6弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性

弹性势能的外势能不具有伽利略变换的不变性摘要分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略不变性，解决了关于这个问题的争论.关键词轻质弹簧；伽利略不变性；力学相对性原理；机械能守恒中图分类号

0313.1文献标识码A参考文献［1〜18］都有这样一个题目一质量为根的小球与一劲度系数为左的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以速度〃相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由.小球与弹簧组成弹簧振子体系，所以小球的机械能就是弹簧振子体系的机械能（因为弹簧质量为0没有质量代表没有能量，与实验中的弹簧不一致.）；在这里的研究对象只有一个质点（不能认为是一个准多体动力模型），在弹簧振子中的势能是一种特殊形式的势能，由于不考虑弹簧的质量，因此可以类比场能（在经典力学里场不考虑质量，可以不用考虑场一一轻质弹簧的能量，例如质点在重力场中运动我们只考虑质点的势能，没有考虑重力场的能量，在弹簧振子问题中是振子的弹性势能，不是弹簧的弹性势能.这和实验中的弹簧不一样，实验中的弹簧都有质量，也具有弹性势能，这是理解这个问题的关键点所在.）.在某种意义上可以和重力场类比，只不过这里可以吸引和排斥，力的强度与位移成正比.我们研究重力场质点的运动时.，我们并没有把地球对于重力场的作用力和重力场对于质点的作用力说成是两个力，类似地在单摆问题中我们并没有把悬挂点对于摆线的作用力和摆线对于摆锤的作用力看成是两个力，在这个问题中约束力和保守力是同一个力，笔者认为单摆的摆线（也认为质量为0）可以认为是劲度系数充分大的弹簧.本题假设地球质量为充分大，忽略地球能量的变化，按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.牛顿力学建立之初，物理学还没有引入场的概念，不过今天来看，近似看做是一种场是最合适的表达，此时不用考虑场的质量.弹簧固定在墙上，墙对弹簧的约束反力是被动力，依赖弹力而存在，不可单独考虑墙壁的作用力，弹力是稳定的周期力，振动的弹簧小球系统是一个稳定态系统，不能误认为是显含时间的力（朗道的书《力学》中说，在惯性参考系中自由运动的质点，由于时间和空间的均匀性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函数不显含时间和广义坐标和速度的方向）.在物理中，稳态和静态还不同，例如重力场是静态场，在本题中的弹力场是稳态场.对于力场不随时间改变的稳定力场来说，等时路径积分与随体积分是相等的，所以势函数的定义就没有积分的等时间性要求，甚至也没有根据质点实际的动力学随体计算的要求，完全可以随轨迹以任何速度计算积分，结果都一样，并且为简单起见，势能的零点位置应该固定不变.我们当初定义弹簧的劲度系数的时候，利用一端受力，另一端虽然受力但是我们当作固定端不予考虑所以在本题中如果再单独计算墙对于弹簧做功就重复了，才出现了机械能不守恒的错误.如果考虑墙对于弹簧所做的功，显然可以测量出小车相对于墙的运动速度，这与力学相对性原理不可能借助在惯性系中所做的力学实验来确定该参考系做匀速直线运动的速度是不符合的.解地球的质量视为充分大，从而稳定地保持为惯性系在水平面上受稳定约束的弹簧振子运动模型，实质上是一个与距离r成正比有心力作用下质点的运动问题.在地面参照系上观察时，小球的平衡位置为坐标原点，以水平向右的直线办为X轴，建立直线坐标系如图1所示.ox光滑水平地面图1弹簧振动振子机械能守恒问题新解当仁时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动，则小球的位移为:x=Acos

①%其中co2=k/mk=mco

2.设小球的速度为小加速度为，受到的力为力动能为反⑺，势能为心⑺，机械能为风.则有:dxdov=—=-coAsincota=——=-co2Acoscotf=ma=-mco2Acoscot=-kx.dtdtEk0=—mv2=—m[-coAsinco]2=—mco2A2sin\cot=—M2sin2co0-2222dEpt=-fdx=kjcdx=d|Ept=kx2+C.将初始条件UO时一，％=AEpO=；乂2代入上式得-M2=EPO=-^A2+CC=0Ep0=-kx^C=-Ax2+0=-M2cos2^/.22r2rEt=Ept+E^t=1M2cos2w/+1-M2sin2ft/=；乂2=常数.3设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度作匀速运动的参考系设为小车，见图1刚开始相对运动时完全重合，开始相对运动后，当仁0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动.从上面的计算可以看出，在弹簧振子中弹性势能本质上是小球的势能，不是弹簧的弹性势能，很多人误认为是弹簧的弹性势能，也是造成这个问题讨论多年出现失误的原因，文献［14］坚持错误认为是弹簧的弹性势能，才设计出所谓的反证法的实例.实验中的弹簧具有势能是因为具有质量，与弹簧振子中的弹簧有着本质的区另U.£p=2=_1加

①2/如果这样表达弹性势能，就可以看出弹性势能属于小球，而不是22属于弹簧.这样可以发现势能与质量成正比，符合质能方程的要求.由于弹簧和小球连接在一起，物理量之间存在着联系，因此可以等效认为属于弹簧因为弹簧忽略质量，经典力学中我们一般认为势能属于质点不属于场.设在小车参照系上观察时，小球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别为汨，01，ai力Ek⑺，岛⑺则有A/、dx.4•/、dp一X\=x-ut=Acosot-utVi=-L=-coAsmcot-u尸——-=-co-Acoscot=a9dtdt力=加0=侬/=-加

①2Acos

①=-丘.说明fy-kxi胡克定律不具有伽利略变换的不变性，胡克定律不是牛顿定律的推论，不代表经典力学不满足力学相对性原理，文献［14］错误地认为胡克定律具有伽利略变换的不变性，从而得出错误地结论..911£ik⑺=—mv=—m［-G/sin

①一〃］2=一m〔口2A2$1口2

①+2

①〃/sin

①+层］=222—kA2sin2cot+mcouAsincot+—mu

2.42根据势能定理可知d£\p⑺=—/ldxi=^xdCx—=Axdx—Z〃AcosGOd/=d—kj3-mcouAsmojtEipZ=—k^-mcouAsincoZ+C.将初始条件U时即=x=AElp0Ep0=-kA2代入上式得—kA2=EipO=—M2-m69^Asinct0+CC=Q=—kx2-mcouAsincot+C1122=—kx2-mcouAsincot-}-Q=—kx2-mcouAsinCDt=—kAcoscot-mcouAsincot.522因此势能是时间t的一元函数.Eit=Eipt^Eikt=—/a2-m^uAsinmtkA2sin\cot-hmcouAsincot+—mu2=—M2cos26t0+—M2sin2cz+—mw2=—M2+—mu2=^.62r2*所以在小车参照系上观察时，弹簧振子体系的机械能仍然守恒，守恒值为L公2+_1m〃

2.22当u=0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合玻尔的对应原理.对应原理表明新理论不是把旧理论根本推翻，而是在旧理论适用的领域中，新理论的结论过渡到旧理论的结论；包含某种特征参量的新理论的数学工具基本方程及其推论，在特征参量具有适当数值的情况下，自动转变为旧理论的数学工具.从上述推导可以看出两点当NO只有时才有稣⑺=41⑺；当u=0时，二者显然相等，这也符合对应原理.在分析这个问题时不能在地面系用外势能机械能守恒定律把地球质量认为充分大，在小车系用内势能机械能守恒定律（把地球质量视为有限值），考虑地球受到的惯性力，前后不自洽.因为力具有伽利略变换的不变性，在两个不同的惯性系中质点受到的合力是不变的，所以如果在一个惯性系中机械能守恒，在另一个惯性系中机械能也一定守恒.因为只有非保守力做功，才使机械能发生变化时经典弹性势能公式的局限性分析EpiQ）=cos2cot-ma）uAsin（cot）=k^-mcouAsin（co^mco2x2-ma）uAsin（cot＞）这样可以发现势能与质量成正比，符合质能方程的要求参考系相对于地面变速运动也可以得出一个势能公式，此时需要计算惯性力的功，没有否定经典的弹性势能公式，原来的公式只是一个特例一一观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为0（相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上匀速运动），不能认为弹性势能对于所有的观察者都相同，需要根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”重新计算（重力势能和万有引力引力势能也存在类似问题，不必记忆公式），当观察者在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性，这是经典力学在公理化的过程中向前迈进的一小步.文献［14］错误地认为经典的弹性势能公式适用于所有的情况，忘记了它是根据势能定理得出一一舍弃了本源，设计了所谓的多种证法.周衍柏《理论力学教程》（1979年第一版，人民教育出版社）第47页”由于物体间相对位置发生变化所具有的能量，通常叫做势能这里势能应该是指内势能，具有伽利略变换的不变性，在外势能中如果二者质量差别极大，例如本题中的地球和弹簧振子，此时可以把质量较大的物体的质量视为充分大，可以认为是质量较小物体的外势能（此时的系统误差远远小于由于地球质量测量误差造成的误差小得多，由于证明比较简单，本文从略），外势能不具有伽利略变换的不变性，但是机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性.对于势能属于系统应该全面理解，特殊情况下认为外势能存在（这是一种数学处理方法），量变引起了质变.110稣=上入2=_1〃心2/是根据“势能定理——物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”推导出22来的，如果后者错误，前者显然错误，当二者发生矛盾的，只能考虑前者有错误（在数学中当“定理”与公理矛盾时我们只能放弃“定理”）.经典的弹簧弹性势能公式£p=质2=_1加

①2/不是定义式，也是在特定条件下推导出来（观察者在弹力方向上的分速度为0）并非对于所有的观察者都成立，长期以来人们一直把二者当成充要条件，也就是说关于弹性势能的外势能差不具有伽利略变换的不变性，人们由于没有认识到这一点才提出了各种各样的解释，这是机械能守恒定律与力学相对性原理关系争论的根源所在不完全归纳法得出的结论不一定是普遍的真理.如果我们这样认识经典力学，去除了一些错误的认识，经典力学便显得更加和谐.如果考虑到这一点原来各家杂志上对于这个问题的争议便全部迎刃而解，请读者自行分析，本文从略.如果坚持稣适用于所有情况，由于弹簧的形变是伽利略变换不变量，因此参考文献中的部分文章坚持认为弹性势能差对于不同的观察者不变，才出现了机械能不守恒的错误结论，为了解释这个问题人们提出了机械能守恒定律可以不满足力学相对性原理或者满足力学相对性原理，但不具有单独协变性的错误的理论.也有人在功能原理中直接去掉外势能的概念，认为引入外势能们没有必要.胡克定律F=kx在这里是实数与矢量（向量）的积，x是弹簧的形变，是一维矢量，弹性势能应该是在这里是数量积（标量积），当观察者在弹力方向上的分速度为0时，x=XI便得出了Ep=*2；当观察者在弹力方向上的分速度不为为0时不是始终相等的，胡克定律不具有伽利略变换的不变性，但由于胡克定律不是牛顿定律的推论，不影响牛顿力学体系的基础，如果此时利用dEpk丘/公/计算弹性势能就错了，这样计算力就不是伽利略变换的不变量了.正如爱因斯坦所讲的“从原始的文献中追踪理论的形成过程，往往会对于事物的本质产生更加深刻的认识.如果认为弹性势能对于所有的匀速运动的观察者都不变，那么得出的机械能显然是速度v的函数，与伽利略当年的大船实验显然是不相符的.理解这个问题必须深刻理解力学相对性原理的本质，不能不自觉地把运动系中的观察者又转移到地面系，不突破这个问题很难理解机械能守恒定律与力学相对性原理的关系，得出机械能守恒定律不满足力学相对性原理的或者机械能守恒定律在伽利略变换中不具有单独协变性的错误悭叫.文献［8］和［16〜18］的解答与本文相同.在弹簧振子问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点约束力不改变质点的机械能；考虑弹簧质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能.主要结论一一通过本文得出了关于弹性势能的机械能守恒定律不但满足力学相对性原理，而且具有单独的协变性，对于内势能势能差是伽利略变换的不变量，对于外势能势能差不是伽利略变换不变量，经典力学没有明确指明，才导致了这场争论，使人们发生了误解，这不是经典力学的错误.经典的外势能的弹性势能公式仅适用于观察者在弹力所在直线上的分速度为0时的情形，弹性势能不仅与弹簧的形变有关，也与观察者有关（能量是做功的能力，不同的观察者测量者可以不同），这是一个观察效应，类似于狭义相对论效应.几点说明

1、有人认为一一“墙壁（含地球）的质量视为充分大”，所以这个外界它是一个大能库！它的速度发生无限小变化，就能提供或者吸收有限的能量.笔者认为一一在地面系看来，机械守恒定律成立，说明此时是把地球当做严格的惯性系，不考虑地球的加速度，地球的质量为充分大，在小车系看来也应当没有外力使其发生的位移，只有小车相对于地球运动产生的位移，因此不考虑地球与该系统的能量交换，在这个问题中把地球当做能量库是错误的.如果承认在小车系机械能不守恒，必然存在半个周期系统的能量减少，可是地球质量视为充分大，外力不可能对其做功.在这个问题中既然没有耗散力，能量消失的途径为何？

2、有人认为由于墙壁和地球对弹簧振子系统而言是外界，弹簧振子系统的机械能增加来源于墙壁对它做功；弹簧振子系统的机械能减少，是通过弹簧对墙壁做功转给了墙壁和地球系统.能量守恒定律对封闭系统成立，弹簧振子系统不是封闭系统，存在与其相互作用的外界（墙壁和地球），所以一般说来谈不上能量守恒.只在地球上看，墙壁虽然对弹簧有作用力，但是不做功，根据机械能守恒定律，弹簧振子系统才机械能守恒.诺特定律说，时间平移对称性保证封闭系统能量守恒，但是弹簧振子系统并不是封闭系（有墙壁的作用），所以不适用.在地球上看，弹簧振子系统虽然不封闭，不能直接应用诺特定理，但是墙壁不做功，所以根据机械能守恒定律，弹簧振子系统机械能守恒.而在小车上看，不仅不封闭，而且墙壁还做（正负）功，所以诺特定律和机械能守恒定律都不适用.解答如果把地球、弹簧、小球看做一个系统得出的结论也一样，此时必须以系统的质心为参照系地球不再是严格的惯性系.因为本题把地球的质量视为充分大（因为以地球为参照系时也是把地球的质量视为充分大得出的结论，否则机械能守恒定律也不成立，这也是有人按照两体问题解决的原因，地球质量近似看做充分大，可以不用考虑惯性力的问题.），只有外势能，没有内势能，只需考虑弹簧振子的能量即可，弹簧振子的能量经过计算也是守恒的.如果弹簧连接两个质量相当的物体，此时必须按照内势能计算此时势能具有伽利略变换的不变性，也满足力学相对性原理⑹.质点的势能无法对外界直接做功，只有将质点的势能转化为动能，才能对外界直接做功.对具有质量且满足胡克定律的理想弹簧而言，在弹性限度内氏丘2是弹簧的机械能，而非仅仅是势能.不存在只具2有势能而不具有动能的弹簧，例如在地面系把一个弹簧压缩后放入真空中，它的势能不断变化，如果不考虑弹簧的动能，显然不满足能量守恒定律.著名物理学家费曼曾指出“干物理得有鉴赏力”.他所谓的鉴赏力，就是那种善于从对称、和谐、简洁和统一的结合上敏锐地抓住问题的本质去创立理论的能力.这是一种高超的审美能力.狄拉克认为“让方程式优美比让方程式符合事实更重要”.虽然这对一个物理学家来说算不得一个好建议，不过寻找物理学的美却始终贯穿着狄拉克的工作，而且也贯穿着整个物理学的历史.费曼也正是凭着这种审美鉴赏力去审视和欣赏牛顿的万有引力定律、麦克斯韦方程和爱因斯坦的相对论所体现的那种完美的结构，感受对称件一守恒定律，最小作用量原理的普遍性；又通过自身的审美直觉夫洞察自然界内在的美，创造出了体现过去与未来之间对称性的费曼图，并进而提出了一种新的重整化理论，巧妙地避开了困扰量子场论计算中的发散困难，为量子场论确立了一种标准的出力程序.在现代科学中，牛顿的经典力学成了相对论的低速现象的特例，成为非线性科学中交互作用近似为零的情况，在量子力学中是测不准关系可以忽略时的理论表述•复杂性的提出并不是要消灭简单性，而是为了打破简单性独占的一统地位复杂性是把简单性作为一个特例包含其中，正如莫兰所说的，复杂性是简单性和复杂性的统一.复杂性比简单性更基本，可能性比现实性更基本，演化比存在更基本对物理理论评价，爱因斯坦强调指出第一个观点是很明显的，就是“不应当同经验事实相矛盾”，它“所涉及的是用现成的经验事实来证实的理论基础”.“第二个观点涉及的……是关于理论本身的前提，关于人们可以简单地，但比较含糊地称之为前提基本概念以及这些概念之间作为基础的关系的‘自然性或者逻辑的简单性”.爱因斯坦分别称这两个标准为“外部的确认”和“内部的完美爱因斯坦在谈到后一个问题时说“虽然概念体系本身在逻辑上完全是任意的，可是它们受到这样一个目标的限制，就是要尽可能做到同感觉经验的总和有可靠的直觉的和完备的对应关系；其次，它们应当使逻辑上独立的元素基本概念和公理，即不下定义的概念和推导不出的命题，要尽可能地少爱因斯坦也同样十分重视对理论的“外部的确认”.他认为，即使观念世界是不能用逻辑的工具从经验推导出来的，但这个观念世界还是一点也离不开我们的经验本性而独立.他强烈反对把基本概念从经验领域里排除出去，而放到虚无缥缈的先验的顶峰上去.他并不认为思辨比经验高超，并明确指出“一个希望受到应有的信任的理论，必须建立在有普遍意义的事实之上.”在一个最基础的层次上追寻某个理论或思想的发展，具有一种独特的魅力，即一种直接性，而如果原始材料被许多当代人的工作系统化地整理之后，这种直接性就会不复存在.我们面对的重大问题无法在我们制造出这些问题的思维层面上加以解决.参考文献]]高炳坤.力学中一个令人费解的问题[J].大学物理.1995520~

24.

[2]李光惠高炳坤.对“力学中一个令人费解的问题”的补充.19961044—

45.

[3]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学[M].北京高等教育出版社，

2000124.

[4]高炳坤.能量追踪[J].大学物理，2001315~

16.

[5]高炳坤.一个保守力做的功等于势能的减少吗[J].大学物理，2001519~

20.

[6]刘明成，刘文芳，赵文桐.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J].物理通报201512109—

111.

[7]蔡伯源.关于讲授功和能的几个问题，工科物理教学，198117—

13.

[8]王立、张成华.机械能守恒定律具有伽利略变换不变性.吉林师范大学学报自然科学版

2004.

3.

[9]郑金.对一道物理竞赛题的两种互异解答的探讨[J].物理通报20157109—

112.

[10]裴永伟，籍延坤，吴振声.物理规律的协变性与可变性.沈阳大学学报，2005174100—

104.

[11]李兴毅，陈建，赵佩章，赵文桐.伽利略变换的物理意义.河南师范大学学报自然科学版，20022:39—

42.]2]郑永令力学2004年1月第2次印刷194页.

[13]冯伟机械能守恒定律与参照系——对力学中一个问题的讨论.承德民族师专学报，

19864.

[14]朱如曾.弹簧振子相对于运动惯性系的机械能不守恒——关于对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷的商榷.物理通报20154100—

103.

[15]]孟昭辉运用机械能守恒定律解题的参照系问题——对“一道中学生物理竞赛试题答案的商榷”一文的不同意见.物理教师，20152:

94.

[16]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷.物理通报，20149:119—

120.

[17]刘一贯.关于机械能守恒定律的协变性.华南师范大学学报自然科学版，19851:155—

157.]8]刘敏孙皆宜.再论机械能守恒.牡丹江教育学院学报，

200552634.

[19]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程.力学包景东修订.2014年第三版

139.

[20]朱如曾.相对性原理及其对自然界定律的协变性要求.大学物理，2000年，192:15—

19.

[21]朱如曾.相对性原理对普遍定律和非普遍定律参考系变换性质的不同要求关于协变性疑难的进一步讨论.大学物理.2002年，21319~

23.ExternaIpotentiaIofelasticpotentiaIdoesnotsatisfyinvariabiIityofGalileotransformationAbstract:Thearticleanalyzedmechanicalenergyconservationofelasticpotentialofexternalpotentialsatisfyingmechanicalrelativityfundamentalandpossessingindependentcovariantidiosyncracyaswell.ElasticpotentialdoesnotsatisfyGalileoinvariabilitywhichclarifiedargumentabouttheissue.Keywords:lightspring；Galileoinvariability;mechanicalrelativityfundamental；mechanicalenergyconservation.。