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不等式的性质、不等式证明知识整理【本讲主要内容】不等式的性质、不等式证明【知识点精析】实数集与数轴间一•对应关系,数轴上任意两点所对应的实数都有大小之别(右边的点对应的实数较大),任取两实数a、baba=bab三者中有且只有一式成立:aboa-b〉0a=b=a-b=Oab=a-b0o在不等式的意义的基础上总结出的不等式的性质是我们证明不等式的理论基础要熟练掌握对不等式的证明,从思想方法上有如下四种.比较法这是直接利用不等式的意义:ABoA-B0等等有时为方便计,也使用其变种8=A〉B等等B
0.分析法,从结论的需要出发看条件是否能提供如原来证明AnB我们就由BuCuDu…uA也有称之为“执果索因”的,只是书写时必须要注意,切不可写为・.・BAC・・・D…,・・・A由已知,命题成立因为这样实际上是证明了逆命题与原命题正确与否不相干.综合法,也有称为“执因索果”的,是由已知条件或定理出发,逐次推出结论成立.反证法,当正面证明不易奏效时,不妨考虑反证法特别地,有“存在”、“至少”等词语的问题中,往往收到奇效其它还有判别式法放缩法函数法换元法有时也采用数学归纳法等证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、条件的结构特点、内在联系选择适当的证明方法要熟悉各种证法中的推理思维并掌握相应的步骤技巧和语言特点,为沟通联系的途径证明时往往联合使用分析综合法两面夹击相辅相成达到欲证的目的在诸多方法中,最基本的方法是比较法,它的一般步骤是:作差(商)一变形A.0x-B.-x-C.1x1D.xl4422(2006江苏8)设abc是互不相等的三个正数则下列不等式中不怛或文的是()A.|a-b|W|a-c|+1b-c|B.a2+-^«+—a~aC.|a-b|+—-—2D.\la+3-J-+1J4+2-4aa-b(2005年高考・福建卷•理11)设凡力eRJ+2/=6则a+人的最小值是()A.-272B.--C.-3D.--32(2005年春北京)若不等式(-1)匕〈2+』二对任意nCM恒成立则实数an的取值范围是()A.[-23]B.(-2之)C.[-3之]D.(-3之)2222(2000全国)若心blP=Jlg./gbQ」(Iga+lgb)R=1g(勺则22()A.RPQB.PQRC.QPRD.PRQ二.填空题.若abc则一上(填“二”“〈”二a-bb-ca-ca^b.若a、be/*则a和(a份〒的大小关系是.(1999全国,17)若正数a、b满足ab=a+b+3则ab的取值范围是.若‘20已知下列不等式:
①a+b〈ab
②|a||b|
③水bab
④2+42其中正确的不等式的序号为ab三.解答题:.若巴+2=1求证:x+y2右+血尸式中a、b、x、y均当正实数工》.已知a、b为正数,求证1若,;+16则对于任何大于1的正数x恒有ax+上b成立;x-\⑵若对于任何大于1的正数x恒有ax+qb成立则石+1后x-
1.2006广东20A是定义在
[24]上且满足如下条件的函数奴x组成的集合:
①对任意的x£[l2]都有02xwl2;
②存在常数〃OL1使得对任意的司3w
[12]都有182%-p2x2\L\xl-x2\oI设p2x=a/1+xx€
[24],证明:一%gA;H设d工4如果存在Xel2使得不=”2%0那么这样的/是唯一的;IH设奴任取X]€12令七1T=p2xntw=l2…【达标测试答案】一.选择题.解:命题〃是命题审:《二^等号成立的充分条件,故选B.解析:取b=0可验证C不成立°C.答案:A.解析:p是假命题q是真命题,故
①③正确选C.解析•・•£!〉1O〈b〈l,log“〃vOJog8=--—
0.log涉设log”b=八log/a=;,则-7++22;则log“〃+log/〃=f+1二一一/+J_-2t-t选D.解析・析0y〉0・・・xyWM^l2由xy-x+y=1得士^2-x+y2102工x+y22+2口答案:B.解析:设xygR-且x+2y=4则向建主尹=2即刈2故lgx+lgy=Igxylg2o选B.解析M-N=x2+y2+l-x+y+xy=—[x2+y2-2xy+x2-2x+l+y2-2y+l]2=-[x-y2+x-l2+y-l2]202答案:A填空题:
3.解析由/+y2=1得ow|xy|W]所以1-岁l+A,=l-xy2=l-x2y,£[-1].cib-ab2=abl-/0ab2-a=ab2-10aabJab.解析:声或=1=1+[=32222♦+
13.\ayl\+b2=72•a•W0•=—=V2•2V
222412.解析:
①②④⑤均可举出反例,
③可用反证法证明“若两数均小于1则a+b2,与题设矛盾填
③三.解答题
222.证明-■\-b2a——+c2/—+a2cbca222;・—H+J+〃+Z+c22a+Z+cbca.a-b~c-.・——hf—与a+b+cbca证毕!.证法一分析综合法欲证原式BPffi4ab2+4a2+b2-25ab+40BPiiE4ab2-33ab+8^0即证ab~!或ab284Va0b0a+b=l..ab28不可能成立.T=a+b22,^.•・abW!■从而得证4证法二均值代换法设a=-+tbb=-+t2Va+b=la0b022••ti+t2=oItiK—1t2!^—22b显然当且仅当t=0即a=b=l时,等号成立证法三(比较法)Va+b=la0b
0.\a+b^2V^Aab^-4/1“I25«2+l/2+l254c/人2+33〃〃+8(1—4,曲)(8—(a+—)(〃+-)===0I12S即伍+—)S+—)2—ab4证法五(三角代换法)*.*a0b0a+b=l故令a=sin‘ab=cosaae(0—)2a+—/+—=sin2a+——--cos2a+absinacosasin4a+coscr-2sin2oreos2a+2_4-sin2a2+164sin_2a4sin_2avsin
21.4-sin24-1=34-2sin22a+16251z..2c、2-4-sin-2a
2、2511=;N———14sin22a4sin22a41175即得〃+」•伯ab
415.证明1a,+4■-M-劣=WaTa0-1ataa・・・al・・・』a-l05-10,a,原不等式成立2解Va-1与a5T同号对任何a0且awl恒成立,上述不等式的条件可放宽为a0且awl3解:根据12的证明,可推知:若a0且a^lmn0则有烦+4an+-^aa证:左式一右式=am-an+4-4=anam-n-l-Lam-n-l=-Va-n-lam+n-laa88若al则由mn0=aa0a0=不等式成立;若0al则由mn0=0anl不等式成立【综合测试答案】一.选择题.解析由LLo知ba0A不正确ab答案:A.解析:取a=lb=7可验证p假;由一1|一220可得工£-l]u[3+8故q真.解析・「a+b=2-3b之23“♦3〃=2后方=2x3=6答案:B.解析..・p+q=lp0q0则由勺^之7^,得P”若xl则logrw0则logx/M1故选Do.解析|a-b|=|a-c+c-b|W|a-c|+1b-c廿亘成立,因为a0所以a+—^2恒a成立;所以a~+-^-a+-=a+-2-a+--2=[a+--2][a+-+\]^0aaaaaa即+J■恒成立;aa乂因为Ja+3-i+1=i——i产=+2—\[a〃+3+Vg+1Ja+2+y]a所以Ja+3-Ja+lJ〃+2-G恒成立;当ab时a-b|+—!—2成立,a-b当ab时|a-b|+—!—N2不一定成立,如当a=2b=3a-bHt|a-b|+—!—=l-l=02a-b故选Ceab
2.解析言+1设a二mcos0a=/sin°则a+b=/cos0+y/3sin0=3sin0+6所以所求最小值为-3选C.解析当n为正偶数时a〈2-L2-L为增函数,・・・a2-nn22当n为正奇数时-a2+La-2-lo而-2-工为增函数一2-l-2nnnn・・・a2—2故a£[—23]答案A
2.Wtfr Vlgalgb0・二;lga+lgb即Q〉P又•・・ab1・•・竺^4ab2Alg^^lgV^=1Iga+lgb即RQ・•有PQR选B二.填空题.解析:abc—!—+—!—a-c=—!—+—!—[a-b+b-c]a-bh-ca-bb-ca-bb-ca-ca-c答案a+b.解析(用求商比较法)•用之()可.解析一令,石=t(t0)由ab=a+b+322,^+3得1222t+3解得t23即4ab23故ab29r\解析二由已知得ab-b=a+3ba-l=a+
3.\b=---ala-l..〃+3rz八「〃+3门〃+
3.ci—1+
4..ab=a=[a-l+l]=a+3+=a-1+4+a-\a-1a-1a-\4I4~4=a-l+——+522]一1——+5=9当且仅当aT二——时取等号a-1Va-]a-1即a=b=3时ab的最小值为9所以ab的取值范围是[9+8答案:abN
9.解析・・・L_L〈o.・・b«0故
②③错
①,
④ab三.解答题.解i・.・i二巴+
2.*.x+y=l•x+y=—+—•x+y=a+b+曳+独2右+新尸xyxy当且仅当ayJbx时取“二”号x=asec0y=Zcsc20/.x+y=al+tan0+bl+cot20^a+b+24ab=4a+4b如用柯西不等式可直接证明x+y=x+y―+—Vx+后后y=八+胡当然如下用柯西不等式,则x+y=x+y―+—=a+b+a—+b—2a+b+2=无+oxyxy.证明lax+^—二ax-l+—!—+l+a》2〃+l+a=+l]x-1x-1・・・〃+l布b0・・・〃+l2byax+b成立x-\⑵•.•ax+—^b对于大于1的实数x恒成立,即xl时,[ax+—一]minbx-\x-\而ax+一一=axT+---+1+a224a+1+a=4a+12x-\x-\当且仅当axT=,即x=l+-Ll时取等号工一1\la故[ax+—一]nin=石+1Ox-\则+15b即4a+14b
015.证明给定正整数k对任意的正整数p不等式成立乃T+0一七区丁下区一川1—L证明I、对任意x£
[12]p2x=Cl+2xV3p2x《为,Iv再〈逐v2所以02xe12对任意的司“2w[l,2]|夕2$一夕2X21=1玉Ir-r2,yi+
2.〜+玳1+21/1+々+ya+々3血+2内+玳1+2入工+8+押+々,所以0“22y1+2%-+#1+2西1+彳2+yi+—232令一1,/、、———7=LOL1JI+2玉2+#1+21]1+工2+]l+X\p2xx-plx2\L\xx-x2I所以°x£AII反证法:设存在两个%温g12x0工用使得q=夕2见,Xq=02片则由|以2%一晒2%,区L\x0-^0*|得1Ao-%区L|x0-x0T所以LN1矛盾故结论成立III\x3-x2\=\p2x2-奴2*|《小2一林|,所以ka+i一口\x2-xi\IS+p一占1=|匕+〃-S+x+S+pT-Z+〃-2+…Z+l一占WN+p一8+pT|+N+/I-S+ll+…N+1-Xk\4+72_力+乃+k3k2_力+・・・右1区_再|tK-\工厂#2一芭|I—L一判断符号值变形的主要方向是因式分解、配方判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式则考虑用判别式法证综合法也是常用的方法之一,在证明时常常用到如下公式1+Z22ababWR2+24abiabwR[5:y[ab・••原不等式成立证法二左边0右边0][6:左边_6+V^a-4ab+b_a-y[ab+b,原不等式成立评述:用比较法证不等式一般要经历作差或商、变形、判断三个步骤变形的主要手段是通分、因式分解或配方在变形过程中,也可利用基本不等式放缩,如证法二要注意的是,作差对两个式的值的符号没有要求,作差后的式子与0进行大小比较;而作商通常对两个式子的值的符号有要求,作商后的式子与1进行大小比较]23^+-^2a・b0ab40^^2⑸若ab£R则||aHb||W|a+b|W|a|+|b|22【解题方法指导】
21.2111例
1.设a0b0求证生2£_22a2+b2ba剖析:不等式两端都是多项式的形式故可用比差法证明或比商法证明证法一:左边-右边二tW-〃+△4ab_.yfci+y[ba-y[ab+b-4cib^4ci+4b}y[ab+4b«-2y[cib+b_Cy/a+VK.4a-4b}2例
2.ai、bi、a
2、b2£R求证aj+a2bj+b2ab+a2b2[剖析:这是“柯西不等式”在n=2时的特殊情况,我们利用它来回顾一下常用的几种证明方法证法一作差比较法左-右=ai2bi2+a22b22+ai2+b22+a22+bi2-ai2bi2+a22b22+2aibia2b2=ai2b22—2atb2a2b1+a22bi2=ab—也b20工原不等式成立证法二判别式法Va]X+bi2+a2x+b22^0恒成立ai2+az2x2+2ab+a2b2x+bi2+b2220恒成立若ai2+a220则△=4ab+a2b22-4a/+a22出知rWOaj2+a22b2+b222ab+a2b2若a2+a22=0则aL=0原不等式左、右均为0也成立其它方法如分析法:左二a/b1+a22bzN+a/bz+a22bl右=ajbJ+ajbz+Zaabb要证原式只要证明ai2b2~+a22b12aa2b।b2即可综合法22bl22a1a2bb,两边同加a『b+a22b2构造法:作向量a=aa2b=b.b,由向量的数量积的性质可得a2b22a・b代入坐标立得几何法:在直角坐标系内取点Aaba2Bb„b2则OA+OB2ABJa;+a;+Jb;+A;~2+仇〜+a-b亦即如+姆+代2-ab+a2b2右边为负时当然成立非负时平方即得评讲:这一问题的解决方法说明了不等式证明方法的多样性及灵活性另外,这个不等式也是一个重要的基本不等式,只不过它只是出现在课本的例习题中,在今后的学习中,我们也可以直接使用这个不等式解决有关问题最后大家想一想:这样的实数增加到3对、4对……上面的方法还都有效吗?例3已知ab0求证(〃一/■-疝
①一与‘82汕剖析:不等式的运算形式是比较复杂的,一眼看不出从哪儿下手这时可以用分析法对不等式变形证明若证原不等式成立,只要证(a~h)~a+b-2武(b4a4b只要证乌业(]〈乌亚,只要证且把2(马攵2i2jaJqNb只要证1+他2口+1即证及vlR即证成立VaVbVaVbabVab0此式显然成立又以上各步均可逆・••原不等式成立评讲:分析可以让我们揭开一个不等式的真面目同学们要注意的是在使用分析法时一定按照规范的格式书写【考点突破】【考点指要】高考考纲要求:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式从近几年的高考试题来看有关不等式的试题基本上都是一道选择题或填空题和一道解答题解答题一般是解不等式和证明不等式纯粹本单元的试题分值逐渐减少但在一些函数、数列、立体儿何、解析儿何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的知识在综合题的解题过程中处处分布着不等式的知识、方法和技巧理科平均约9%文科约7%o关于不等式证明的内容年年都有大部分是间接考查不等式的证明有时也直接考查证明不等式是理科(或文理合卷的省、市)考查的重点不等式证明题历来难度大,区分度高综合性强创新不断,同学平时练习题与高考试题差距较大所以我们在学习时一方面要重视对基础知识、基本方法的复习,另一方面更要注重证明方法中蕴含的思想方法、技巧、技能【典型例题分析】例
4.(2002年北京)数列{xj由下列条件确定占=0x“+|=!(x“+—)ngN.2居(I)证明对n22总有xn4a\(II)证明对n22总有xn+]o证明(I)(均值不等式的应用一综合法)由$=a0及覆+i二工区+—)可归纳证明402z从而有xn+l=-(x“+—)lxn—=wN),所以,当n22时,xn几成乂2V5(II)证法一(作差比较法)当n22时,因为4a0xn+l=—(x„+—)2%所以=-(%„+—)-xw^-0故当n22时,之七川成立2/25证法二(作商比较法)当n22时因为X”I右0xn+i=—(与+—),所以2/zax-氏+一)222x一=2£=再+〃工心+x”=]%乙2x;~2x;故当n22时,x”xn+l成立评讲:此题是以数列为知识背景把数列与不等式证明综合起来重点还是考查不等式证明方法中最基本的方法一一综合法和比较法例
5.2001全国,理20已知imn是正整数且limnI证明nAAmA,H证明l+ml+nn证明1对于l〈iWm且A\=mm-i+1A;〃tnm-\m-i+\同理A]_〃n-\n-i+\ninimtnnnnn由于mn对于整数k=l2…,i-1有±士空士,nm所以即加a nni2由二项式定理有:l+mn=l+C!1m+C2+-+C inn1+n三1+C\n+C-2+…+,谓由⑴知mA;nA;„iWm而C;=C=~/!il/.mCnnC„lmn/.m°CJ=n°C®=1mC=nC=m•ni/C〉n2cWC1C£Wc山〉••・mT;;0;・1+C;m+C;m+-•・+C砂1+C\n+C2„n2+…+C;n即l+mnl+n”成立评讲:在第一问中一定要弄清符号屋的意义,把要证的式子用“隔离参数”的思想变形为再比较两边对应的比值即可在第二问中要注意使用第nlm1一问的结论,把排列数之间的不等关系转化为组合数之间的不等关系例
6.2002江苏22已知a0函数fx=ax-bx201当b0时若对任意xGR都有fxW1证明a2班;2当b1时证明:对任意x£[01|fx|W1的充要条件是b-lWaW2“;3当KbWl时讨论:对任意x£[Ol]|fx|Wl的充要条件证明I依设对任意xeR都有fx^lVfx=-Z;x-—2+—2b4/7・•・Va0b
0.a^24bo2b4bII证明必要性对任意x£
[01]|fx|Wln-lWfx据此可以推出TWfl即a-b^-1Aa^b-1;对任意x£
[01]|fx|Wl=fxWl因为bl可以推出f3l,即43一
1.1,4h4b・・・aW2VF;・・・b-lWaW2VF充分性因为bla^b-1对任意xG
[01]可以推出ax-bx‘2bx-x-x2-x2T即ax-bx2T;因为blaW2JF对任意x£
[01]可以推出ax-bxW2JFx-bxWlB|Jax-bx^Wl.•.TWfxWl综上,当bl时对任意x£
[01]|fx|W1的充要条件是bT-VKIH解因为a00bWl时对任意x£
[01]:fx=ax-bx2^-b^-l即fx2T;fxW1nf⑴=a-bWl即aWb+1aWb+1=fxWb+Dx-bxMl即fxWl所以,当a00〈bWl时对任意xe
[01]|fx1^1的充要条件是aWb+1评讲:在证明的过程中要注意结合二次函数特殊的性质,不等式对所给区间上的任意一个值都成立,当然对一个特殊值(比如:顶点处)也成立,这样我们就把一个一般的函数不等式变为我们所需要的不含变量x的不等式【达标测试】一.选择题:.(2006安徽4)设《beR已知命题〃;命题夕:则〃是9成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件.如果abc满足cba且ac0那么下列选项中不二房成立的是.分析法是从要证的不等式出发寻求使它成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件.设命题p:若则J;命题q:-0=ab0t给出下列四个命abb题:
①P或q;
②P且q;
③1P;
④~Iq其中真命题有A.0个B.1个C.2个D.3个.设则log/+bg〃〃的取值范围为A.[2+ooB.2+ooC.-co-2D.-co-2].设x0y0且xy-x+y=1则A.x+y2五+2B.x+y22VI+2C.x+y〈亚+12D.x+y2VI+l
2.设£P且x+2y=4则Igx+lgy的最大值是()A.-Ig2B.Ig2C.21g2D.
2.己知xxyeRM=x2+y2+lN=x+y+xy则M与N的大小关系是A.M2NB.MWNC.M=ND.不能确定二.填空题.已知1+)/=1则(1一个)(1+p)的最大值为最小值为.设a0-Kb0则aabab从小到大的顺序为.设a0b0a2+^l=l贝ijaVH下的最大值是
2.设明〃都是实数,给出下列条件®a+b\;®a+b=2;®a+b2-®a2+b22;@ab\o其中能推出“明力中至少有一个数大于1的条件是(请你把正确的序号都填上)三.解答题.设“、〃、c均为正数求证《+忙+U2〃+h+cbca.已知a〉0b0且a+b=l求证(a+)(b+,)》Wab43j
21.⑴证明当ai时,不等式a+3a+3成立dd⑵要使上述不等式a3+±M+2成立,能否将条件-]”适当放宽若a-能请放宽条件并简述理由;若不能也请说明理由⑶请你根据⑴、⑵的证明,试写出一个类似的更为一般的结论且给予证明【综合测试】一.选择题(2003年南京市质检题)若则下列结论不正确的是()ab***A.a2b2B.abb2C.-+-2D.|a|+|b||a+b|ab.命题p:若a、b£R贝I」|a|+|b|l是|a+b|l的充分而不必要条件命题q:函数y二和-1|-2的定义域是(-8—11[3+8)则()A.P或q”为假B.“p且q”为真C.p真q假D.p假q真.若a、b为实数,且a+b=2则3a+3的最小值为()A.18B.6C.26D.2^
3.设p+q=1p0q0则不等式10gx(pg)v1成立的一个充分条件是4(;+f1)2+]+G+](+/|+,1+])(]+,2+q-+1);+’2(;+,i)(;+G)4+])(+芍+r2+1)+z22)2~{2[2:125(£z+_)(Z+)_£][3:ab4证法四(综合法)][4:Va+b=la0b
0.*.a+b^2V^.*.ab^—]一1212二一七二一24-4-25324251—G+£—/■)4=162一一16=£51j-144~4。