11.4-11.5解一元一次不等式用一元一次不等式解决问题

11.4-

11.5解一元一次不等式用一元一次不等式解决问题一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是L像这样的不等式叫一元一次不等式一元一次不等式的一般形式为胡+Z〈或+WOO4-V2例如，x+l3—是一元一次不等式，而X—y〉0—+523x不是一元一次不等式2x解一元一次不等式的一般步骤

①去分母；

②去括号；

③移项；

④合并同类项；

⑤未知数的系数化为1【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘【题型一】解一元一次不等式丫q7y_5【典题】2022秋・江苏苏州七年级统考期末解下列不等式*三君-L【答案】x7【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可.【详解】解3x+352x-5-153x+910x-25-153x—1Oxv—25—15—9-7x-49解得x

7.【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能正确根据不等式的性质进行变形是解题的关键.巩固练习

1.★2022春•江苏连云港•七年级统考期末解不等式l2x+57；22-4yl.【答案】1%1⑵号4【分析】1根据解一元一次不等式基本步骤:、移项、合并同类项、系数化为1即可.2根据解一元一次不等式基本步骤:、移项、合并同类项、系数化为1即可.1解2x+57移项，得2x7-5合并同类项，得2x2系数化为1得・••原不等式2解•・•每块A型钢板的面积为x每块3型钢板的面积为必•••方案1用料5x+9y方案2用料:4x+10y5x+9y・4x+10y=5x+9y・4x-10卢当xy时，则5x+9y4x+10y・•・从省料的角度考虑，应选方案2；当my时，则5x+9y=4x+10y・•・从省料的角度考虑，两种方案一样；当xvy时，则5x+9y4x+10y・••从省料的角度考虑，应选方案L【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式以及比较两个代数式的大小，解答1的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答；解答2的关键是理解并运用〃求差法〃比较两个代数式的大小..★2022春・江苏泰州•七年级统考期末某房地产开发商用2000万元购买了一块地用于建造居民住宅楼.如果住宅楼每平方米的造价约为1200元，那么建筑面积必须不低于多少平方米，才能将建楼成本控制在每平方米不超过3200元？【答案】10000平方米【分析】设建楼面积为x平方米，根据题意得出不等式解出即可.【详解】解设建楼面积为x平方米，由题意得20000000+1200x3200%解得x

10000.答建楼面积必须超过10000平方米，才能将建楼成本控制在每平方米3200元以下.【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，与实际结合得比较紧密，解题的关键是列出不等式.★2022春・江苏连云港•七年级统考期末某中学为了熏陶师生的爱国主义情怀，组织师生观看以抗美援朝真实战役为背景拍摄的电影《长津湖》，该校先组织七年级师生共100人进行观影活动.已知学生票每张24元，老师票每张30元，若总费用不超过2440元，最多可以安排几名教师参加此次观影活动？【答案】6名【分析】设安排x名教师参加此次观影活动，则有100-万名学生参加观影，再根据学生总费用+教师总费用2440列出不等式，然后求出解集即可得出答案.【详解】解设安排x名教师参加此次观影活动，则有100-力名学生参加观影，根据题意，得30x+24100-x24402解得x6j所以最多安排6名教师参加此次观影活动.【点睛】本题主要考查了应用一元一次不等式解决实际问题，根据不等关系列出不等式是解题的关键.*2022春・江苏苏州•七年级统考期末为了更好地开展劳动实践，某校在校园内开辟了一片小菜园.初一年级组想要购进A、3两种蔬菜苗进行种植.若购进A种蔬菜苗7棵，3种蔬菜苗3棵，需要85元；若购进A种蔬菜苗3棵，3种蔬菜苗6棵，需要60元.⑴购进A、3两种蔬菜苗每棵各需多少元？⑵若初一年级组决定购进这两种蔬菜苗共100棵，且用于购买这100棵蔬菜苗的资金不超过765元，那么初一年级组最多可以购进A种蔬菜苗多少棵？【答案】

（1）A种蔬菜苗每棵10元，8种蔬菜苗每棵5元⑵最多可以购进A种蔬菜苗53棵【分析】

（1）设A种蔬菜苗每棵需要工元，3种蔬菜苗每棵需要y元，根据题意列出方程组即可求解;

（2）设购进A种蔬菜苗桃棵，则5种蔬菜苗为（100-机）棵，根据题意列出不等式，即可求解.【详解】

（1）解设A种蔬菜苗每棵x元，3种蔬菜苗每棵y元.7x+3y=853x+6y=60答A种蔬菜苗每棵10元，B种蔬菜苗每棵5元;

（2）解设购进A种蔬菜苗桃棵，则3种蔬菜苗为（100-机）棵，由题意可得:10m+5100-m765解得m53・••初一年级组最多可以购进A种蔬菜苗53棵.【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意，正确列出方程组与不等式.（★）（2022春•江苏无锡・七年级统考期末）某单位计划购买甲、乙两种绿色植物美化办公环境.如果购买甲种3件，乙种2件，共需84元；如果购买甲种5件，乙种2件，共需120元.

（1）求购买甲、乙两种植物每件各多少元？⑵现要购买甲、乙两种植物共60件，总费用不超过1000元，那么甲种植物最多购买多少件？【答案】⑴甲种绿色植物每件18元，乙种绿色植物每件15元⑵甲种绿色植物最多购买33件【分析】

（1）设甲种绿色植物每件x元，乙种绿色植物每件y元，“据如果购买甲种3件，乙种2件，共需84元；如果购买甲种5件，乙种2件，共需120元〃，这两组等量关系列出二元一次方程组求解即可；

（2）设甲种绿色植物购买了机件，则乙种绿色植物购买了（60—根）件，根据〃总价=单价x数量〃结合总费用不超过1000元，建立一元一次不等式求解，再根据实际意义取最大值即可.答甲种绿色植物每件18元，乙种绿色植物每件15元;

（2）设甲种绿色植物购买了根件，则乙种绿色植物购买了（60—相）件由题意得18m+15（60-m）＜1000解得加＜33；・・・〃2为正整数，・••甲种绿色植物最多购买33件.【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键，注意不等式的取值要考虑实际意义.的解集为X1;

（2）解2-4yl移项，得-4yl—2合并同类项，得一4y—1系数化为1得产;，，原4不等式的解集为产!.4【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和依据.（★）（2022春•江苏徐州•七年级统考期末）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成填空.2r-13九一2解不等式美」千-L解2（2x-l）3（3x-2）-6第

①步4x-29x-6-6第

②步4x-9x-6-6+2第

③步-5x-10第

④步%2第

⑤步⑴以上解题过程中，第

②步是依据（运算律）进行变形的;⑵第步开始出现错误，这一步错误的原因是;⑶该不等式的正确解集为.【答案】⑴乘法分配律⑵五；不等式两边都除以-5不等号的方向没有改变

（3）x2【分析】去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为L依此即可求解.【详解】

（1）解以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的；

（2）解第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以-5不等号的方向没有改变;

（3）解该不等式的正确解集是x

2.【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，掌握接一元一次不等式的解法是解题的关键.（★）（2022・江苏徐州七年级统考期末）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成填空2r-13x-2解不等式美1解:2（2%-1）3（3%-2）-6第

①步4x—29x—6—6第

②步4x—9x-6—6+2第

③步-5x-10第

④步xv2第

⑤步⑴以上解题过程中，第

②步是依据运算律进行变形的；⑵第步开始出现错误，这一步错误的原因是;⑶该不等式的正确解集为.【答案】⑴乘法分配律25不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变.或不等式性质2⑶x〉2【分析】对于1根据计算特点选择运算律即可；对于2根据不等式的基本性质判断；对于3求出解集即可.【详解】1第

②步根据乘法分配律计算.故答案为乘法分配律；2第

⑤步开始出现错误，两边除以・5时不等号应改变方向，所以这一步错误的原因是不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变.故答案为5不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变.或不等式性质2；3两边都除以5得x

2.故答案为x

2.【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式得步骤是解题的关键.注意不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变.2y+1★2022秋•江苏苏州•七年级苏州市振华中学校校考期末解不等式并把解集在数轴3o上表示出来.7【答案】数轴表示见解析【分析】根据不等式的性质去分母、移项，再合并同类项最后系数化1即可.【详解】解:去分母，得4%-6x+l6去括号，得4x-6x-126移项，得4x-6应6+1合并，得-2应77解得%--■.乙在数轴上表示为【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意性质3而出错.解不等式要依据不等式的基本性质

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.（★）（2022秋・江苏•七年级统考期末）解不等式F〈苦至一1，并把它的解集在数轴上表示出来.13【答案】数轴见解析【分析】根据解一元一次不等式基本步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.【详解】解去分母，得3（x-1）2（4x-5）-6去括号，得3x-38x-10-6移项，得3x-8xV-10-6+3合并同类项，得-5x01313系数化为1得I〉，将不等式的解集表示在数轴上如下【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解不等式的基本步骤是解题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变.【题型二】求一元一次不等式整数解【典题】（2022春・江苏淮安•七年级统考期末）解不等式x-36-2x把它的解集在所给的数轴上表示出来，并写出它的最大整数解.【答案】x3数轴图见解析，它的最大整数解为2【分析】先根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的最大整数解即可.【详解】解:X-36-2xx+2x6+33x9把它的解集在数轴上表示出来如下它的最大整数解为

2.【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键.巩固练习★2022春・江苏南通•七年级南通市海门区东洲中学校考期中若不等式3x+l—l4x—1+3的最小整数解是方程/工一如=6的解，求小一2根一11的值.【答案】一

8.【分析】此题可先将不等式化简求出X的取值，然后取X的最小整数解代入方程，化为关于〃2的一元一次方程，解方程即可得出加的值.【详解】解:解不等式3x+l—1V4x—1+3得x

3.它的最小整数解是x=

4.把x=4代入方程;尤一/nx=6得m=-1Am2—2m—11=—

8.【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程即可得出机的值.★★2022秋•江苏苏州•七年级校联考期中若不等式2x+l-53万1+4的最小整数解是方程—以=5的解，求代数式2a—11【答案】-11【分析】先求出不等式的2x+l-5v3x-1+4解集，从中确定最小整数解，然后代入方程中，解关于a的方程，求出a的值，再代入代数式求出代数式的值.【详解】解不等式解工+1-5〈3-1+4•••大于・4的最小整数是-

3./.x=-3是方程;％-狈=5的解将x=-3代入方程!％_依=5中得二2当〃=2时4—24—11=22—2x2—•••代数式/一2〃-11的值为-11【点睛】本题考查不等式的解法，解出不等式，再根据题中要求，确定参数值.（★）（2021春•江苏盐城•七年级统考期末）已知方程“=2的解为负数求正整数的值.【答案】1或2或3【分析】首先解关于x的方程，然后根据方程的解是负数，即可得到一个关于的不等式，即可求得的正整数值.【详解】去分母，得X—（2x—a）=4去括号，得x—2x+a=4移项，得x—2x=4—合并同类项，得-x=4-m系数化为1得x=Q—4因为方程解为负数，所以-40解得a4所以正整数的值为1或2或

3.【点睛】此题考查了解一元一次方程和不等式，本题是一个方程与不等式的综合题目.解关于的方程是本题的关键.6丫_15r-k1（★）（2020春・江苏泰州•七年级校考期中）解不等式巳三一-1把它的解集在数轴上表示出来，并求出这个不等式的最小整数解.【答案】X-^；x=-3【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把化系数为1即可求出X的取值范围，再在数轴上表示出不等式的解集，找出符合条件的X的最小整数解即可.【详解】解2（6x-l）-3（5x+l）612x-2-15x-36解集在数轴上表示如下所以这个不等式的最小整数解是X=-3【点睛】本题考查解一元一次不等式和解集在数轴上表示，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤.【题型三】利用一元一次不等式解决实际问题【典题】2022春•江苏宿迁•七年级统考期末某中学准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球，若购买2个篮球和3个足球共需要310元，购买3个篮球和2个足球共需要340元.1每个篮球和足球各多少元？⑵根据学校的实际情况，需要从该商店一次性购买篮球和足球共60个，要求购买篮球和足球的总费用不超过4000元，那么最多可以购买多少个篮球？【答案】⑴每个篮球80元，每个足球50元233个[2x+3v=310【分析】1设每个篮球工元，每个足球y元，可得，/00即可解得每个篮球80元，每个足球[3x+2y=34050元；2设购买八个篮球，根据购买篮球和足球的总费用不超过4000元，有80m+5060-m“000，又加是整数，可得最多可以购买33个篮球.【详解】1设每个篮球x元，每个足球y元・•・每个篮球80元，每个足球50元;2设购买加个篮球，则购买足球60-6个•••购买篮球和足球的总费用不超过4000元，80/71+5060-m4000解得〃长33；是整数，Am最大取33答最多可以购买33个篮球.【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式.巩固练习

1.★2022春・江苏淮安•七年级统考期末为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县

4、3两类薄弱学校全部进行改造.根据预算，共需资金1575万元.改造一所A类学校和两所8类学校共需资金230万元;改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.⑴改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？⑵若该县的A类学校不超过5所，则3类学校至少有多少所？【答案】1改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元⑵3类学校至少有15所【分析】1设改造一所A类学校和一所8类学校所需的改造资金分别为万元和人万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；2设该县有A、8两类学校分别为根所和〃所，进而可得机根据题意列出一元一次不等式，412解不等式取整数解即可求解.解设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为万元和b万元.〃+2b=230〃=602〃+人=205’解得\b=S5答改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元；设该县有A、B两类学校分别为根所和〃所.则60以+85九=1575叼310517触得根;-——n412•・・A类学校不超过5所，.10517八・・5412应15即5类学校至少有15所.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组或不等式是解题的关键.★2022春・江苏南通•七年级校联考期中某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往〃一带一路〃沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售额相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售额多1500元.⑴甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？2若甲、乙两种商品的销售总额不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？【答案】⑴甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元⑵至少销售甲产品2万件【分析】

（1）可设甲种商品的销售单价x元，乙种商品的销售单价V元，根据等量关系

①2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，

②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元，列出方程组求解即可；

（2）可设销售甲种商品万件，根据甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可.【详解】

（1）解设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为V元.答甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元.

（2）解设销售甲产品万件，则销售乙产品（8-〃）万件.根据题意得900+600（8-）

25400.解得a”答至少销售甲产品2万件.【点睛】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系.（★）（2022春江苏南通•七年级统考期末）制作某产品有两种用料方案，方案1用5块A型钢板，9块8型钢板；方案2用4块A型钢板，10块B型钢板.

（1）若方案1中用料总面积为33平方米，方案2中用料总面积为32平方米，求每块A、8钢板的面积分别为多少平方米？⑵设每块A型钢板的面积为羽每块B型钢板的面积为y.从省料角度考虑，应选哪种方案？【答案】⑴每块A、8钢板的面积分别为3平方米，2平方米；⑵当xy时，，应选方案2；当x二y时，两种方案一样；当时，应选方案

1.【分析】

（1）设每块A、B钢板的面积分别为x平方米，y平方米，根据〃5块A型钢板，9块3型钢板用料总面积为33平方米；4块A型钢板，10块8型钢板用料总面积为32平方米〃列方程组解得即可；

（2）分别列出方案1和方案2用料面积的代数式，利用〃求差法〃进行解答即可.f5x+9y=33[x=3

（1）解设每块A、8钢板的面积分别为x平方米，y平方米，根据题意得）”，解得[4x+10y=32[=2答每块A、8钢板的面积分别为3平方米，2平方米;。