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第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)[典例I解下列不等式:原不等式的解集为{x|-2Wx3}.12⑵原不等式可化为三二--10即;=V0等价于3x—24x—3v
0.,原不等式的解集为⑴解分式不等式时,要注意先移项,使右边化为零,要注意含等号的分式不等式的分母不为零.⑵分式不等式的4种形式及解题思路004xgx0;
②^vOO/UgxvO;20o/xgx20且gx#0o/lxgx0或/U=0;WOu/xgxWO且gxWOO/lxgxvO或人x=
0.⑶不等式与不等式组的同解关系右、伏)20,_J/WW,
①加)弟)川喂)川或嬴0A*》,gx20[活学活用].若集合4={x|—1W2x+1W3}B=x则ACB=A.{x|-lWxV0}B.{xIOVxWl}C.{x|0WxW2}I.{x|0WxWl}解析选B・・・4={x|-IWxWI}〃={x|0VxW2}・・・Anb={x|OVxWl}.
2.已知关于x的不等式“x+b0的解集是1+8则关于x的不等式空搭0的解集是A.{x|xVT或工2}B.{x|-lx2}C.{x|lVxV2}D.{x|x2}解析选A依题意,0且一《=
1.ax-bb\■^3Zy0OQx—》x-20Op-Jx-20即x+lx-20=x2或xv-
1.[典例]已知凡r=x2+2a—2x+4如果对一切xGR〃x0恒成立,求实数a的取值范围.[解I由题意可知,只有当二次函数共幻=3+25-2工+4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时,才满足题意,则其相应方程f+2“-2旨+4=0此时应满足J0即4m—22—160解得0V”
4.故的取值范围是
04.对于b]f人xV0或0恒成立,应利用函数图象..已知人幻=必+2-2x+4是否存在实数纵使得对任意xG[—31]人xV0恒成立.若存在求出的取值范围;若不存在说明理由.解若对任意,xG[—311/UVO恒成立,则满足题意的函数人工=*2+2〃-2x+4的图象如图所示.优-30f25-6«0由图象可知,此时〃应该满足器〈即仁22这样的实数a是不存在的,所以不存在实数a满足对任意xe[-3ll/lx0恒成立.对此类问题,要弄清楚哪个是参数,哪个是自变量.
2.已知函数,=炉+23—2x+4对任意yVO恒成立,试求x的取值范围.解原函数可化为ga=2xa+x2—4x+4是关于的一元一次函数.要使对任意,V0恒成立,gl0fx2-2x+40b-30[/-10工+
40.因为好一2*+40的解集是空集,所以不存在实数x使函数,=/+23—2戊+4对任意yVO恒成立.1解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数.分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法.芸/X恒成立2ymmax/lx存在最大值;〃«X恒成立=4存在最小值.2对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在X轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在X轴下方.[典例]某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为
1.2万元阚,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为工0xvl则出厂价相应的提高比例为
0.75X同时预计年销售量增加的比例为
0.6x.已知年利润=出厂价一投入成本X年销售量.1写出本年度预计的年利润j与投入成本增加的比例x的关系式;2为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内?[解]1由题意,j=[
1.2xl4-
0.75X-1x14-x]X1000Xl+
0.6x0xl整理得7=-60/+20需+
20001.2要保证本年度的利泗比上年度有所增加,当且仅当j-
1.2-lXl0000一60炉+2010即0xl0xl解不等式组,得所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x的范围为0-QSO©用一元二次不等式解决实际问题的步骤1理解题意,搞清量与量之间的关系;2建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;3解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.[活学活用]某校园内有一块长为800m宽为600m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉花卉带的宽度相同,中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围.解设花卉带的宽度为xm0x600则中间草坪的长为800-2xm宽为600—2xm.根据题意可得800-2x600-2x2;X800X600整理得炉一700工+600乂10020即彳一600一10020所以OVxWlOO或x260012600不符合题意,舍去.故所求花卉带宽度的范围为0100]m.雷群课后层级训练,步步提升能力层级一学业水平达标x-
1.不等式丁22的解集为r-1r-1-r—11解析选B不等式丁22即=一220即x20所以一1W0等价于xx+1WO且x#0所以一IWxvO.4x
42.不等式缶0的解集是4x+21।解析选A丁二y0O4x+23x—100或x—t此不等式的解集为13人.若不等式好+加工十分恒成立,则实数6的取值范围是A.2+8B.—82C.一80U2+8D.02解析选D•:不等式好+小工+年*,对x£R恒成立,二外即m2—2m0/.0//z
2..某商品在最近30天内的价格用与时间”单位:天的函数关系是加=/+1004W20E£N;销售量g⑺与时间,的函数关系是g⑺=-/+350vW30f£N则使这种商品日销售金额不小于500元的/的范围为A.
[1520]B.
[1015]C.1015D.01]解析选B由日销售金额为“+10—£+352500解得10W/W
15..若关于x的不等式X—4x一对任意x£0l]恒成立,则/n的最大值为A.1B.-1C.-3D.3解析选C由已知可得/nWx2-4x对一切xW0』]恒成立,又人工=/一代在01]上为减函数,・7/Umin=/U=—
33..不等式沿21的解集为.得一4aW;.答案一%|.若不等式J一4丫+3皿0的解集为空集,则实数m的取值范围是.解析由题意,知产—4x+3/n,0对一切实数x恒成立,所以/=一4产—4X3/nW04解得帆,不答案9+
8.在R上定义运算®:x®j=xl—j.若不等式x-a®x+avl对任意的实数x都成立,则〃的取值范围是.解析根据定义得x—a®x+a=x—a[l—x+〃]=—12+工+02—%又伏一®x+avl对任意的实数x都成立,所以x2—x+a+1—砂〉对任意的实数x都成立,所以/v013即1—4g+1-a20解得一答案T
19.已知人幻=一3了2+°5—工+力.1当不等式人外0的解集为一13时,求实数”,的值;2若对任意实数a八20恒成立,求实数b的取值范围.解1由汽幻0得一312+5—〃x+b0/.3X2—a5-ax-Z
0.又/U0的解集为一13j3+«5—«—/=Ja=2fa=3e,l27-3a5-a-Z=0**V=9或1=
9.2由12v0得一12+2«5—+k0即202—1O〃+12—〃
0.又对任意实数%420恒成立,・•2=-10产一4X212一5v0・・・从一/J实数b的取值范围为一8一
10.某工厂生产商品若每件定价80元,则每年可销售80万件,税务部门对市场销售的商品要征收附加税.为了既增加国家收入,又有利于市场活跃,必须合理确定征收的税率.据市场调查,若政府对商品M征收的税率为尸%即每百元征收0元时,每年的销售量减少10P万件,据此,问1若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元,求P的范围;2在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,应如何确定尸值;3若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定P值.解税率为尸%时,销售量为80—10P万件,即式P=8080-10P税金为8080-10P-P%其中0vPv
8.8080—10PP%2961由«解得2WPW
6.[0vPv8故P的范围为
[26].iy flP=8080-10P2WPW6为减函数,・••当P=2时,厂家获得最大的销售金额,42=4800万元.⑶・・・0vPv8gP=8080—10P・P%=-8尸一4户+128・•・当P=4时,国家所得税金最高,为128万元.层级二应试能力达标x+
5.不等式E万22的解是A[-3b!~;3]电,iui3]乳一/iuM]x+
5、卜+522x-l2工一/twox+
3.已知集合时=
①口<0N={x|xW—3}则集合等于A.MONB.MUNC.[rMMD.Cmmumx+3解析选D^y00x+3x-10故集合M可化为{x|-3avl}将集合M和集合N在数轴上表示出来如图,易知答案.-3-2-
1012.对任意函数八用=炉+-4a+4—2”的值恒大于零,则x的取值范围B.一81U3+8C.12D.—81U24-oo解析选B设ga=x—2a4-a-4x4-4ga0恒成立且—ll]ogl=x2—3x4-20pvvl或x2【虱一l=x2-5x+601xv2或x
3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园阴影部分,则其边长x单位m的取值范围是A.
[1530]B.
[1225]C.
[1030]D.
[2030]解析选C设矩形的另一边长为ym则由三角形相似知,至J,/.j=40—x・・・盯2300・・・x40-xN300/.x2~40x+300^0A10^x^
30.
5.若函数兀^=122》2—2°二一4的定义域为R则a的取值范围为.解析已知函数定义域为R即一20》一〃0对任意xER恒成立.AJ=-2a2+4a
0.解得一IVqVO.答案一106现有含盐7%的食盐水200克,生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水,设需要加入含盐4%的食盐水为x克,则*的取值范围是.解得x的范围是
100400.答案
100400.已知不等式加/一〃+股一2Vo.1若对于所有的实数x不等式恒成立,求机的取值范围;2设不等式对于满足加饪2的一切小的值都成立,求x的取值范围.解1对所有实数x都有不等式加/—2x+〃l2v0恒成立,即函数八》=〃a2—2x+/%—2的图象全部在x轴下方.当〃=0时,-2x—20显然对任意x不能恒成立;当时,由二次函数的困象可知有“解得7V1一也,J=4—20综上可知,机的取值范围是一81—^/
2.2设gm=x2+l/〃-2x—2它是一个以m为自变量的一次函数,由/+10知g⑼在[-22]上为增函数,则只需g20即可,即2F+2-2x-2v0解得Ovxvl.故x的取值范围是
01.做题.已知函数大幻=工2+如+
3.1当x£R时,风r2a恒成立,求的取值范围;2当[—22]时,人恒成立,求的取值范围.解162a恒成立,即d+砂+3—020恒成立,必须且只需—43—aWO即“2+4”一I2W0••・一6W〃W
2.・・・〃的取值范围为[-62].2次x=x2+“x+3=G+9+3—
①当一3一2即«4时,/Umin=八-2=—2〃+77由-2a+72a得oWq/.aG
0.J
②当—2W—SW2即-4WaW4时,/xmin=3—《,a2由3—彳2出得一6Wa
42.;・一44a
42.
③当一》2即一4时,式xmin=/2=2a+7由2a+72a得“2—7;・一7Wav—
4.综上,可得的取值范围为[-72].1用0Axvo
③/Ugx0o/、A或gxvOI网》0,Xx0
④/lxgx0o/、八或以x0gx0・不等式中的恒成立问题题型二▼。