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Illllll曲线的切线问题类型一曲线在某点处的切线问题曲IT12022•新高考卷II写出曲线y=ln|%|过坐标原点的切线方程为,・2设曲线y=e在点01处的切线与直线%+2y+l=0垂直,则a=•【解析】1因为y=ln|x|当尢>0时,y=lnx设切点为xoInxo由y=L所以y[x=xo=,所XJCO以切线方程为Inxo=~x—xoxo又切线过坐标原点,所以一Inxo=——xo解得xo=e所以切线方程为y—1=-x—e即y=L;当xVO时,y=ln—x设切点为xiln—xi由yee=一所以yr\x=x\=—所以切线方程为ln—xi=~x-x\JCX\X1又切线过坐标原点,所以一ln—»=:—xi解得xi=-e所以切线方程为一1=±a+e即y=—%.综上,满足条件的切线方程为y=4和y=-
4.ee2令y=/x则曲线y=e6在点01处的切线的斜率为/0又切线与直线x+2y+l=0垂直所以10=2因为r=e奴所以了工=守=守・0¥=Ge所以/0=〃e°=,故a=
2.【答案】iy=§丁=一%22感题技巧求曲线y=/x在点Pxo加o处的切线方程的步骤1求出函数在X=X处的导数/X0;2根据直线方程的点斜式,得切线方程为^-/xo=/xox-xo.类型二曲线经过某点的切线问题由已知函数大幻=2—4/+5%—
4.求经过点A2—2的曲线/U的切线方程.【解】设切点坐标为xo4x8+5xo—
4.因为/xo=3x8—8xo+5所以切线方程为y——2=3看-8xo+5x—
2.又因为切线过点xoxg—4x8+5xo—4所以—4x6+5xo—2=3x8—8xo+5xo—2整理得xo—22xo—1=0解得xo=2或xo=
1.当犹=2时,/xo=l此时所求切线方程为x—y—4=0;当xo=l时,/xo=0此时所求切线方程为y+2=
0.故经过点42—2的曲线共幻的切线方程为x—y—4=0或y+2=
0.图题技巧求曲线,=於过点Pxo州的切线方程的步骤1设切点为点3%求切线的斜率无=/3写出切线方程含参;2把点P,f人£的坐标代入切线方程,建立关于V的方程,解得£的值,进而求出切线方程.类型三两曲线的公切线问题侧13]1已知曲线八]=%3+公+;在X=0处的切线与曲线g%=—In%相切,求的值.2求曲线y=lnx+2和曲线y=lnx+1公切线的方程.【解】⑴由“^尸三+改+:,得了%=3/+.因为了0=4«04所以曲线y=/x在x=0处的切线方程为y—^=ax.设直线y—\=ax与曲线gx=—Inx相切于点xo—Inxogx=——Injro—4=6zxo
①所以《〃=一二,
②4u3将
②代入
①得Inxo=不3所以xo=e””13所以a=——=—e—2函数y=lnx+2的导函数为/=-函数y=lnx+1的导函数为丁=
47.xxI1设曲线y=lnx+2和曲线y=lnx+1公切线上的切点横坐标分别为mn则切线方程可以写成y=x—刈+lnm+2也可以写成九+ln〃+
1.〃1_1mn+r整理后对比得<几Inm+1=ln力+1-—r~TI〃十1r1解得J]、“=一》则公切线方程为y=2x+1—In
2.感题技巧解决两曲线的公切线问题的两种方法1利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切,列出关系式求解.2设公切线/在>=/%上的切点1尤
1.危|在y=虱%上的切点22送X2ifXI1gX2则/⑶=g3=-.41人,<尝试训练.已知曲线九¥=/在X=1处的切线与曲线g©=^■相切,则实数4=A.^/eB且^D.e^/e解析:选B.由危=v得/x=2x则/1=
2.因为火1=1所以曲线«¥=12在x=l处的切线方程为y—l=2x—1即y=2x—
1.设直线y=2x—1与曲线gx=2相切于点xoyod/、exoc1yo=g\Xo9==2xo-I解得xo=.直线2与曲线y=e相切,则切点的横坐标为.解析设切点为xoyo因为y=ev所以k=exo又因为yo=exo泗=左次一2所以exo=exoxo—2解得xo=
3.答案
3.已知函数兀外二^+工一
16.I求曲线y=/%在点2—6处的切线方程;2直线/为曲线y=«r的切线,且经过原点,求直线/的方程及切点坐标.解⑴可判定点2—6在曲线=於上.因为了x=3/+l所以凡x在点2—6处的切线的斜率为k=f2=l3所以切线的方程为y+6=l3x—2即y=l3x—
32.2设切点为xoyo则直线/的斜率%=/xo=3x6+l所以直线I的方程为y=3jt3+lx—x+君+x—
16.又因为直线/过点00所以0=3/+1—xo+x8+xo—16整理得加=一8所以次=一
2.所以刈=-23+—2—16=—26攵=3X-22+1=
13.所以直线/的方程为y=13x切点坐标为一2-
26.。