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普通高等学校招生全国统一考试数学(满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共6()分).三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有()A.6种B.10种C.8种D.16种.已知点Fl、F2分别是双曲线/的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若4ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.(l+8)C.(后一1』+后)D.(ll+后).函数y=/+i*4°)的反函数是()A.y=-Jx+\(x\)By=-Va+1(x-1)Qy=jx-\(x1)Qy=(x\)2,o工+乙=1工+1=
14、若椭圆G短加(%40)和椭圆2出-b(%〉0)()的焦点相同且4出.给出如下四个结论
①椭圆G和椭圆2一定没有公共点;
②2A
③aA2-a22=bC-b22
④一牝其中,所有正确结论的序号是A
①③B
①③④C
①②④D
②③④[1A出现,X=一
5、设一随机试验的结果只有A和3P(A)=〃,令随机变量A不出现,,则X的方差为()A.PB2/71-pqd.〃p.解:1由向量共线有:2sinA+C|2cos2--1|=V3cos2^I2即tan28=60B—又2所以023乃£B=匕贝|J25=3\即6II由余弦定理得从=Y+c2-2accos民则\=a1+C2-/3ac2-6ac所以K2+®当且仅当〃=c时等号成立538c=Lesin^-2+73所以we24\.解1由已知条件得即3P=1则〃的值为5II解4可能的取值为01233323%=0=3二.±二二44387P^=2=---+Cj443-4436W卢不111144348自的分布列为:八37o1=0—i-1f2—f3—.已知ij为互相垂直的单位向量,=i+且〃与〃的夹角为锐角,则实数4的取值范围是不+8-00-2u-2--2-u-+oo-co-A.2B.2c.33D.2ab0全集U=R集合M=[x\bx+}N={x\y[ab%a}.已知2「={1仍/«而}则尸也满足的关系是A.P=M2NBP=McNCP=McCuNd尸=CMcN.从湖中打一网鱼,共M条,做上记号再放回湖中,数天后再打一网鱼共有n条其中有k条有记号,则能估计湖中有鱼M•条M.七条〃.—条n•—条A.kB.〃C.kD.M.函数/*=UI如果方程“幻二有且只有一个实根,那么实数a应满足A.a0B.0alC.a=0D.al
53.AABC41cosA=13sinB=5则cosC的值为
12.函数fx=logaxa0且aWl对任意正实数xy都有A.fx•y=fx•fyB.fx•y=fx+fyC.fx+y=fx•fyD.fx+y=fx+fy
二、填空题共4小题,每小题5分;共计20分
1、设百,-15有成等比数列,则.
2、在等比数列伍中,已知为°行4+2%9+「6=25,则
3.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束.根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为
0.6客场取胜的概率为.5且各场比赛结果相互独立,则甲队以41获胜的概率是.22二-4=140方
04.已知双曲线C/”的左、右焦点分别为FlF2过F1的直线与C的两条渐近线分别交于AB两点.若片八=4巴产出.=°则C的离心率为
三、大题满分70分
1、已知是坐标轴原点双曲线!一‘°与抛物线V,交于两点两点的面积为
4.1求的方程;2设仁工为C的左,右焦点,点尸在上,求号•货的最小值.
2、一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.I请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;II用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—ABCD如何组拼?试证明你的结论;Ill在H的情形下,设正方体ABCD—ABCD的棱CC的中点为E求平面AB.E与平面ABC所成二面角的余弦值.\\.设数列{an}的前n项和为Sn且满足Sn=2-ann=lI求数列{an}的通项公式;।1俯视图II若数列{bn}满足bl=l且bn+l=bn+an求数列{bn}的通项公式;III设cn=n3-bn求数列{cn}的前n项和Tn..如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC_L平面AA1C1CAB=3BO
5.I求证AA1_L平面ABC;II求二面角A1-BC1-B1的余弦值;BDIII证明在线段BC1存在点D使得ADJLA1B并求的值..已知锐角中,内角a、B、所对的边分别为、b、c向量L-R\m=2sinA+CV3/=cos2^2cos2——1I2A且向量,〃共线1求角8的大小;II如果b=l求的面积Saw的最大值.学校要用三辆车从新校区把教师接到老校区,已知从新校区到老校区有两条公3路,汽车走公路
①堵车的概率为I不堵车的概率为7;汽车走公路
②堵车的概率为P不堵车的概率为若甲、乙两辆汽车走公路
①,丙汽车由于其他原因走公路
②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响I若三辆车中恰有一辆车被堵的概率为记,求走公路
②堵车的概率;(II)在
(1)的条件下,求三辆车中被堵车辆的个数g的分布列和数学期望参考答案
一、选择题1-5题答案:CDDBD6-10题答案:BCACA11-12题答案:DB
二、填空题
1、6或-4;
2、…5=5;
0.182
三、大题
1、【解析】
(1)不妨设人(化,为)则44%,-城则$3=产%3货=4$=4解得%=1彳24244』),将其代入双曲线-得/一产=1解得〃=2a双曲线的方程为2由1可知2=9c=36-30鸟30设4/J贝尸」=3-4*t.历.PF2=-3-4-t・3_4/,T=16r+/-9=4r4-12-篙又产金转.\、577=-9>即当0时,W/6取得最小值,且最小值为-
9.【评注】本题考查圆锥曲线的共同特征,解题的关键是巧设点的坐标,解出A8两点的坐标,列出三角形的面积关系也是本题的解题关键,运算量并不算太大.
2、解I该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如右图中的四棱锥C1-ABCD其中底面ABCD是边长为6的正方形,高为CC1=6故所求体积是V=1x62x6=723II依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体其拼法如图2所示.证明:・•面ABCD、面ABB1A
1、面AA1D1D为全等的正方形,于是%-八87二%-八%%故所拼图形成立.III方法一设B1EBC的延长线交于点G连结GA在底面ABC内作BHJ_AG垂足为H连结HB1贝故NB1HB为平面ABIE与平面ABC所成二面角或其补角的平面角.±—故平面ABIE与平面ABC所成二面角的余弦值为-
3.方法二以C为原点,CD、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图3・•正方体棱长为6则E003B1066A
660.设向量n=xyz满足…3,n±x=z6y+3z=0-]于是1-6x+6z=0解得口二-5”.一二函122cosBB[=——=—=—取z=2得n=2-12又叫=6\M\BB.\183+2故平面ABIE与平面ABC所成二面角的余弦值为
3.
3.解I;n=l时,al+Sl=al+al=2/.al=lVSn=2-anHPan+Sn=2an+l+Sn+l=2两式相减an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+l-an+an+l=02an+l=an一mJVan^O.・.42n£N*所以,数列{an}为首项al=l公比为2的等比数列.an=5n£N*IIVbn+1=bn+ann=123…/.bn+l-bn=2n-l得b2-bl=lb3-b2=2b4-b3=22bn-bn-l=2n-2n=23…将这n-1个等式累加,得i_J•严4+42++…+2=-=2-21N-2222]」2bn-bl=l+2j_又/.bn=3-22n-ln=l23…IIIVcn=n3-bn=2n2n-l_L_LL11ATn=2[20+25+3彳2+…+n-12n-2+n2n-l]
①1111”+心三而2Tn=2[2+222+323+・・・+n-l22]
②+6+++
①-
②得:QI=84k一〃22=8-8+4nn=l23…)
4.解
(1)为正方形/.A.ALAC又面秋6,面43,又面刈GCC面AgAC,AA1_L平面ABC.2VAC=4AB=3BC=
5.・・AC2+AB2=BC\.\NCAB=900即AB±AC又由1・・・AA1_L平面ABC.知所以建立空间直角坐标系A-xyz则4004a404034B030设面ACq与面BGq的法向量分别为〃=x,%z尸=9Mc4x=0一/八i3n=01—3y-4z=0令y=l则4—•3m=-l0同理,41616由图知,所求二面角为锐二面角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为天.3证明设°工Xz则4°=羽y9zAtB=03-4BC1=4-34因为G,,B三点共线所以设丽=4用,即《y-3z=24-34x=4A«y-3=-3A所以卜=沅,⑴由ADAlB=0^3y-4z=0⑵9364836〜
364836、A=—X=—y=—z=—D———由⑴⑵求得2525-2525即252525BD9故在线段BC1存在点D使得ADLA1B且叼=石.401233711p816648。