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《不等式》知识点归纳一.
(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表达;不等式解集的端点值往往是不等式相应方程的根或不等式故意义范围的端点值.
(2)解分式不等式纲”0)的一般解题思绪是什么(移项通分,分子分母分解因式,£g(x)的系数变为正值,标根及奇穿过偶弹回);⑶具有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是分类讨论、平方转化或换元转化);
(4)解含参不等式常分类等价转化,必要时需分类讨论.注意按参数讨论,最后按参数取值分别说明其解集,但若按未知数讨论,最后应求并集.
二、运用重要不等式〃+力A2而以及变式时工(华)2等求函数的最值时,务必注意〃,b£R-(或,/非负),且“等号成立”时的条件是积点或和a+b其中之一应是定值(一正二定三等四同时).
三、.常用不等式有:JZ要之且尹之疝之了21(根据目的不等式左右的运算结构选用)小-a+bb、cgR/+Z2+c22c必+机,+ca(当且仅当a=8=c时,取等号)
四、含立方的几个重要不等式(〃、b、C为正数)a^+b^+c23abe(々+/2+00等式即可成立,4=〃=(;或々+/+(=01时取等);3r~T~-^+b+c〜/〃+/+c、3-o+b+c,JabcW=abcWW33
五、最值定理(积定和最小)
①xy0由x+y»1向,若积个=P(定值),则当x=y时和x+y有最小值2);(和定积最大)
②xy0由x+y22j^若和R+y=S(定值),则当x=y是积个有最大值;1【推广】
③己知也羽ywR+若办+勿=1则有则的最小值无)—+—=ax4-by—+—=«+/+—+—a+b+2\[ab-\[a+yfb2为:xyxy%y
④等式到不等式的转化:已知x00x+2y+2yy=8则x+2,的最小值是.2xy=8-x+2y=x.2y=8—x+2y即+2,+j+2y—820=x+2y+82+2y—4之04解得x+2yW-8舍或x+2y24故x+2,的最小值是4假如求xy的最大值,则2xy=8-x+2y=x+2y=8-2xy2y[2xy然后解关于而的一元二次不等式,求外的范围,进而得到孙的最大值
六、比较大小的方法和证明不等式的方法重要有:差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法注意:对“整式二今式、绝对值不等式”的放缩途径“配方、函数单调性等”对放缩的影响.
七、含绝对值不等式的性质小〃同号或有0^\a+b\=\a\+\b\\\a\-\b\\=\a-b\;a、〃异号或有0=|〃一〃|=|3+|〃|之||-闻|=|4+|.
八、不等式中的函数思想不等式恒成立问题“含参不等式恒成立问题“把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、发明性都有着独到的作用本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略
一、函数法1一次函数/x=Zx+〃xe[/〃〃]有/*0怛成乂=[/©0怛成乂=[[/〃0[/〃02一元二次函数/x=4/2+/zr+cOawOxeR有/#0对1£/恒成立=[°;A0/x〈对XGR恒成立oI“°A3不等式中x的取值范围有限制,则可运用根的分布解决问题例1•设/x=x2-2mx+2当X£[-14-00时/xm恒成立,求实数m的取值范围解:设Fx=x2-2mx+2-m,则当xw[-l+oo时,Fx0恒成立当△=4/w-lXm+20即-2vmv1时,尸j0显然成立;当△之时如图Fx0恒成立的充要条件为A0F-l0解得一34加工一2综上可得实数〃z的取值范围为[-31
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种解决方法,其一般类型有1/Xa恒成立O/xmin2/Wa恒成立=a/©max例
2.己知两个函数/工=8犬+16%一攵,^x=2x3+5x2+4x其中k为实数.1若对任意的x£[-33]都有/x以幻成立,求出的取值范围;2若对任意的内、々£-33]都有/2工且冗2,求上的取值范围.3若对于任意ag[-33],总存在%«-33]使得且%=/芭成立,求〃的取值范围.解1令尸幻=身幻-/幻二2/一3--12%+3问题转化为/20在xe[-33]上恒成立,即「心之0即可2由题意可知当尢4-33]时,都有3%2气心・3于任意王£[-33],总存在不£[-33]使得g%=/芭成立等价于的值域是g的值域的子集,
三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围这种方法本质也还是求最值,但它思绪更清楚,操作性更强一般地有1/XgaXa为参数恒成立Og/Wmax2/%gmx为参数恒成立Og/Xmax例3:已知加是定义在[-11]上的奇函数,且犬1=1若€[-11]m+〃工0时〃0若fxt2-2at+l对于所有的X£[-11]«G[-1J恒成立,求m+n实数/的取值范围.解题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消去一个变量,容易证明fx是定义在[—11]上的增函数,故1Ax在[-11]上的最大值为f1=1则/⑺《,2-2必+1对于所有的工£[-11]tzG恒成立=14/-2S+1对于所有的恒成立,即2版一一工0对于所有的恒成立,令ga=2fa-J只要心㈠0一_2或之2或,=
0.U1^O
四、变换主元法理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化例4不等式/+4_4»+4-240恒成立,求工的取值范围分析题中的不等式是关于x的一元二次不等式,但若把当作主元,则问题可转化为一次不等式1-2+--4x+40在上恒成立的问题解:令fa=x-2a+x2-4x+4则原问题转化为fa0恒成立«e[-ll]0当工=2时,可得/m=o不合题意当xw2时,应有解之得xl或r31/-10故》的取值范围为-oolU34-00o
五、数形结合法数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,这充足说明了数形结合思想的妙处,在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用函数图象和不等式有着密切的联系l/xgxO函数/X图象恒在函数gK图象上方;2fxgxo函数fx图象恒在函数gx图象下上方.例
5.设函数fx=-a+J-/+4xgx=or+〃若恒有/xu成立,试求实数a的取值范围.解由题意得了X4gxOX+4xW4X+2,令y=yl-x2+4x
①为=如+2a
②.
①可化为*-22+;=40x4yj0它表达以20为圆心,2为半径的上半圆;
②表达通过定点-20以a为斜率的直线,要使।-/xVgx恒成立,只需
①所表达的半圆在
②所表达的直线下方就可以了如图所示.当直线与半圆相切时就有华望生=2即土g由图可知,要使/xWgx恒成立,实数a的取值范VI+«2J围是
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六、分类讨论在给出的不等式中,假如两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边,则可运用分类讨论的思想来解决例6:x«-22]时,不等式f+a+324恒成立,求的取值范围解:设/3=/+如+3_0则问题转化为当xw[_22]时/的最小值非负1当一]一2即:a4时,/力而=/-2=7—3〃204wg又〃4所以不存在;2当一2工]02即TW4K4时,=/f-^=3-«-y0:.-6a2又:.-4a23当一S2即时/力2=/2=7+之
0.•.〃之一7又.•.一7综上所得-7a2例7己知是实数,函数/=2公2+2”一3-假如函数,=/幻在区间[—11]上有零点,求的取值范围.解析由函数/X的解析式的形式,对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数,还是二次函数,因而需就=和两类情况进行讨论解函数y=/x在区间[-11]上有零点,即方程方1=2加+2%-3-〃=0在[-11]上有解a=时,不符合题意,所以翔,方程=0在[-11]上有解v=/Tf⑴W或4120也1205,A=4+8a3+a20或7或425oa37aga\.12~——e[-l.l]a所以实数a的取值范围是土包或近
1.2点评本题重要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识,考察了数形结合、分类讨论的思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力。