专项训练五解析几何（考点3解析几何中的定点、定值问题）解析版

专项五解析几何考点3解析几何中的定点、定值问题大题拆解技巧2【母题】2020年全国I卷已知AB分别为椭圆E:7y2=lal的左、右顶点G为E的上顶点，丽.丽=

8.P为直线x=6上的动点PA与E的另一交点为CPB与E的另一交点为D.1求E的方程；2证明:直线CD过定点.2【拆解1】已知AB分别为椭圆E.+y2=lal的左、右顶点G为E的上顶点，前•屈=8P为直线x=6上的动点PA与E的另一交点为CPB与E的另一交点为D.求E的方程.【解析】由题设得A-a0Ba0G0l则而二al而=a-D.由前•前二8得a2-l=8即a=

3.v2-所以E的方程为±+y2=l.9【拆解2】已知条件不变，证明:直线CD过定点.v2【解析】通过已知条件可求得椭圆的方程为;+y2=l.设Cx1yiDX2y2P6t若屏0设直线CD的方程为x=my+n由题意可知-3nv

3.因为直线PA的方程为y=/x+3所以yiJxi+3又直线PB的方程为y=*x.3所以y2=|x2-

3.整理得3ylX2-3=y2xi+

3.由也■於=1得及=且学A整理得27yly2=-xi+3X2+3即27+m2yiy2+mn+3yi+y2+n+32=

0.

①避将x=my+n代入$+y2=l得m2+9y2+2mny+n2-9=0则A=4m2n2-4m2+9n2-9=36m2-n2+902mn_n2-9m2+9^1^2-m24-92由题意知PQ的斜率不为0设PxiyiQX2y2PQ的方程为x=my+1X=my+1联立卜y2化简得3m2+4y2+6my-9=0I—I—=1v43rn.i6m9则y1+y2=-=丫»2=-诉.kAP=xi+2=yiX2-2=/y£./x2-2VkBQ居Y2Xi+2弋通VXi+27人2-乙二庭.口2y]4-x^lxi+2/x「2X2-2x1+2x2+2x1x2-2x1+x2+4x1x24-2x1+x2+4m2yly2-myi+y2+lm2yly2+3myi+y2+9-9m26m23m2+4-3m2+41-113+-93m2+43m2+4-9m218m2故结论得证.代入

①式得27+m2n2-9-2mn+3mn+n+32・m2+9=0解得n=-3舍去或n=-.2故直线CD的方程为x=my+|即直线CD过定点|

0.若t=0则直线CD的方程为y=0过点|

0.综上，直线CD过定点|

0.小做变式训练22已知椭圆C:号+*=lab〉O的左、右焦点分别为F1E点AB分别为C的右顶点和上顶点若的面积是4ABF2的面积的3倍，且9・庭=

3.⑴求C的标准方程；⑵若过点60且斜率不为0的直线与C交于MN两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴平行求证:直线MP恒过定点.22【拆解1】已知椭圆C5+£=lab0的左、右焦点分别为FiR点AB分别为C的右顶点和上顶点，若^ABFi的面积是4ABF2的面积的3倍，且不•阴=3求C的标准方程.【解析】设椭圆C的焦距为2c则B-c0F2c0因为点AB分别为C的右顶点和上顶点所以AaOBOb则臣=a+cO，E苗=cb.又4ABFi的面积是ZkABF2的面积的3倍，且冰福3所以露:言，解得忆::贝I」b=Va2-c2=V

3.22所以C的标准方程为.+号=

1.43【拆解2］已知椭圆C的标准方程为官21若过点右⑼且斜率不为0的直线与C交于MN433两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴平行，求证:直线MP恒过定点.【解析】椭圆C的标准方程为1+言=1设直线MN的方程为x=my+MxiyNX2y2则百+广=1P6y

2.由《43；消去x整理得3m2+4y2+4myW=0x=my+|

332.1-4m-・・w+y2=际，y»2二3m2+4’二・myiy2=fyi+y

2.kJ又直线MP的方程为y-y2二”x-6令y=0得x-6=2®.xi-6yz-yi...2・xi=myi+-./y2my「.my1y2-拶y2lyi+y2-^28同什10・・x-6=-==-二--，贝1Jx=—Y2-Y1Y2-Y1Y2-Y133故直线MP恒过定点谓

0.技巧归纳L圆锥曲线中定点问题的两种解法⑴引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.2特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

2.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法1特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.2两大解法

①从特殊入手，求出定值再证明这个值与变量无关；

②引起变量法:其解题流程为遍-I选择适当的动点坐标或动线中系数为变量函数一把要证明为定值的量表示成上述变量的函数定值1—1把得到的函数化简，消去变量得到定值突破实战训练〈基础过关1已知椭圆E4V=lab0其短轴长为2离心率为”.azbz21求椭圆£的方程；⑵设椭圆E的右焦点为F过点G20作斜率不为0的直线交椭圆E于MN两点设直线FM和FN的斜率分别为kik2试判断ki+k2是否为定值，若是定值求出该定值;若不是定值请说明理由.【解析】1由题意可知2b=2b=l椭圆的离心率e=J1-玛=”，贝a、az22•••椭圆E的标准方程为fy2=l.2设直线MN的方程为y=kx-2kr0fy=kx-2联立x22消去y整理得l+2k2x2-8k2x+8k

2.2=

0.ly+y=1，设MxiyiNx2y2rn18k28k2-2则Xl+X2=N^，X|X2二五市8k2Aki+k2=———]=k[2-8k2手啜二]=k2-*=

0.Xi-lx2-lXi-1x2-lX1X2-X1+X2+1J8k2-28k22k2-1，计2k27+2k2+l・・・ki+k2=0为定值.

2.设动点M在直线y=0和y=-2上的射影分别为点N和R已知所•加二6而2其中为坐标原点.1求动点M的轨迹E的方程；2过直线x-y-2=0上的一点P作轨迹E的两条切线PA和PBAB为切点，求证:直线AB经过定点.【解析】⑴设Mxy则Nx0Rx-2所以GH=xy而=0-y加=0-2-y由条件可得-y-y-2=x2+y2整理可得动点M的轨迹方程为x2=2y.2由⑴知y=x2求导可得y，=x乙设AxyiBx2y222则切线PA的方程为y-$xix-xi即y=xix-

①丫2_同理可得切线PB的方程为y=X2X-

②联立

①②解得点P的坐标为空竽.因为点P在直线x-y-2=0上，所以野-第-2=0即X|X2=X|+X2-4又直线AB的斜率k==把］X2-Xi2所以直线AB的方程为y_d=^x.X19即普+量2

③2又XiX2=Xi+X2-4代入

③可得y=x】+x g+2所以直线AB过定点

12..己知抛物线G:y2=2pxp0的焦点为F斜率为k的直线1过点F且与G交于AB两点，当k=l时|AB|=

16.⑴求p的值；⑵直线h y=k1x-2与G相交于CD两点MN分别为ABCD的中点，若直线MN恒过定点22求k+ki的值.【解析】⑴设AxiyiBX2y2当k=l时，直线1的方程为y=x={_Py—x-力整理得x2_3px+Q=0所以Xi+X2=3p.y2=2px4由|AB|=16可得xi+x2+p=16所以4P=16解得p=

4.2由1知，可得曲线G的方程为y2=8x设直线1的方程为y=kx-2联立方程组［丫2”0，整理得k2x2-4k2+8X+4k2=0则*收2=智，所以Xm=^，所以y=oxkKk即M答3同理可得N甯/，44所以卜乂后西登支最，k；k2所以直线MN的方程为y］二冷x-答.因为直线MN过点22所以2-白拼2-誓，解得k+

32.kk+k］.已知椭圆C:「+£=lab0的长轴长为4离心率e二£azbz2⑴求椭圆C的方程；⑵设AB分别为椭圆C的左、右顶点，已知点P为直线l:x=4上的动点，直线PAPB与椭圆E分别交于MN两点，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标.【解析】⑴由题意可得2a=4所以a=

2.又离心率e=£=g所以c=V5，则b2=a2-c2=la2y2-所以椭圆C的方程为Ay2=i.2当点M是椭圆上顶点时，直线AM的方程为y[x+2可得P43则lpB y=|x-2与+y2=l联立解得N1-|所以直线MN的方程为x+y-l=O.由椭圆的对称性可知，直线MN经过x轴上的定点，所以直线MN经过定点T1O.以下证明一般性设1上任意点P4mMx1yiNx2y2则直线PA的方程为y斗x+

2.fy=+2联立！2消去y^#m2+9x2+4m2x+4m2-36=0匕+y2=i.因为直线PB的方程为y=yx-2fy=-x-2所以联立《22消去y得m2+lx2-4m2x+4m2-4=0b+y2=i由韦达定理得2X2=^，解得N黑，高p证明直线MN经过定点T1O即证MNT三点共线.因为前=需品而二黑高，所以俞〃丽，那么MNT三点共线所以直线MN经过定点Tl

0.v能力拔高〉.在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:\+\=la0b0经过点A-枭

②，且F0-l为其一个焦点.1求椭圆E的方程；⑵设椭圆E与y轴的两个交点为AiA2不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动，直线PAiPA2与椭圆E分别交于点MN证明:直线MN恒过一个定点.C=1【解析】1根据题意可得2a2十b2-与lb2-a2=122•••椭圆E的方程为一+3=

1.432不妨设AiO2A2O-2Pxo4为直线y=4上一点xW0MxiyiNX2y

2.直线PAi的方程为y―~x+2直线PA2的方程为y=-x-

2.XoX仔+亡=1点NX2y2A20-2的坐标满足方程组广解得X2二0=留2直线MN的方程为y-篝|=-普x+黑即尸骂+L6xo故直线MN恒过定点o』.⑴求椭圆Cl的标准方程;⑵设点M是椭圆C1上的任意一点，射线M0与椭圆C2交于点N过点M的直线1与椭圆G有且只有一个公共点，直线1与椭圆C2交于AB两个相异点证明:ZiNAB面积为定值.【解析】⑴因为椭圆CI的离心率为所以鼠卓解得a2=3b1

①故椭圆G的标准方程为x2+V=l32当直线1的斜率不存在时点M的坐标为10或-10由对称性不妨取Ml02_由⑴知椭圆C2的方程为｝+y2=l所以点N的坐标为-80将x=l代入椭圆C2的方程得y=±g所以SANAB4MN|.|AB|$V5+lx*VI+g当直线1的斜率存在时，设其方程为y=kx+m将产kx+m代入椭圆G的方程，得14-3k2x2+6kmx+3m2-1=0由题意得A=6km2-41+3k23m2-l=0整理得3m2=l+3k

2.将y=kx+m代入椭圆C2的方程W1+3k2x2+6kmx+3m3-3=

0.设AxiyiBx2y26km3m2-3则XI+X2=-诉X|X2二矿所以|AB|=，1+k2xi+x22-4x1x2=Vl+k2x2a/3xV3k2+l-m22\^6V14-k23k2+1设MxoyoNX3y3因为ON=iMO所以X3=1xoy3=-Ayo.解得入=8或入=-百舍去所以ON二同记，从而|NM|=遍+1|OM|.又因为点到直线1的距离d=装，所以点N到直线1的距离百+ld=空要Vl+k”所以Sanab=|V3+ld.|AB|=|V3+1・渭，？历而722V14-kz综上ZkNAB的面积为定值，定值为+当V拓展延伸〉

7.已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F过点F且垂直于x轴的直线与C交于AB两点ZkAOB点O为坐标原点的面积为

2.1求抛物线C的方程；⑵设不经过原点0的直线1与抛物线交于PQ两点设直线OPQQ的倾斜角分别为巴仅证明:当a+B三时，直线1恒过定点.【解析】⑴根据题意可得焦点F*0因此可得A*pB尊-p所以S^aobW・2p92解得p=2故可得抛物线C的方程为y=4x.[2:S2=-|BFMQF|sinZBFQ][3:结合sinZAFP=sinZBFQSi=3S2求得|PF|=|QF|则根据椭圆的对称性知，直线1垂直于x轴故直线1的方程为x=l.]2根据题意，设PxiyiQX2y2易知直线1的斜率存在，假设直线1的方程为y=kx+mk0联立方程组皿消去x整理得ky2-4y+4m=

0.由韦达定理可得yi+y2=[yiy2=等，KK则X1+X2=y+Y=4Kyi+y2）2-2yiy2]=爰-等，X1X2二季季=2，所以江江上二竺k°p+k°Q=2a2%mg+xz-X]x2Yiy2mx2X1X2m又因为kOp=tanakoQ=tanp44k所以tana+tanB=—tana-tan0=—rmrm4所以当a+0『寸tana+B=1解得m=4k+441-tanatanpi，_m所以直线1的方程为y=kx+4k+4即y-4=kx+4所以直线1恒过定点G

44.

228.已知椭圆C:+5=l的左、右顶点分别为AB右焦点为F过F的直线1与C交于PQ两点.431设aAPF和4BQF的面积分别为S1S2若S1=3S2求直线1的方程；2当直线1绕点F旋转时，求证:四边形APBQ的对边AP与BQ所在直线的斜率的比值恒为常数.【解析】

（1）由题意知a=2c=1则|AF|=a+c=3|BF|=a-c=1由Si=-|AF|-|PF|sinZAFP2。