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文本内容:
必修第四册
10.
1.1复数的概念
一、选择题共12小题
1./n=F+i-nnGN*的值域中元素有A.2个B.3个C.4个D.n个
2.已知复数z=%2-2%-3+%-3ixGRi为虚数单位为纯虚数,则x的值为A.-1或3B.0C.3D.-
1.复数Zi,Z2满足Zi=m+4-Tn1,Z2=2cos0+A+3sin0imA0eR并且Zi=Z2,则A的取值范围是QQA.[—11]B.1C.7LJ16i16J.方程2x2—5%+2+%2—%—2i=0中,实数%的值为A.2或1B.2或一1C.
22.复数2-当i是虚数单位的实部为A.2B.--C.2--22ERD.
06.复数cos20+isin30•cos0+isin0的模1其中i为虚数单位,0E[02k]则这样的0一共个.A.9B.10C.11D.无数个
7.复数1+遍i的三角形式是a
711.・TlA.cos-+isin-IT]••豆C.cos-+isin-66B.2fcos-+isin-k33D.2fcos-+isin-\
668.若复数z=rcose+isin0r0evR则把这种形式叫做复数z的三角形式,其中丁为复数z的模,6为复数z的辐角,若一个复数z的模为2辐角为手,则三S1A.1+V3iB.1-V3iC.V3-iD.V3+i
9.下列表示复数1+i的三角形式中
①V2cos^+isin;
②[cos-9+isin*
10.已知6为实数若复数z=sin20-1+iV2cos0-1是纯虚数,则z的虚部为A.2B.0C.-2D.-2iIL复数z=a+1+M-3i若z0则实数a的值是A.V3B.1C.-1D.-V
312.已知、b€R且2+ai、b+3i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2+px+q=O的两个根,那么p、q的值分别是()A.p=-4q=13B・p=-4q=3C・p=4q=—13D・p=4q=3
二、填空题(共6小题).计算l+2i+3i2+4i3+・・・+10i9=..欧拉公式eix=cosx+isinx(其中i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的.当%=口时,屋》+1=0这是数学里最令人着迷的一个公式,数学家们评价它是“上帝创造的公式根据欧H.拉公式,若将el1所表示的复数记为z那么|z|=..用集合的关系符号表示复数集C实数集R有理数集Q整数集Z自然数集N的关系..复数i+i3+i5+…+i2019=..若z=cosO+isin0(i为虚数单位),则6=巳+2/ctt(/ceZ)z2=-1的条件.
2.已知复数Zi=(十一2)+(a-4)iz2=a-(a2-2)i(aER)且-z2为纯虚数,则a=.
三、解答题(共8小题).求下列各数的值i5i11i26i
400..请回答下列问题.
(1)求3i2i3i4i5i6i7i8的值.
(2)由
(1)推测严(几GN*)的值有什么变化规律,并把这个规律用式子表示出来..已知复数z=n-4F(n2+3n-4)i.mz-3m-4(Dm几取什么整数值时,Z是纯虚数;m几取什么整数值时,z是实数..请回答
(1)求证一.=cos0—isin;cos6+isin6
(2)写出下列复数z的倒数工的模与辐角.zz=4(cos—+isin—Yz=cos-—isin-z=—(1—i).\1212/
662.设f(n)=(含)+(宗)(ri€Z)求{%|%=/(n)}的元素个数..实数m为何值时,复数z=27n2+-3+(瓶2-3爪_i8)i是m+3
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数..将下列复数表示为三角形式5;i.
26.实数6为何值时,复数Z=吠-6+m2++6i是1实数;2虚数;3纯虚数.1实数;2虚数;3纯虚数.答案BDC【解析】因为Zi=z2诉「Jm=2cos仇4—m2=A+3sin0所以4=4sin20—3sin0=4sinU-1—总因为sinG[-11]所以2e—2716CA【解析】根据复数的基本概念,可得复数2-的实部为
2.CB【解析】l+V^=2Q+¥iD【解析】由复数z的模为2辐角为可得z=2cos+isin=—1+V3i.=V3+i.B【解析】r—Vl2+I2=V2cos=—sin0=—22・・・辐角主值为%41+i=V2cos;+isin cosy+isin手故
①③的表示是正确的,
②④的表示不正确,故选BCDA【解析】法一由复数根成对出现可知£=]3,.w=z法二由根与系数的关系知2+ai-b+31=q而此方程又是实系数方程,所以p和q是实数,卜/12+ai+b+3i€R以12+ai-b+3ieR解得真5+6i【解析】因为i2=—1i3=—ii4=1•••i9=i所以1+2i+3i2+4i3+…+10i9=1+2i—3—4i+…+lOi=5+6i.1【解析】由题意,es1=cos^+isinj=1+^i.JJ4乙所以Izl=1「+¥=
1.N^Z^Q^R^C0充分不必要-1【解析】Zi-Z2=M-一2+a-4+a_2iaeR为纯虚数所以巴--广la,+a—6H0解得a=—
1.in;5一:;11—;;26-1;400-11y.1—11——b1——191—
1.;1;2:3;4:5;6:7:81\111\
11.1i—1—i1i—1—i12对任意九€N*有i4九+1=ii^+2=一1i47l+3=T[471+4=
1.1若z=7Tl+彦+3--4i是纯虚数milf2n-4=0则m2-3m-4tn2+3rr—400解得九二4thGZ且znW—lthW
4.2若z=-;/1+几2+3n一41是实数mz-3m-4则在2+371-4=0Im2-3m-4H0解得九二-4或n=1znEZ且租H—1m
4._cosO-isinOcos0+isin6cose-isin6cos6-isin6cos20-isin02_cosO-isinOcos20+isin20=cosd—isin
0.=-fcos——isin—=-fcos—+isin—Y4I1212/4k1212所以萍模为%辐角为2加+削kez.si11n..n因为一=n..n=COS-+ism-zcos--isin-6666所以工的模为1辐角为2/m+3kEZz6国平,V
5.、y/2/T;/a/2a/2A77T..7n因为Z=1-1=—•V2---il=cos—+isin—乙乙\乙乙,1*I*117it..7ttn...it-=-Tf;Tff=cosism—=cos-+ism-Zcos—+isin—444444所以工的模为1辐角为2/ctt+kEZ.z42n=4kfn=含+芸=in+-in=j0n=4k+1或兀=4k+3则{x|x=/n]中的元素1-2n=4/c+2有3个.
(1)要使复数z为实数,需使复数的虚部为
0.m2—3m—18=0in+3H0所以当th=6时,z为实数.
(2)要使复数z为虚数,需使复数的虚部不为
0.所以当TH=-|或TH=1时,Z为纯虚数.15=5cos0+isinO.2i=cos-+isin-.26・
(1)由已知得复数z的实部为嚓裂虚部为m2+5m+
6.复数z是实数的充要条件是fm2+5^+6=°,(m+30即[m=_2或爪=_3得巾=_2(mW-3所以当TH=—2时,复数Z是实数.
(2)复数z是虚数的充要条件是°(7H+3W0即m一3且mH—
2.所以当租W—3且6H—2时,复数z是虚数.{m2—m—6=06+3W0m2+5m+6W0m=-2或th=3即{得m=
3.ImH—3且mH—2所以当TH=3时,复数Z是纯虚数.。