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专题L4概率与统计题组
一、独立性检验与线回归方程及其应用1-1(连云港2022—2023学年度高三第一学期10月检测)在200人身上试验某种血清预防感冒的作用,把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较,结果如下表所示.问是否有90%的把握认为该种血清对预防感冒有作用?〃+bc+da+cZ+d1-2(南京师大附中2022-2023学年度高三第一学期10月检测)(本小题满分12分)某研究性学习小组对某植物种子的发芽率y与环境平均温度x(0之间的关系进行研究,他们经过5次独立实验,得到如下统计数据
(1)若从这5次实验中任意抽取2次,设种子发芽率超过70%的次数为虞求随机变量4的分布列与数学期望;
(2)根据散点图可以发现,变量y与x之间呈线性相关关系.如果在第6次实验时将环境平均温度仍然控制在21℃根据回归方程估计这次实验中该植物种子的发芽率.1-
3、(2022~2023学年山东潍坊第一学期期中调研考试)(12分)2022年2月22日,中央一号文件发布,提出大力推进数字乡村建设,推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台,对本乡村的农产品进行销售,在众多的网红直播中,随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据,如下表所示
(1)若X=6从这10人中随机选3人进行用药体验访谈,求被选中的治愈人数y的分布列和数学期望;
(2)当人为何值时,概率P(X=Z)最大?并说明理由.10109参考数据:Z(玉—丹=600Z(y一yY=768^克=80・/=1/=1
(1)已知观看人次x与销售量y线性相关,且计算得相关系数r=L也,求回归直线方程16y=bx+d;
(2)规定:观看人次大于等于80(万次)为金牌主播,在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀,小于90(百件)为不优秀,对优秀赋分2对不优秀赋分
1.从金牌主搐中随机抽取3名,若用X表示这3名主播赋分的和,求随机变量X的分布列和数学期望.£(匕-可(%-刃£a-可(%-歹)(附:b=上,4二5一B亍相关系数:-1汩)二(七-才也行建”才1=1V/=1/=11-
4.(南京市2023届高三年级学情调研)某高校男、女学生人数基本相当,为了解该校英语四级考试情况,随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩,情况如下表
(1)是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关?
(2)从这50名男生中任意选2人,求这2人中合格人数J的概率分布及数学期望;
(3)将抽取的这100名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率.若学生首次考试不合格,则经过一段时间的努力,第二次参加考试合格的概率会增加0・
1.现从该校学生中任意抽取2名学生,求至多两次英语四级考试后,这两人全部合格的概率.Q+Zc+da+cZ+d附表:1-
5、(湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷)(本小题满分12分)某工厂为了提高生产效率,对生产设备进行了技术改造,为了对比技术改造后的效果,采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位天)数据,整理如下改造前1931222634152225403518162823341526202421;改造后
3229411826334234373933224235432741373836.
(1)完成下面的列联表,并依据小概率值a=
0.010的独立性检验分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异?⑵工厂的生产设备的运行需要进行维护,工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种,对生产设备设定维护周期为了天(即从开工运行到第k7天,进行维护,生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期,每个维护周期相互独立,在一个维护周期内,若生产设备能连续运行,则只产生一次正常维护费,而不会产生保障维护费;若生产设备不能连续运行,则除产生一次正常维护费外,还产生保障维护费.经测算,正常维护费为
0.5万元/次,保障维护费第一次为
0.2万元/周期,此后每增加一次则保障维护费增加
0.2万元.现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案7=302=1234以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率,求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.n{ad-bea+bc+da+cb+d题组
二、离散型随机变量分布列、期望
2.
1、(湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考)(本题满分12分)在一次数学随堂小测验中,有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题,每道题四个选项中仅有一个正确,选择正确得5分,选择错误得分;多项选择题,每道题四个选项中有两个或三个选项正确,全部选对得5分,部分选对得2分,有选择错误的得0分.
(1)小明同学在这次测验中,如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.己知小明知道单1项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是不.问小明在做某道单项选择题时,在该道题做对的条件下,求他知道这道单项选择题正确答案的概率.22
(2)小明同学在做多选题时,选择一个选项的概率为不,选择两个选项的概率为不,选择1三个选项的概率为1・己知某个多项选择题有三个选项是正确的,小明在完全不知道四个选项正误的情况下,只好根据自己的经验随机选择,记小明做这道多项选择题所得的分数为X求X的分布列及数学期望.
2.
1、(湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考)(12分)2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(也称〃强基计划〃),《意见》宣布2020年起不再组织开展高校自主招生工作,改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拨尖的学生据悉强基计划的校考由试点高校自主命题,校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学,每门科目通过的概率匀为该考生报考乙大学,每门科目通过的概率依次工,232—m其中0<根<
1.3
(1)若机=工,求该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率;2
(2)〃强基计划〃规定每名考生只能报考一所试点高校,若以笔试过程中通过科目数的数学期望为决策依据,则当该考生更希望通过乙大学的笔试时,求m的取值范围.2-
2、(湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考)2022年9月28日晚,中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中,又一次以30的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排,冲上了热搜榜第八位令国人振奋!同学们,你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是每场比赛采用〃5局3胜制〃(即有一支球队先胜3局即获胜,比赛结束).比赛排名采用积分制,积分规则如下比赛中,以3°或31取胜的球队积3分,负队积分;以3:2取胜的2球队积2分,负队积1分.已知甲、乙两队比赛,甲队每局获胜的概率为§.
(1)如果甲、乙两队比赛1场,求甲队的积分X的概率分布列和数学期望;
(2)如果甲、乙两队约定比赛2场,求两队积分相等的概率.2-
3、(南京六校联合体2023届高三8月联合调研)(本小题满分12分)甲、乙两名运动员进行21羽毛球单打比赛,根据以往比赛的胜负情况知道,每一局甲胜的概率为之乙胜的概率为L比赛采用“三局两胜”制,先胜二局者获胜.商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分,败者得1分;决胜局胜者得2分,败者得0分.已知各局比赛相互独立.
(1)求比赛结束,甲得6分的概率;
(2)设比赛结束,乙得X分,求随机变量X的概率分布列与数学期望.题型
三、概率等综合3-
1.(山东省〃学情空间〃区域教研共同体2023届高三入学检测)《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批,由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件,是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体,是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先,坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果,发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(〃,并把质量差在(〃-0〃+)内的产品为优等品,质量差在(〃+5〃+2)内的产品为一等品,其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品.现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件,测得产品质量差的样本数据统计如下
0.
0450.
0200.
0100.005465666768696质量差(单位mg)
(1)根据频率分布直方图,求样本平均数M
(2)根据大量的产品检测数据,检查样本数据的方差的近似值为100用样本平均数万作为〃的近似值,用样本标准差5作为的估计值,求该厂生产的产品为正品的概率.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)[参考数据若随机变量f服从正态分布N(〃,a2)则P(〃--
0.6827P(〃一2〈笈〃+2)之
0.9545P(〃-3+3)之
0.
9973.
(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中,质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验,记摸出三件产品中优等品球的件数为X求X的分布列以及期望值.3-
2.(重庆市第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考)(10分)2021年6月,沙坪坝区磁器口古镇提档升级完工,进一步展现了“古镇会客厅.巴渝新风情”的面貌.为更好的提升旅游品质,随机选择若干名游客对景区进行满意度评分(满分100分),得到如图所示的样本频率分布直方图.
(1)用每组的中点值代表该组数据,求样本平均值无;
(2)若游客的评分X近似服从于正态分布N(〃100),其中〃p无,求P(54XV64).参考数据若X〜则P(〃—bX〃+b)^
0.6827P-X〃+2o■卜
0.9545P^/j-3aX〃+3o■卜
0.
9973.3-
3.(2022〜2023学年常州市八校第一学期10月阶段考试高三数学)汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展,加大在新能源项目的支持力度,积极推动新能源汽车产业发展,某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查,得到7下面的统计表:
(1)统计表明销量v与年份代码工有较强的线性相关关系,求y关于%的线性回归方程并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆;
(2)为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况,该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有卬名,购置新能源汽车的有45名,女性车主中有20名购置传统燃油汽车.
①若卬=95将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率,以样本估计总体,试用
(1)中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位车主只购买一辆汽车,结果精确到千人);
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为P老吉将样本中的频率视为概率,从被调查的所有男性车主中随机抽取5人,记恰有3人购置新能源汽车的概率为了(〃),求当⑷为何值时,/(p)最大.〃八Z七y附y=bx+a为回归方程,5=号,d=y-bx.WX;一[抚2/=13-
4、(2022-2023学年山东潍坊第一学期期中调研考试)(12分为了解新研制的抗病毒药物的疗效,某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药,然后对每只白鼠的血液进行抽样化验,若检测样本结果呈阳性,则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性,则白鼠末感染病毒.现随机抽取〃(eN*〃・.2)只白鼠的血液样本进行检验,有如下两种方案方案一:逐只检验,需要检验〃次;方案二:混合检验,将几只白鼠的血液样本混合在一起检验,若检验结果为阴性,则〃只白默末感染病毒;若检验结果为阳性,则对这〃只白鼠的血液样本逐个检验,此时共需要检验〃+1次.⑴若〃二10且只有两只白鼠感染病毒,采用方案一,求恰好检验3次就能确定两只咸染病聿白业的概率;
(2)已知每只白鼠咸染病罪的概率为〃(0p1).
①采用方案二,记检验次数为X,求检验次数X的数学期望;
②若几=20每次检验的费用相同,判断哪种方案检验的费用更少并说明理由.3-
5、(江苏省高邮市
2022.2023学年高三上学期期初学情调研)(12分)今年5月以来,世界多个国家报告了猴痘病例,非洲地区猴痘地方性流行国家较多.我国目前为止尚无猴痘病例报告.我国作为为人民健康负责任的国家,对可能出现的猴痘病毒防控提前做出部署.同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南(2022年版)》.此《指南》中指出
①猴痘病人潜伏期5-21天;
②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力.据此,援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天.在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大.对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后,统计了感染病毒情况,得到下面的列联表
(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关;
(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率
(3)该国现有一个中风险村庄,当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间,发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触,这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测.每名成员进行检测后即告知结果,若检测结果呈阳性,则该家庭被确定为“感染高危家庭”假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为P(OP1)且相互独立.记:该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为/(P).求当P为何值时/(P)最大?n^ad-bc^〃+bj+d/〃+c4+d3-
6、(江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测)某药厂研制了治疗一种疾病的新药,该药的治愈率为85%.现用此药给1位病人治疗,记被治愈的人数为X.未感冒感冒使用血清13070未使用血清11090p[k2A:
0.
100.
0100.001k
2.
7066.
63510.828第n次12345环境平均温度力C1819202122种子发芽率y62%69%71%72%76%观看人次X(万次)76827287937889668176销售量),(百件)808775861007993688577合格不合格男生3515女生455尸(即刈
0.
0500.
0100.001k
3.
8416.
63510.828技术改造设备连续正常运行天数合计超过30不超过30改造前改造后合计a
0.
150.
100.
050.
0250.
0100.
0050.001年份120172018201920202021年份代码X(X=,-2016)12345销量”万辆1012172026接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种天花疫苗3060接种天花疫苗2090尸(*次)
0.
10.
050.
010402.
7063.
8416.635。