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文本内容:
第19章矩形、菱形与正方形
19.1矩形学习目标
1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别与联系;
2.探索并证明矩形的特殊性质,会用矩形的性质解决简单的问题.自主学习
一、知识链接L平行四边形的定义是什么?它有哪些性质?
2.用四根木条做的平行四边形有稳定性吗?
二、新知预习
1.如图,用四段木条做一个平行四边形的活动木框,将其直立在桌面上轻轻地拉动点,你会发现什么问题1无论NO如何变化,四边形A3CO还是平行四边形吗?问题2当为直角时,四边形A5CD变成了一个怎样的四边形?于是有矩形定义有一个角是的平行四边形是矩形,矩形是特殊的具有平行四边形的所有性质外还有什么特殊的性质?【对称性】矩形既中心对称图形,又是图形;【边】矩形的对边平行且相等;【角】矩形的对角相等,且四个角都是;【对角线】矩形的对角线且相互平分.合作探究
一、探究过程探究点1矩形的性质定理12问题1如图四边形ABCD是矩形/3=
90.求证ZB=ZC=ZD=ZA=90°.A\\D证明:四边形A3CO是矩形,「.NBNDNCZA.ABDC..ZB+ZC=°.Bc又ZB=90°,ZC=°.J/B=/C=/D=/A=°.问题2如图四边形ABC是矩形NA8C=90对角线AC与03相交于点.求证AC=DB.证明•/四边形ABCD是矩形・•・A3DC/ABC=/DCB=1在△43和4DCB中,■:AB=DC/ABC=/DCBBC=CB・AABC△DCB..ACDB.【要点归纳】矩形的性质定理
1.矩形的四个角都是2矩形的对角线.几何语言描述在矩形A3CD中,对角线AC与03相交于点,则ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°AC=DB(延伸0A=0B=OC=OD=-AC=-BD).22瓯如图,矩形A3CD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形周长的和是86cm矩形的对角线长是13cm那么该矩形的周长是多少?【针对训练】
1.已知如图,矩形A5CD的两条对角线相交于点,NAO8=60,A8=4cm求矩形对角线的长.分析因为矩形是特殊的平行四边形,所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质,根据矩形的这个特性和已知,可得△OAB是等边三角形,因此对角线的长度可求.探究点2矩形的性质与其他知识的综合运用例2如图,在矩形中,AB=3BC=4BEA.AC垂足为点E试求5E的长.例3如图,在矩形A3CO中,对角线AC与3相交于点,AE垂直平分线段3,垂足为点£BD=15cm.求AC、A3的长.
二、课堂小结当堂检测.矩形具有,而一般平行四边形不具有的性质是()A.对角线相等B.对边相等.如图,在矩形ABCQ中,对角线交于点0若A5=64)=8则AC=0B=.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°则两对角线所夹锐角度数为.如图,E尸过矩形ABC对角线的交点,且分别交A
3、CD于E、F那么阴影部分的面积是矩形A3C面积的..已知如图,E为矩形A3CO内一点,且求证EA=ED..已知如图,是矩形ABC对角线的交点,AE平分NB4O乙4二120,求NAEO的度数.参考答案自主学习
一、知识链接.解定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形.性质
(1)平行四边形的对边相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分..没有稳定性.
二、新知预习
1.解问题1四边形还是平行四边形.问题2四边形A8CD变成了一个长方形,即矩形.直角平行四边形问题3轴对称90°相等合作探究
一、探究过程探究点1:问题2=90名【要点归纳】直角相等【典例精析】网可解:△NOB、△BOC、△C和△A四个小三角形周长的和为86cm・・・A3+BC+CD+ZM+2OA+OB+OC+OD=A8+BC+CO+ZM+2AC+8D=86又・・・AC=8Z=
13.*.AB+BC+CZ+DA=86-2AC+B£=86-4xl3=34cm即矩形ABCD的周长等于34cm.【针对训练】
1.解:四边形A8CO是矩形,与a相等且互相平分,,4=08又NAOB=60,:•△48是等边三角形.,矩形的对角线长AC=8O=2OA=2A8=2x4=8cm.亟解在矩形A3CD中,ZABC=90°.AC=^AB2^BC2=^32+42=V25=
5.例31解:四边形ABC是矩形,•・・AC=3O=
15.,A0=%C=
7.5・・・・AE垂直平分8,.AB=AO=
7.
5.即4c的长为15cm45的长为
7.5cm.
二、课堂小结当堂检测
1.A
2.
1053.80°4-
4.证明在矩形A3CO中,AB=DCZABC=ZDCB=9Q°VEB=EC.ZEBC=ZECB..ZABE=ZDCE..^ABE^/\DCESAS..EA^ED.解*••四边形ABCD是矩形,AZBAD=ZABC=9Q°AC=BDA0=B
0.9ZAOD=\2Q0・•・ZAOB=6Q°..AAOB为等边三角形,ZBAO=ZABO=60°AB=AO=BO/AEABAD.N8A£=45即△ABE为等腰直角三角形,NBE4=45,AB=BE.;・BO=BE..NBOE=NBEO.在ABOE中ZOBE=90°-60°=30°9••・ZBEO=ZBOE=75°..ZAEO=ZBEO-ZBEA=15O-45°=3Q°.矩行的性质定理
1.矩形的四个角都是2矩形的对角线.解题策略结合等腰(边)三角形、勾股定理等知识解题。