新教材人教a版选择性必修第一册3.1.2第1课时椭圆的简单几何性质学案

3.

1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质

⑥知识探究素养启迪®情境导入中国的火星探测器“天问一号”的运行轨迹是椭圆形的椭圆在我们的生活中经常出现.探究你知道椭圆有什么样的性质吗？答案:范围、顶点、对称性、扁平程度等.®知识探究椭圆的简单几何性质22则椭圆的方程为喘+3二

1.50430/设顶点A的坐标为（xoy0）0x0500yo3O则官祟1，得据噂（52区）.根据矩形ABCD的对称性可知它的面积S=4x0y

0.由于就舟解・券（52-诏）二管尸［-（6争2+学因此当%户号时就光取得最大值此时S也取得最大值.止匕时x0=25V2y（）=15五，矩形ABCD的周长为4（xo+yo）=4（25立+15近）=160近（m）.因此在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25V2m的直线这两条直线与椭圆的交点就是所规划的矩形ABCD区域的顶点这个矩形区域的周长为160匹m.3方法总结⑴解决与椭圆相关的应用题的基本策略:

①通过求解椭圆的方程来研究它们的性质;

②应用椭圆的定义、方程及性质把有关几何知识转化为数量关系再结合代数知识求解.⑵利用椭圆解决实际问题的基本步骤:

①建立适当的坐标系;我击椭圆的标准方程（待定系数法）；

③根据椭圆的方程及性质解决卖丽冕变式训练4:某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为焦点的椭圆，近地点A距离地面mkm远地点B距离地面nkm地球半径为kkm则飞船运行轨道的短轴长为（）2dm+kn+kkmJnt+ki+kkmCmnkmD2mnkm解析由题意可得a-c=m+ka+c=n+k故a-ca+c=m+kn+k即a-=b=m+kn+k所以b=Vm+/cn+/c所以飞船运行轨道的短轴长为2J72+/c九+kkm故选A.®课堂达标223+^二la〉O的焦距为4遍则该椭圆的长轴长为B4A4B8C2D2V3解析由焦点在y轴上的椭圆5+二1a0的焦距为4V3可得a-4=12解得a=4所以2a=

8.故选B.2+8y2=l的短轴端点坐标是CA0±2V2B±2V20C0土争D±y02解析由椭圆x+8y2=l得x十卷=

1.8所以b24得b二乎.84则椭圆短轴端点的坐标为o-号，0，¥.故选C.

3.中心在原点焦点在x轴上若长轴长为18且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是Av2yj2v2yj2A土+匕=1B土+匕=18172819v2”2v2yj20—+—=1D土+匕=181458136解析因为2a=182c=X2a=6322所以a=9c=3b2—+—=

1.故选A.8172223+3=1的离心率为.168解析:因为正16b2=8答案咚@备川例题22［例1］已知点FbF2分别是椭圆巳+2=1的左、右焦点，过件且垂直于q，bzx轴的直线与椭圆交于AB两点若AABF2为正三角形则该椭圆的离心率e是（3e2+2V3e-3=0解得e二-8（舍去）或eg故选D.［例2］已知FiF2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于PQ两点，PF」PQ且|PFJ二|PQ|求椭圆的离心率.解:如图，设IPF」=m则|PQ|二m|F】Q|二加1因为PQ在椭圆上根据椭圆的定义得|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a即鱼+2m=4a.所以m二4-2aa.又|PF21=2a-m=2V2-2a在RtZXPFE中，IPF12+1PF212二|FE12即4-2V22a2+2V2-22a2=4c22所以三二9-6四=3V2-12az所以e=-=V6-V

3.a”方法总结22221由不等式1可得|X|Wa由$1可得|yWb从而az匕/bzq，可得椭圆的范围.⑵椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置注意长轴长是2a而不是a.3椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的扁平程度.e越接近匚厕已就越接近a从而b=越小，因此椭圆越扁;反之e越接近0则C就越接近0从而b越接近a这时椭圆越接近圆.特别地，当a二b时二0椭圆就变为圆了此时方程为x2+y2=/®小试身手^+y2=lao的焦点在X轴上长轴长是短轴长的2倍则椭圆的离心率为AA第B|C严D”2222解析由题意得2a=4b所以a=2b即a2=4b=4『-c所以3之4所a4以e

24.因为0el所以e当.故选A.42W=16上点的纵坐标的取值范围是.22解析:椭圆x2+4y2=16的标准方程为3+―=

1.164可得y£[-22].答案[-22]22^+―=1m0的一个焦点坐标为02则实数m=.5m22解析:椭圆5+匕二1的一个焦点坐标为025m可得31-5=2解得m=

9.答案

94.若椭圆C Cj+田二1m〉0的焦距为2V3则椭圆C的长轴长mz+lm为.22解析:椭圆C4-7+—lm0的焦距为2V3mz+lm可得2Vm2+l-m=2V3所以m=2则椭圆C的长轴长为2AA庐不T二2遍.答案2遥

⑥课堂探究-素养培育Q探究点一椭圆的主要几何量［例1］求椭圆9x2+16y2=144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.22解:把已知方程化成标准方程为3+―二1169于是a=4b=3c=V16-9=V7所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a二8和2b=6离心率e=-=4两个a4焦点坐标分别是-V70V70四个顶点坐标分别是-40400-

303.，方法总结1由椭圆方程讨论其几何性质的步骤

①化椭圆方程为标准形式确定焦点在哪个坐标轴上；

②由标准形式求出abc写出其几何性质.2椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系

①椭圆的焦点决定椭圆的位置；

②椭圆的范围决定椭圆的大小；

③椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度；

④对称性是圆锥曲线的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交司是椭圆上的重要的特殊点在画图时应先确定这些点.变式训练1求椭圆25x2+16y2=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.22解:将方程变形为得a二5b=4所以c=32516故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=102b=8离心率e二焦点坐标a5为件0-3严203顶点坐标为A10-5A205Bi-40B

240.Q探究点二利用椭圆的几何性质求标准方程［例2］求适合下列条件的椭圆的标准方程.⑴椭圆过点30离心率e二W；⑵在X轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直且焦距为

8.解1若焦点在x轴上则a=3因为e二上当所以c=V6a3所以b2=a2-c2=9-6=

3.22所以椭圆的标准方程为3+5=

1.93若焦点在y轴上则b=3x9V61--=—a23解得a%.22所以椭圆的标准方程为犷*

1.综上可知椭圆的标准方程为或.+二L22解⑵设椭圆的标准方程为=+3=la〉b〉

0.a，如图所示AAFA2为等腰直角三角形OF为斜边An2的中线（高）|0F|=clA^l^b所以c=b=4所以a2=b2+c2=3222故所求椭圆的标准方程为S+9二L32163方法总结⑴已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法解题步骤为:

①确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；

②确立关于abc的方程（组），求出参数abc;

③写出标准方程.⑵注意事项当椭圆的焦点位置不确定时通常要分类讨论分另酸出标准方程求解可确定类型的量有焦点、顶点;而不能确定类型诞有长轴长、短轴长、离心率、焦距.变式训练2:已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为小长轴长为12则椭圆方程为（）V2yr2V2yj2A——+—=1或——+—=1144128128144v2yj2C片+4或W竺二136323236⑻小白啖+勺解析由条件知a=6e=-=p所以c=2所以b2=a2-c2=

32.故选C.a3探究点三求椭圆的离心率［例3］

（1）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形则该椭圆的离心率为（）（A）”B）［（C呼喈⑵已知件为椭圆的左焦点AB分别为椭圆的右顶点和上顶点P为椭圆上的一点，当PF」FAPO〃ABO为椭圆的中心时求椭圆的离心率.⑴解析:依题意，ABFE是正三角形.因为在RtZXOBF中OF|二c|BF21=aZ0F2B=60°所以acos60°=c所以与a2即椭圆的离心率e=|.故选A.2解由已知可设椭圆的标准方程为v2yj2・+9=lab0azbz为2则由题意可知P-C也.a因为△PFQs/\boa所以鬻嚼匕2所以除2c；所以《野”方法总结求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式具体如下:⑴若已知冉可直接代入吟求得;⑵若已知ab则使用e=求解；⑶若已知bc则求a再利用⑴或⑵求解；

（4）若已知abc的关系可转化为关于离心率e的方程（不等式）京值（范围）.变式训练3-1:本例⑴中，条件改为“椭圆的左焦点、右顶点与短轴的一个端点构成直角三角形”，求椭圆的离心率.解:如图，依题意AF.BA为直角三角形.法一在RtAABF1中，|AFd=a+c|BF1|=a|AB|=Va2+b2所以|AB『+|BFi|2二|AFi|

2.所以a2+b2+a2=a+c

2.整理得c2+ac-a2=

0.所以e2+e-l=

0.所以e二冬（e=卓舍去）.法二在RtAABFi中，得b2=ac即a2-c2=ac所以e2+e_l=

0.解得e二年（e二卓舍去）.变式训练3-2:本例⑴中，条件改为“椭圆的左焦点、坐标原点及椭圆上一点构成正三角形”，求椭圆的离心率.解如图，△POE为正三角形.连接pf2因为|0P|二|0F||二I0F2I=c所以△F1PF2为直角三角形.又|PFi|二c所以|PFz|二75c.因为|PF」+|PF2|=2a所以c+V3c=2a所以e=-=-^—=V3-

1.aV3+1探究点四与椭圆相关的应用问题［例4］有一个椭圆形溜冰场长轴长为100m短轴长为60m现要规划一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形ABCD区域且使这个区域的面积最大应把这个矩形的顶点定位在何处这时矩形的周长是多少？解:分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴和y轴，以长轴的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.因为矩形的各顶点都在椭圆上而矩形是中心对称图形又是以过对称中心且垂直于其一边的直线为对称轴的轴对称图形，所以矩形ABCD关于原点及x轴y轴都对称.已知椭圆的长轴长2a=100短轴长2b=60核心知识目标核心素养目标.掌握椭圆的几何性质，掌握abce的几何意义及abce之间的相互关系..尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质..尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.通过椭圆的简单几何性质的学习，提升学生的直观想象、数学运算等核心素养.隹占

八、、

八、、的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形ra\^O\cX一一标准方程X=lab0azbz22[+:=1ab0azbz范围-aWxWa且-bWyWb-bWxWb且顶点Ai-a0Aa0B10—bB20bAi0-aA0aB1-b0Bzb0轴长短轴长二地长轴长二四隹占

八、、

八、、F〈c0Fzc0Fi0-cF20c焦距riF2|=2c对称性对称轴:X轴和y轴对称中心:00离心率e=-0ela。