新教材人教A版必修第二册第7章712复数的几何意义学案

7.

1.2复数的几何意义［情境导学.探新知］情境趣味导学•预习素养原畲情境与问题19世纪末20世纪初，闻名的德国数学家高斯在证明代数根本定理时，首次引进“复数〃这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依靠平面内的点或有向线段向量建立了复数的几何根底.复数的几何意义，从形的角度说明白复数的“存在性〃，为进一步讨论复数奠定了根底.问题实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数该怎样来表示呢？学问点1复数的几何意义.复平面1复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；2实轴坐标系中的二轴叫做实轴实轴上的点都表示实数;3虚轴坐标系中的y轴叫做虚轴除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数..复数的几何意义1复数集C中的数与复平面内的点对应复数z=a+Ai«一一对应，复平面内的点Zab；2复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量一一对应思考k实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？［提示］不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为00它所确定的复数是z=0+0i=0表示的是实数.体验

41.复数z=3—5i在复平面内对应的点的坐标是A.3-5B.35C.3-5iD.35iA［复数z=3—5i在复平面内对应的点的坐标是3-

5.］体验

2.假设宓=0-3那么应对应的复数A.等于B.等于一3C.在虚轴上D.既不在实轴上，也不在虚轴上C［向量应对应的复数为一3i在虚轴上.］学问点2复数的模.定义向量方的模叫做复数z=a+hiaZ£R的模或肯定值，记作|z|或|〃+勿|qZeR..求法|z|=|〃+Oil=、/c』+R其中〃，

3.模的几何意义复数z的模就是复数z=“+8iaZ£R所对应的点Zm切到原点00的距离.体验k

3.思索辨析正确的画7错误的画X1复数的模肯定是正实数.2两个复数相等，它们的模肯定相等，反之也成立.［答案］1X2X体验

4.复数z=l+2ii是虚数单位，那么|z|=.y［5［Vz=l+2iA|z|=-\/12+22=V

5.］学问点3共聊复数一般地，当两个复数的实部相等虚部互为相反数时这两个复数叫做互为共辗复数.虚部不等于的两个共辗复数也叫做共辗虚数.复数Z的共胡复数用z表示，即假如z—a+bi那么z—g—bi.体验卜

5.复数z=-3—2i的共轲复数5=y|=.-3+2iV13［z=-3-2i的共轨复数5=-3+2i|7|=^/-3+22=[2:□类型1复数与复平面内的点的关系][3:【例1】求实数分别取何值时，复数z=一+〃-2a—15ia£R对应的点Z满意以下条件1在复平面的其次象限内；2在复平面内的工轴上方.［解］1点Z在复平面的其次象限内，a2-a~6°，那么j+32-150解得—

3.⑵点Z在x轴上方，［a1—2a~150那么4।〔“+3W0解得a5或a~

3.即当〃5或〃V—3时，点Z在x轴上方.［母题探究］

1.本例中题设条件不变，求复数z表示的点在％轴上时，实数的值.［解］点Z在X轴上，所以2〃-15=且〃+3W0所以a=

5.故a=5时，点Z在x轴上.

2.本例中条件不变，假如点Z在直线％+y+7=0上，求实数的值.［解］由于点Z在直线x+y+7=0上，“次—Q—6c所以—=-+q2q-15+7=0［十3]V

13.］［合作探究释疑难］疑难问题解惑•学科素养无即a3+2a1—15〃-30=0所以（+2）（2—15）=0故a=-2或a=±\[

15.所以a=—2或4=乱正时，点Z在直线x+y+7=0上.厂••成思领悟利用复数与点的对应解题的步骤1首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标.2依据条件，确定实部与虚部满意的关系.\7［跟进训练］

1.假设关于实数％的不等式mx一心+〃机，np£R的解集为一12那么复数m+pi在复平面内所对应的点位于第象限.二［由于mx2—nx+p0mnp£R的解集为-12所以m〈0p_所以mVOp0故复数机+pi在复平面内所对应的点位于其—1X2—m次象限.］口类型2复数与复平面内向量的对应【例2】对接教材P71例2在复平面内，点ABC对应的复数分别为1+4i—3i2为复平面的坐标原点.⑴求向量a+为和/对应的复数；2求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.［解］1由得心，OB无所对应的复数分别为l+4i-3i2那么晶=14OB=0-3定=20因此后+历=11AC=OC-OA=19-4故®+对应的复数为1+i启对应的复数为1—4i.2法一由得点ABC的坐标分别为140-320那么AC的为住2由平行四边形的性质知的中点也是停，2假设设£x0yo0+xo32—2]xo=3那么有q—解得「故

37.-3十yo1^0=

7、2・2即顶点对应的复数为3+7i.法二由得有i=l455=0-3女=20所以砺=17反=23由平行四边形的性质得丽=盛+/=310所以5b=加+应=37于是

37.即顶点对应的复数为3+7i.成思领悟复数与向量的对应和转化对应复数z与向量应是一一对应关系.转化复数的有关问题转化为向量问题求解.解决复数问题的主要思想方法有1转化思想复数问题实数化；2数形结合思想利用复数的几何意义数形结合解决；3整体化思想利用复数的特征整体处理.[跟进训练]

2.1在复平面内，为原点，向量晶表示的复数为一l+2i假设点A关于直线y=一x的对称点为B那么向量油表示的复数为A.-2-iB.l+2iC.—2+iD.-l+2i2在复平面内，把复数3一5i对应的向量按顺时针方向旋转呈所得向量对应的复数是A.2#B.-2731C.事—3iD.3+4§i1C2B[⑴由题意得A—12那么5—21所以向量为表示的复数为-2+i.⑵复数3—/i对应的向量的坐标为3一事按顺时针方向旋转方后得到新向量的坐标为0一2小，所得向量对应的复数为一2，§i.]II类型3复数的模及其应用【例3】⑴设l+i%=l+yi其中％y是实数，那么|%+训=A.1B.也C.y[3D.22假设复数z满意z+|z|=2+8i那么复数z=.尝试与发现I.设复数z=x+yi%y£R那么|z|等于多少？其几何意义是什么？[提示]|z|=y/+y2其表示复平面内的点xy到原点00的距离..复数z满意|z—i|=l其几何意义是什么？[提示]由Iz—i|=l可知点z到点0』的距离为

1.1B2—15+8i[1由于xy£R1+ix=x+xi=l+yi所以x=y=1|x+yi|=|l+i|=NF+]2=陋应选b.2设z=〃+/iQ》£R那么|z|=/TP代入方程得〃+历+4方+2=2+81[〃=—15解得[b=S.•••z=-15+8i-]’••••成思领悟.复数z=a+bi模的计算团=62+必.复数的模的几何意义复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离..转化思想利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满意的条件，是一种复数问题实数化思想.［跟进训练］

3.假设复数2a—1〃+2+4一〃一6i是实数，那么zi=q—1+1—2oi的模为.^29［Vz为实数，.a-a-6=Q9[4:.假设复数Z=—2+i那么复数Z的共粗复数5在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限][5:C［复数Z的共机复数5=—2—i在复平面内对应的点为（一2-1）位于第三象限.］

2.设为原点，向量4对应的复数分别为2+3i-3-2i那么向]，4=—2或

3.♦〃=—2时z无意义•••4=3Azi=2-5iA|zi|=^/

29.］.复数z=3+ai且|z|4求实数的取值范围.［解］法一Vz=3+m（6zeR）/.|z|=^32+6z2由得32+6/242/.〃7，a£（—巾巾）法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内（不包括边界），由z=3+〃i知z对应的点在直线x=3上所以线段AB（除去端点）为动点Z的集合.由图可知saS・［当堂达标-夯基础］量A4对应的复数为A.-1+iC.-5-5iD.5+5iD［由题意知，04=239B=-3—

2.BA=OA-OB=^5\，向量函对应的复数为5+5i应选D.].复数z=m一3+m—li的模等于2那么实数机的值为A.1或3B.1C.3D.2A[依题意可得d加一32+〃l12=2解得〃2=1或3应选A.].i为虚数单位，设复数ZlZ2在复平面内对应的点关于原点对称，假设Z1=2—3i那么Z2=.-2+3i[Vzi=2-3i对应的点为2—3关于原点的对称点为一

23.，Z2=-2+3i-]

5.假如复数z=m2+m—1+4/—8帆+3im£R对应的点在第一象限，那么实数m的取值范围为.—1

一、序3\、-8U5，+8]由于z=m2+m—l+4m2—8m+3i对应[jrr+m—10—1—\l53的点在第一象限，所以19解得mV—不工或mf4m—8/71+30z

2、一1—\1~

5、3即实数m的取值范围是m5或相5・]回忆本节学问，自我完成以下问题⑴复平面的概念是什么？2复数与复平面内的点有什么关系？3复数与复平面内的向量有什么关系？4如何求复数的模？学习任务核心素养.可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.重点、难点.把握实轴、虚轴、模、共辗复数等概念.易混点.把握用向量的模来表示复数的模的方法.重点.通过复数的几何意义，体会直观想象的素养..借助复数的几何意义解题，培育数学运算的素养.。