高考数字解答题双曲线专题10.双曲线的切线问题.docx

10.双曲线的切线问题T8联考16题的推广及高考应用昨天考的T8联考16题以双曲线切线为背景，考察了一类特殊的中心三角形，即该切线与渐近线的交点和坐标原点围成的三角形面积，其实是一个定值，本文对其做一般的推广，并介绍相关结论在高考试题中的应用.对于双曲线比较独特的结论，我们应该多加留意.一.典例分析T8联考16题22已知双曲线:「-4=1〃〉0力〉的左、右焦点分别为片和F-为坐标原点，过尸2作渐近线的erbby=-x垂线，垂足为P若P则双曲线的离心率为；又过点尸作双曲线的切线交另一条渐a近线于点0且A的面Sa°pq=2芯积，则该双曲线的方程为.解析第一个空较简单，:.a=—b:.e=-=\^^=—.2a\a23下面看第二个空的证明；b双曲线的两条渐近线方程我们可以用y=±—x来表示，设切线与两条渐近线的交点分别为aAX，y、8%%，由〈，可得1%।，同理2%o%y=—xcrabaanIa所以三角形QAB的面积为S=g040B-sinNA03再将22之一日=1代入，得5=加？，证毕.abC22这样的话，由于〃=四〃且4〃=2百，可解得双曲线方程为—-^-=

1.234二.高考应用222014年福建卷已知双曲线石二—二二1＞0力〉0的两条渐近线分别为li:y=2xj2:y=-2x.cTb1求双曲线£的离心率；2如图，为坐标原点，动直线/分别交直线/”4于AB两点A5分别在第一，四象限，且AO48的面积恒为8试探究是否存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线£若存在，求出双曲线£的方程；若不存在，说明理由.b解析1因为双曲线£的渐近线分别为y=2xy=—2x所以‘二2a/2__2所以==2故=氐，从而双曲线£的离心率6=£=6aa2由1知，双曲线后的方程为二-二二1a4矿设直线/与x轴相交于点C当/_Lx轴时，若直线/与双曲线E有个公共点，贝！||OC|二〃|A5|=4a又因为AOAB的面积为8所以，|OC|・|A3|=82因此，.4=8解得=2此时双曲线后的方程为22222土-匕=1若存在满足条件的双曲线E则E的方程只能为二-匕=1以下证明当直线/不与x轴416416垂直时，双曲线£:工-乙=1也满足条件.设直线/的方程为丁=辰+根，依题意，得k〉2或k—2416my=kx+m则C—丁0记A不必1々为由一得k[y=2x2m2n7Ix=同理得当=百由4刈=3川内％感y=kx+mx2y1得，二1I4164-k2x2-2kfwc-m2-16=0因为4—%20所以A=Mcjtt+44-k2/n2+16=-164V-m2-16又因为加？=4/2_4所以，即与双曲线有且只有一个公共点，因此，存在总与有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为。