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第七章复数
7.1复数的概念
7.
1.1数系的扩充和复数的概念课前篇咱主梳理稳固根底[笔记教材]学问点复数的有关概念.复数的概念把形如“+〃〃,Z£R的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a-\-bi\aZ£R}叫做复数集.复数通常用字母z表示,即2=十方〃,b£R其中〃叫做复数z的实部,Z叫做复数z的虚部..复数相等在复数集C={a+〃i|aZ£R}中任取两个数a+Zic-\~diabcd£R我们规定a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d..复数的分类1分类对于复数”+bia〃£R当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当〃=匕=0时它是实数0;当8W0EI寸,它叫做虚数;当=0且匕W0时,它叫做纯虚数.明显实数集R是复数集C的真子集,即RC.‘实数屹=0z=〃+历ab£R[非纯虚数WO虚数[纯虚数a=O2Venn图表示.数系扩充的脉络自然数集一整数集一有理数集一实数集一复数集..复数概念的三点说明1复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成〃+步,beR的形式,其中0=0+0i.⑵复数的虚部是实数〃而非力i.3复数z=〃+8i只有在a匕£R时才是复数的代数形式,否那么不是..两个复数相等的条件1在两个复数相等的条件中,留意前提条件是,bcd《R即当abcd£R时,a+Zi=c+diOa=c且Z=d.假设忽视前提条件,那么结论不能成立.2利用该条件把复数的实部和虚局部离出来,到达“化虚为实〃的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求解./VWW[自我排查]
2.在2+巾声8+5i
0.618这几个数中纯虚数的个数为A.0B.1C.2D.3答案c2解析干1一5i是纯虚数,2+市,
00.618是实数,8+5i是虚数..假设/—l+/+3x+2i是纯虚数,那么实数x的值是A.-1B.1C.±1D.-1或—2答案B解析•「x2—l+x2+3x+2i是纯虚数%2—1=0/+3%+2W
0.复数4—3〃一屋i与复数〃+4出相等,那么实数a的值为A.1B.1或—4C.-4D.0或—4宏靠■C[4-3〃=〃2解析由复数相等的条件,知9一Z=4〃,所以〃=-
4.应选C..假设复数z=冽+加一li/n£R满意z0那么m=答案一1fm0解析即l1八解得加=-I.m2—1=0课堂篇•重点难点研习突破研习1复数的概念和分类[典例1]以下命题中,正确命题的个数是
①假设x,y£C那么x+yi=l+i的充要条件是x=y=l;
②假设,b£R且b那么a+iZ+i;
③假设炉+产;,那么尸产0;
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;
⑤一1没有平方根;
⑥假设那么(〃+l)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3[答案]A[解析]
①由于xy£C所以x+yi不肯定是复数的代数形式不符合复数相等的充要条件,
①是假命题.
②由于两个虚数不能比拟大小,所以
②是假命题.
③当%=1产i时,X2+y2=成立,所以
③是假命题.
④由于复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故
④错.
⑤由于一1的平方根为土i故
⑤错.
⑥当〃=—1时,(a+l)i是实数0故
⑥错.[巧归纳]利用复数的分类求参数时,要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值范围求解.要特殊留意复数z=a+bi(ab$R)为纯虚数的充要条件是a=0且人W
0.[练习1]复数z=+(小2+2m—3)i当相为何值时,(l)z为实数?
(2)z为虚数?
(3)z为纯虚数?解
(1)要使z为实数,相需满意切2+2加一3=0且皿早有意义,即加一1N0解得加=-
3.
(2)要使z为虚数,相需满意加+2加一3W0且也有意义即加一1W0解得根N1且根W—
3.
(3)要使z为纯虚数,机需满意见”臂=0且“2+2加一3W0解得m=0或一
2.研习2复数相等的充要条件[典例2](202河北衡水高二检测)在复数集C={q+与|qbeR}中的两个数2+历与〃一3i相等,那么实数ab的值分别为()A.23B.2-3C.-23D.~2~3[答案]B[q=2[解析].「2+历=4—3i°应选B.仍=-3[巧归纳]应用复数相等的充要条件时,要留意1必需是复数的代数形式才可以依据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组.2利用这一结论,可以把“复数相等〃这一条件转化为两个实数等式,为应用方程思想供应了条件,同时这也是复数问题实数化思想的表达,这一思想在解决复数问题中特别重要.[练习2]假设关于x的方程康一枭一1=10—%—2育有实根求实数〃的值.解设方程的实根为%=根,那么原方程可变为3m2-fm-l=10—2m2i3mz—77m—1=0所以j2JO—m—2加2=
0、71解得a=\\或一彳.课后篇•根底达标延长阅读
1.多项选择以下命题中,是真命题的为A.自然数集是非负整数集B.实数集与虚数集的交集为{0}C.实数集与复数集的交集为实数集D.纯虚数集与实数集的交集为空集答案ACD解析由复数的分类知选ACD.
2.复数Qf+Sx+Z+az+x—Z为虚数,那么实数x满意B.x=-2或户-;D.xWl且xW—2解析*.*(2^+5x+2)+(%2+%—2)i为虚数,.*.x2+x—2W
0..xWl且xW—2应选D..以下命题中
①假设xyec那么x+yi=2+i的充要条件是x=2y=l;
②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集;
③假设⑵一Z2)+(Z2—Z3)2=0那么2i=22=Z
3.真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析
①xy£Cx+yi不肯定是代数形式,故
①错.
②③错.应选A..假设log2(x2—2x—2)+ilog2(x2+2x+l)>0那么实数x的值为答案一2log2^2+2x+l=0log2x2-2x_20%2+2%+1=1以=0或x=—2即TC即A[x2—2%—21—1或x
3.假设根为实数,zi=m2+H-m3+3m2+2miZ2=4m+2+m3—5m2+4mi那么使ziz2的m值的集合是什么?使ziz2的m值的集合又是什么?解当zi$R时,m3+3m2+2m—0m=0—1—2zi=l或2或
5.当z£R时,m3—5m2+4/72=0根=014Z2=2或6或
18.上面m的公共值为m=0此时Z1与Z2同时为实数,Zi=1Z2=2・所以Z]>Z2时加值的集合为空集Z]<Z2时相值的集合为{0}.课后自读方案[误区警示]无视判别式的使用条件而出错[例如]求实数人为何值时,使方程/+4+公%+2+内=0至少有一个实根.[错解]判别式/=攵+2i2—42+6=F—12由右一12三0解得左三25或ZW—2小,故当上22小或左W—2小时,方程至少有一个实根.[易错分析]实系数一元二次方程根的状况,可以用判别式来推断,但此题是复系数一元二次方程,判别式就不起作用了,必需遵循复数的运算法那么及规律来处理.[正解]设方程的一个实根为a那么有“2+%+2ia+2+衍=0解得k=±2也因此当人=±
2、「时,原方程至少有一个实根.[防范措施]对于复系数的一元二次方程,方程有实根,不能使用/三0而应设出实根代入,然后利用复数相等的条件解出,这与实系数一元二次方程的解法是有区分的.[类题试解]abcd£R方程/+a+hix+c+di=0当abcd满意什么条件时,该方程有实数根?解原方程可整理为f+ox+O+Sx+eiuO.1当Z=d=O时,方程变为/+〃x+c=0当/=2-4cNo时,方程有实数根.
(2)当bd不全为时,设劭是方程的实数根,那么(焉+qxo+c)+3xo+
①i=°,Jx3+axo+c=O[Zxo+d=O.当ZWO时,沏=一存在,那么次切=法+匕2c.综上可知,当b=d=O且/=2-4cN0或且abd=%+/c时,方程%2+(+匕i)x+c+di=O(,bcd£R)有实数根.新课程标准新学法解读炉+1=0的解,熟悉复数.
2.理解复数的代数表示,理解两个复数相等的含义..了解数系扩充的过程,明确引入复数的必要性..本节新概念较多,理解相关概念是学好复数的关键.。