aOA2a0BiO~b%0bAi0-a420，ab0轴长短轴长B|=2，长轴氏H4|=^焦点Fi-gOF2cOPi0—c尸20，c焦距国同焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形JL焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上标准方程5+方=13＞心0・坊三13人范围—aWxWa且一bWyWZ一力WxWZ且一aWyWa对称性对称轴为坐标轴对称中心为原点顶点4—©

04205.0-60b40—a420a8ii0B2s0轴长短轴长B|=独，长轴长14A2|=额焦占一|一C0尸2C0”0—cE0c焦距|FiF2|=2c位置关系解的个数/的取值相交西解J0位置关系解的个数/的取值相切二解/三0相离无解J0。