专题16椭圆的简单几何性质（知识精讲）（原卷版）

专题十六椭圆的简单几何性质—知识结构图二.学法指导.由标准方程研究性质时的两点注意1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型.2焦点位置不确定的要分类讨论，找准与几正确利用〃=加+2求出焦点坐标，再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是abyC而应是242〃2c..利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是

①确定焦点位置；

②设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程；

③根据」知条件构造关于参数的关系式，利用方程组求参数，列方程组时常用的关系式有b2=a1—c22在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个..求椭圆离心率及范围的两种方法1直接法若已知ac可直接利用e=求解.若已知小人或〃，c可借助于〃=〃+/求出c或〃，再代入公式求解.2方程法若〃，c的值不可求，则可根据条件建立ab的齐次关系式，借助于〃2=//+理，转化为关于ac的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以的最高次幕，得到关于e的方程或不等式，即可求得的值或范围..代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则400直线与椭圆相交；/=0台直线与椭圆相切；/VOO直线与椭圆相离..解决椭圆的中点弦问题的两种方法（I）方程组法通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解.

（2）点差法设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为4（为，V）8（X2）唠，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点（M）和）和斜率公8有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理.利用心8=1三*一号葺=一舄，转化为中点（X0和）与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法.三.知识点贯通知识点1由椭圆方程研究几何性质例题L求椭圆

9.F+16）2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.知识点二由几何性质求椭圆的方程例题2求适合下列条件的椭圆的标准方程:1椭圆过点30离心率e=坐；2在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线G相垂直，且焦距为8；知识点三求椭圆的离心率1定义椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.2性质岗心率的范围是皿.当e越接近于1时，椭圆越扁;当e越接近于

①时，椭圆就越接近于圆.的两焦点为af2若在椭圆上存在一点p使即「港=o求椭圆的离心率e的取值范围.知识点四直线与椭圆的位置关系直线y=kx+m与椭圆a+方=的位置关系:联立‘2+史=]消去得一个关于汇的一元二次方程・例题

4.已知直线/〃，椭圆C，+弓=

1.试问当机取何值时，直线/与椭圆C⑴有两个公共点；2有且只有一个公共点;⑶没有公共点.知识点五弦长和中点弦问题设直线与椭圆交于Axi，iBX2”两点，则有H8|=yjxi—X22+y\—^2=yj1+A:2--\/xi+x22—

4.nx2=71+£、1+”2-4yL为直线斜率.例题5过椭圆会+=1内一点M2l引一条弦，使弦被M点平分.1求此弦所在的直线方程；2求此弦长.知识点六与椭圆有关的综合问题例题

6.椭圆E5+方=136经过点A—20且离心率为坐1求椭圆E的方程；2过点P40任作一条直线/与椭圆C交于不同的两点MM在x轴上是否存在点Q使得NPQM+NPQN=I8O？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.五易错点分析易错一由椭圆的方程研究椭圆性质9222例题

7.椭圆7+方=与椭圆今+方=入（入0且件1）有（）A.相同的焦点B.相同的顶点C.相同的离心率D.相同的长、短轴由椭圆的方程判断焦点的位置，-与y2谁的分母大，焦点就在那个轴上易错二由椭圆的性质求参数的范围22（\例题

8.设e是椭圆工+二=1的离心率，且6E7』，则实数左的取值范围是k412A.

（03）B.3—3）C.

（02）D.

（03）U—IJ/由椭圆的方程不能确定焦点的位置时，要分情况讨论内容考点关注点椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质性质运用离心率求离心率，由离心率求方程焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上标准方程o2总噂三L3»0范围一aWxW”且一bWyWb-b£x《b且一对称性对称轴为坐标轴对称中心为原息顶点Ai—aOA2a0BiO~b%0bAi0-a420，ab0轴长短轴长长轴氏H4|=^焦点Fi-gOF2cO~0—c尸20，c焦距国同焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形JL隹占的位置焦点在X轴上焦点在，轴上标准方程宗+方=lQQ092宠扁曰0范围一aWxWa且一力一bWxMb且一aWyWa对称性对称轴为坐标轴对称中心为原直顶点A|一40A240Bi0一b0b40一办40，〃51-—0B2s0轴长短轴长IS尸四，长轴长IAN2尸额焦点-l-C0尸2C0Fi0c20，c焦距|FiF2|=2c位置关系解的个数J的取值相交西解J0位置关系解的个数/的取值相切_解/三0相离无解J0。