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绵阳市开元中学高2014级高三复习《二项式定理》学问点、题型与方法归纳制卷王小凤学生姓名学问梳理.二项式定理+力〃=C%〃+CS「SH\-C^an~rbr~\l-C^CneN*^^公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫的二项绽开式.其中的系数ar=0l〃叫二项式系数.式中的叫二项绽开式的通项,用+1表示,即通项Tr+i=Crnan-rbr..二项绽开式形式上的特点1项数为竺上!.2各项的次数都等于二项式的幕指数n即与的指数的和为”.3字母按降累排列从第一项起先次数由〃逐项减1直到零;字母b按丑金排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.4二项式的系数从CgCL始终到er1a..二项式系数的性质⑴对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.即禺=c;「2增减性与最大值二项式系数C3当YI~1女<一厂时,二项式系数渐渐增大.由对称性知它的后半部分是渐渐减小的;当nn是偶数时,中间一项取得最大值;当72-1〃+1〃是奇数时,中间两项=cj取得最大值.3各二项式系数和Cn+Cn+CnHFQ+…+c,=25c2+a+c4+・・・=c4+c、+cZ+…=丝
2.一个防范运用二项式定理肯定要牢记通项+1=G;相一必留意+力〃与人+〃虽然相同,但详细到它们绽开式的某一项时是不同的,肯定要留意依次问题,另外二项绽开式的二项式系数与该项的字母系数是两令丕同的概念…前者尽指.00…而后者是字母外的部分.前者只与〃和厂有关,恒为正,后者还与〃,〃有关,可正可负.一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明,也可依据次数,项数和系数利用排列组合的学问推导二项式定理.因此二项式定理是排列组合学问的发展和持续.两种应用1通项的应用利用二项绽开式的通项可求指定的项或指定项的系数等.2绽开式的应用利用绽开式
①可证明与二项式系数有关的等式;
②可证明不等式;
③可证明整除问题;
④可做近似三条性质1对称性;2增减性;3各项二项式系数的和;二.题型示例【题型一】求x+y〃绽开特定项例11+3必其中且〃三6的绽开式中x5与的系数相等,则〃=A.6B.7C.8D.9解由条件得C^35=C^36n!_n!5!〃-5!6!〃-6!••・3〃-5=6〃=
7.故选B.例22014•大纲左一比『的绽开式中的系数为.用数字作答解/一关绽开式的通项公式为33/、厂8—r—4-1C2y233令8—5厂=2解得r=4此时5〃-4=2所以绽开式中X2/的系数为-l4d=
70.故填
70.【题型二】求+”〃+%+y〃绽开特定项例1在1—x5+l—x6+l—x+1一%8的绽开式中,含X3的项的系数是A.74B.121C.-74D.-121解析绽开式中含V项的系数为eg-13+C^-13+C^-13+C^-13=-
121.【题型三】求〃+”・x+y”绽开特定项例12013•全国课标卷H已知1+czxl+x5的绽开式中%2的系数为5则〃=A.-4B.-3C.-2D.-1解1+qx1+x5的绽开式中一项为Clx1+ax-C\x=10x2+Sax1=10+5a%
2.••32的系数为5A10+56/=5〃=—
1.故选D.例22014•浙江卷在l+x6l+y4的绽开式中,记产项的系数为角%〃,则430+次21十五12+/03=A.45B.60C.120D.210解析在1+工6的绽开式中,力的系数为eg7在l+y4的绽开式中,/的系数为a故火相,〃尸CCA而人30=Cg=20式21=d・=60共12=ChC《=36火03=C=4所以30+负21+负12+/03=120故选C.例3已知数列{%}是等差数列,且%+%=10,贝U在x-a1x-a2--x-an的绽开式中,xn的系数为.解3的系数为—6/|+%++tip——64+%=-60o【题型四】求%+y+z绽开特定项例1:求住+5+同%0的绽开式经整理后的常数项.因而7+1=Cfo也10—2r]、,贝1]r=5时为常数项,即Go不563^2=2解法二所给的式子为三项式,采纳两个计数原理求解.分三类
①5个式子均取出,则以5钩=472;丫1
②取一个5,一个;,三个也,则Cg加63=2的
③取两个看两个一个也,则dC3喈.所以,常数项为4陋+2岫+”兴63^2—
2.点拨三项式的绽开式问题,通常可用解法一化为二项式问题,或用解法二化为计数问题.例2若将%+y+»°绽开为多项式经过合并同类项后它的项数为.A.11B.33C.55D.66解绽开后,每一项都形如公产才,其中a+8+c=10该方程非负整数解的对数为温=66o例3[2015•课标全国卷I]x2+%+»的绽开式中,X5/的系数为A.10B.20C.30D.60解析易知r+1=©1+%5-y令尸=2则八=3%2+%32对于二项式炉+4,由刀+1=0%2广3=2限61令.=1所以2y2的系数为CCi=
30.【题型五】二项式绽开逆向问题例12013•广州毕业班综合测试若以+3或+32+…+3厂2a一1+3〃-1=85则〃的值为A.3B.4C.5D.6解由+3或+・・・+3〃・2「1+3〃-1=;[1+3〃-1]=85解得〃=
4.故选一B.【题型六】赋值法求系数和问例1已知1-217=〃0+“1犬+”2HVaix
1.求1〃1+Q2+…+Q7;21+3+5+7;30+42+44+46;4|^o|+l6zi|+\a^+•••+\ai\.角星令X=1贝UQo+〃l+〃2+〃3+〃4+5+6+7=-1•
①令X=-1则ao—41+2—43+〃4-45+67=3
②1*/6Z0=C9=1•・•〃1+02+03+…+47=-
2.2
①一
②-2得〃1+3+5+7=-1-3’―广=一
1094.
③3
①+
②2得ao~\-ai~\-O4~\~ae=4:1—2x7的绽开式中,Qo4204Q6大于零,而4113〃57小于零:・||+1+㈤+…+|7|=〃+Q2+〃4+6—〃1+3+〃5+〃7•••所求即为
④一
③亦即
②,其值为2187点拨
①“赋值法”普遍运用于恒等式,是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如ax+〃〃,ax2-\-hx-\-cnabcWR的式子求其绽开式各项系数之和,只需令x=l即可;对形如公+勿〃,/£R的式子求其绽开式各项系数之和,只需令x=y=l即可.
②若yx=6zo+aix+aix1+•••+则火幻绽开式中各项系数之和为・/U奇数项系数之和为qo+s+q4H—J⑴?T偶数项系数之和为HFOlnX2”贝1JQ0+“2+Q4HF〃2〃2一〃1+〃3+45+…+02〃-l2—+〃4+•••+〃2〃2—+6Z3++***+ain-i2=〃o+02+04+…+i2〃—a\—43—as〃2〃—1Q+Q2+〃4HFain+〃1+43+〃5+…+ain-!=/—171=例3已知x+l2x+2严14=〃o+a\x+2+Q2X+22+…+6Z2016X+2严6则3+第+||+一+掰的值为,
3、2014,31―g+2=〃o+[-]+2+323\2016武一]+2H1-20161—]+2令x=-2付qo=O则不+至+方-^H乙乙乙【题型七】平移后系数问题例1若将函数式幻=/表示为火幻=40+“1(1+工)+2(1+x)2+…+5(1+%)5其中a,Q]〃2,…,5为实数则Q3=.解法一令x+l=y(y—l)5=ao+a\y-\-aiy2+•••+asy5故〃3=d(—1=
10.解法二由等式两边对应项系数相%5=1等.即,△5+4=0解得〃3=、Cg〃5+C%4+〃3=0解法三对等式/OOnruao+aiq+x)+^2(l+x)24F〃5(1+x)5两边连续对龙求导三次得60/=6如+2444(1+x)+60〃5(1+x)2再运用赋值法,令X=—1得60=6©即3=
10.故填
10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例i(c+JT的绽开式中第五项和第六项的二项式系数最大,则第四项为.解析由已知条件第五项和第六项二项式系数最大,得〃=9(也十£绽开式的第四项为八=0(也)6-(=)3=21~2例2把(1一%)9的绽开式按%的升塞排列,系数最大的项是第项A.4B.5C.6D.7解析(1—%)9绽开式中第1+1项的系数为c§(-l)\易知当r=4时,系数最大,即第5项系数最大,选B.例3(l+2x)〃的绽开式中第6项与第7项的系数相等,求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解:々=G(2x)5乃=以
(21)6依题意有东・25=以・26解得〃=8所以(1+2x)8的绽开式中,二项式系数最大的项为T5=d•(2x)4=1120x
4.设第r+1项系数最大,则有•2厂•2厂IIC§•2时•2r+1解得5W-W6所以r=5或r=6所以系数最大的项为76=1792/或为=1792x
6.点拨
(1)求二项式系数最大项
①假如〃是偶数,则中间一项(第£+1项)的二项式系数最大;
②假如〃是奇数,则中间两77+1〃+1项(第一厂项与第一厂+1项)的二项式系乙乙数相等并最大.⑵求绽开式系数最大项如求的绽开式系数最大的项,一般是采纳待定系数法,列出不等式组L.从而解出r即得绽开[ArNAr+l式系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例1若21-35=00+〃1%+〃2/+43X3+SA4+Q5X5贝1J〃1+2〃2+3〃3+46/4+5Q5=•解析原等式两边求导得52%—3492x—3y=ai+2tzzx+36Z3X2+4«4X3+55次4令上式中X=1得1+2〃2+3b+4〃4+5q5=
10.【题型十】整除问题例1设q£Z且0W〃v13若51212+能被13整除,则4=A.0B.1C.11D.12解析512°12+〃=52—1212+=©012•522O12-Cioi2•52201l+-+CM1»52-l201l+C^l^-l
2012.C5oi2-522O12-Cloi2-522O11+-+C^8HX52・一Iyo”能被13整除.且512oi2+a能被13整除,,c阴场<-]2012+〃=i+q也能被13整除.因此〃可取值
12.例2已知根是一个给定的正整数假如两个整数除以m所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作a=h{mod根,例如5三13/nod
4.若22015三r{mod7则厂可能等于A.2013B.2014C.2015D.2016解22015=22X23X671=4X8671=47+1)671=4(7671+以717670+…+潮7+1).因此2235除以7的余数为
4.阅历证,只有2013除以7所得的余数为
4.故选A.三.自我检测
1、(2013•青岛一检)“〃=5”是13日(〃N*)的绽开式中含有常数项”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2、已知C2+2C1+22c2+23文+・・・+2〃0=729则Cl+C+Ca+…+C4等于A.63B.64C.31D.
323、组合式C9—2CI+4—8C+…+一2〃的值等于A.—1〃B.1C.3〃D.3〃一
14、若1+x+x26=4o+0x+q2X2+…+6Z12X12则〃2+4+…+〃12=.
5、已知l+xl°=〃o+〃ll—%+21—X2H|-6Z10l—X10则8=A.-180B.180C.45D.-
456、(1+功3(1一%)4绽开式中%项的系数为()A.10B.-10C.2D.-
27、(l+%)8(l+y)4的绽开式中%2y2的系数是.
8、在(l+X)3+(l+X)4+.・・+(l+X)5的绽开式中,/的系数为()B.C*D.C
79、在x+l2x+1・・・依+1〃£N*的绽开式中一次项系数为A.繇B.C,iC.CF1D.1CQ
10、206安徽合肥二检W—x+1严绽开式中x3项的系数为。