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普通高等学校招生全国统一考试数学(满分150分,考试时间120分钟)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分).有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A.36种B.48种C.72种D.96种.已知直线
1、m平面a、B且l_LamuB.给出四个命题
(1)若a〃B则1_Lm;⑵若l_Lm则a〃B;⑶若a_LB则l〃m;
(4)若l〃m则a_LB其中正确的命题个数是()A.4B.lC.3D.
2.已知函数f(x)=log2(x2—ax+3a)在区间[2+8)上递增,则实数a的取值范围是()A.—84B.-44]C.—8-4U[2+°°D.[-
424、若直线L6+2丁+6=与直线L工+3-13+/-1=0垂直,则^=2A.2B.3C.1D.-
25、一个盒子内部有如图所示的六个小格子,现有桔子,苹果和香蕉各两个,将这六个水果随机地放入这六个格子里,每个格子放一个,放好之后每行、每列的水果种类各囊”/7DC7TJC♦7OC.7CX.z
八、Mcos—+cos—sin—+sin—xeR
6.设3535为坐标平面内一点f(x)=|OM|当x变化时,函数f(x)的最小正周期是(A.30nB・15兀C.30D.157给出两个命题p|x|=x的充要条件是x为正实数;q存在反函数的函数一定是单调函数,则下列哪个复合命题是真命题()A.p且qB.p或qC.一|p且qD.一।p或q
8.给出下列命题“
③立其中正确的判断是()件中,能使b和c所成的角为60°的是()A.b〃ac〃BB.b〃ac±BC.b±ac±BD.b±ac〃B.一个等差数列共n项,其和为90这个数列的前10项的和为25后10项的和为75则项数n为()A.14B.16C.18D.
20.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有()A.8种B.10种C.12种D.32种
二、填空题共4小题,每小题5分;共计20分
1、函数y=fx是定义域为R的奇函数,当x0时,fx=x3+2x—1贝iJx0时函数的解析式fx=.
2、若Iog2logx9=1贝ijx=..我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为
0.97有20个车次的正点率为
0.98有10个车次的正点率为
0.99则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为..已知/%是奇函数,且当%0时,/%=-产.若/In2=8贝l=.
三、大题满分70分
1、过点―2⑼的直线/与抛物线C V=4x交于不同的两点aB.T求直线/斜率的取值范围;II若F为C的焦点,且用・必=0求.ABF的面积.\x=-2+tcosa.已知直线/的参数方程为iy.sina%为参数以坐标原点为极点x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标系方程为夕=2sin2cos
6.1求曲线C的参数方程;71Of~~⑵当4时求直线/与曲线C的交点的极坐标..如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的ABC三点进行测量已知AB=50mBC=120m于A处测得水深相=8,于B处测得水深痛=200%,于C处测得水深6=求NDEF的余弦值
5、已知A、B、C是直线/上的三点,向量苏,丽,历满足OA-[y+2广⑴丽+lnx+l5c=6I求函数y=/%的表达式;/%II若%〉,证明%+2;—%—fm2—2bm—3HI若不等式2一对任意及此[TJ都恒成立,求实数机的值.e邛
6.椭圆E中心在原点0焦点在x轴上,其离心率、3过点c-10的直线L与椭圆E相交于A、B两点,且AC=2C”1用直线L的斜率kkHO表示4OAB的面积;2当AOAB的面积最大时,求椭圆E的方程.参考答案:、选择题:1-5题答案:CDBBA6-10题答案:DDBBC11-12题答案:CB
二、填空题
1、x3-2—x+1;
2、3;
3.
0.
984.-3
二、大题uuu
1、参考答案
(1)(22A(II)9(解析)(分析)(I)利用点斜式写出直线/的方程,将直线与抛物线联立消去九利用/>即可求解.(II)设ACw(%2,%)由(I)知七+%2=至-4取2=40)利用向量数量积的(详解)(I)由题意知直线斜率存在且不为0设直线/的方程为y=A(x+2)将直线/的方程和抛物线uv=心联立,消去y得左2f+(4攵2-4)工+4%2=0所以直线/的斜率的取值范围是二巴4=4II设A%,XI%2,%由I知芭+”一乒_,中2=又尸10所以岳・1%・D+%%=%1・1%-1+%+2%+2=1+%2%々+2%2-1%+々+4女2+117--=0k2=—因为胡.必=0所以E,即
17.所以©AB/的面积为
9.(点睛)本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点三角形的面积问题,考查了抛物线的焦半径公式,属于中档题.3解1由夕=2sin-2cos夕可得储=22sin6—2夕cos所以曲线C的直角坐标的方程为/+V=2y-2x标准方程为(x-1尸+0;-1)2=2所以曲线C的参数方程为x=-1+后COS69广,
①y=l+j2sin为参数_oV2X——2H12a空y=M⑵当4时,直线/的参数方程为P2化为普通方程为y=%+2[x2+y2=2y-2xJx=0fx=-2由〔y=x+2得]y=2或1y=
04.解:作M〃AC交BE于N交CF于M.DF=ylMF2+DM2=432+172=10V198DE=dDN+EN=a/502+1202=130EF=ylBE-FC2+BC2=a/902+1202=150在AD所中,由余弦定理,小厂厂DE2+EF2-DF21302+l502-102x29816cos/DEF===——2DExEF2x130x15065*
5.解Iy OA-ly+2/Xl]o5+lnx+1OC=
6...OA=[y+2-⑴丽-lnx+l5c由于A、B、三点共线即卜+2/⑴]+[—lnx+l]=l・•・V=/%=ln%+1+1—2广⑴fX=TkIJ⑴=/故/%=ln%+l2x12x+2-2xgx=fxS⑴―7■II令x+2由x+15+2,gx>,,gx在0+8上是增函数2x故gxg=0即X〉hx=—x2III令2一/^2=5--lnl+x2ii/\2xx-xhx=x=-由1+厂\+X二•m2-2bm-30〃1=m2-2m-30〃-1=m2+2m-309得机23或加<-322二+2L
6.1设椭圆E的方程为//.a2=3b2故椭圆方程x2+3y2=3b2设Axlyl、Bx2y2由于AC=2C氏X]+2x2_-=—13y+2y2=0・.13+1=—2x2+1
①fx2+3y2=3Z2即1%=—2%
②由[y=©%+l消去y整理并化简得3k2+Ix2+6k2x+3k2—3b2=0由直线L与椭圆E相交于AxlylBx2y2两点1=36k4-4322+13左2-2b2Q3k2-3b23k2+111333而SMAB=/f七七”七也2+1七⑶上+
⑥X]+2x2此时xl+x2=—1又3=—1/.xl=lx2=—2£将xlx2及k2=3代入
⑤得3b2=5•二椭圆方程x2+3y2=
5.。