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章末复习【学习目标】L整合知识结构,梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识2能熟练画出几何体的直观图,能熟练地计算空间几何体的表面积和体积,体会通过展开图、截面化空间为平面的方法..四个公理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行..直线与直线的位置关系I异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点..平行的判定与性质⑴线面平行的判定与性质⑵面面平行的判定与性质.湖面上浮着一个球,湖水结冰后将球取出,冰上留下一个冰面直径为24cm深为8cm的空穴,则这个球的半径为cm.答案13解析冰面空穴是球的一部分,截面图如图所示,设球心为0冰面圆的圆心为01球半径为R由图知03=0iB=|aB=120C=H—8在RtZ^/中,由勾股定理R2=(r—8)2+122解得R=13(cm)..用长、宽分别是3兀和兀的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则圆柱的表面积是.答案3兀2+兀或3兀2+;兀3解析以长为兀的边为高时,底面半径为宗S=3兀2+2•兀•
③2=3兀2+兀.以长为3兀的边为高时,底面半径为今5=3兀2+2・兀・6)2=3兀2+
5..已知小£/3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是.(填序号)
①/1J_/2,/2~L/3=/l〃/3;
②/山2《〃/3m3;
③/1〃/2〃/30小,2,3共面;@/]I%共点0/1,b,上共面.答案
②解析当/2,/3时,八与/3平行或相交或异面,故
①不正确;当/2〃/3时,I山3故
②正确;当h〃b〃l3h12/3未必共面,如三棱柱的三条侧棱所在的直线,故
③不正确;当/13,3共点时,/la,3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱所在的直线,故
④不正确..如图所示,已知正三棱柱43C—4囱G的底面边长为1高为8则一质点从A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达4点的最短路径的长为.答案10解析如图所示,将两个三棱柱的侧面沿侧棱A41展开并拼接,则最短路径为/=后由=
10.
5.如图,在四面体P—A3C中,PA=PB=yfi3平面平面ABCZABC=90°AC=8BC=6贝1JPC=.答案7解析取AB的中点,连结PO9PA=PB.PD.LAB.•・•平面弘8平面ABC平面站3n平面ABC=ABPOU平面FAB・•・PZJ_平面ABC连结DC则△PDC为直角三角形,在RtAABC中AB=7AC—BC=78—6=2巾在RtADBC中,DC=BC+BD2=762+行¥.PD=yl陪_AD2=7137=玳.PC^DC1+PD2=a/^432+^62=
7..一个正四面体木块如图所示,点P是棱%的中点,过点P将木块锯开,使截面平行于棱MB和AC若木块的棱长为,则截面面积为.宏案《口木4解析在平面01C内作直线PD〃AC交VC于点,在平面内作直线尸产〃V3交AB于点凡过点作直线石〃V交BC于点已建维EF.•:PF//DE.PDEb四点共面,且平面PZ汨b与V3和AC都平行,则四边形PZ汨尸是边长为方q2的正方形,故其面积为w..已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球的球面上,△A8C是边长为1的正三角形,SC为球的直径,且SC=2则此棱锥的体积为.解析由于三棱锥s—ABC与三棱锥o—ABC底面都是△ABC是SC的中点,因此三棱锥S-ABC的高是三棱锥一A3C高的2倍,所以三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥一A5C体积的2倍.在三棱锥一ABC中,其棱长都是1如图所示,c—近乂公群一近o^ABC—4人人力—4,高8=弋I-停H,・•・Vs—.c=2Vo—a-=2小乎X坐邛..如图,已知点£产分别在正方体ABCQ-AiBGDi的棱83|CG上,且3|£=2EBCF=2FCi则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为.考点二面角题点知题作角解析在平面3G内延长产乙CB相交于点G连结AG过点3作3”垂直AG于点H连结EH.・・3£J_平面ABCDAGU平面ABCD.BELAG.VBH1AGBHCEB=B平面BEH・・AG_LEH.故是平面4石尸与平面A5c所成二面角的平面角.设正方体的棱长为mIQ2贝!]BE=qCF=qa.GB GC=BE CF=\2;♦BG=a:•BH=ga故tanZBHE=.如图,在正方体A3CD—A由CQi中,M是DDi的中点,则下列结论正确的是.(填序号)
①直线AM与直线囱为异面直线;
②直线平面A5C;
③平面AMCJ_平面ABiC;
④直线4M〃平面A3C.答案
①②③解析由异面直线的定义,所以
①正确;易证明BDi_LA3iBDi±AC所以_L平面A囱C所以
②正确;连结8交AC于点O连结OM可以证明所以OMJ_平面ABC可得平面AMCJ_平面ABC所以
③正确;由题意,得直线4M与平面ASC相交,所以
④不正确..一个水平放置的圆柱形储油桶如图所示,桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的京则当油桶直立时,油的高度与桶的高度的比值是.答案・*解析设圆柱桶的底面半径为七高为h油桶直立时油面的高度为X由题意知,油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为全则Q兀r一夕*}=兀/8所以
二、解答题.如图,长方体A3CQ—48G中,AB=16BC=10A4i=8点E尸分别在4囱,ZiCi±Ai£=产=
4.过点£尸的平面a与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.⑴在图中画出这个正方形不必说明画法和理由;⑵求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.解1交线围成的正方形EHGF如图所示.2如图,作垂足为贝|AM=4E=4EBi=l2EM=AAi=
8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=\
0.于是MH=ylEH2-EM2=6A/7=10HB=
6.故S四边形ae/m=]X4+10X8=56S四边形w=]X12+6X8=
72.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,97所以其体积的比值为£《也正确./y.在三棱锥P-ABC中,以,平面ABCAB=AC=2BC=2小MN分别为BCAB的中点.1求证〃平面出C2求证平面P8C_L平面%;⑶在AC上是否存在点E使得A/E平面%C若存在,求出ME的长,若不存在,请说明理由.1证明因为MN分别为BCA5的中点,所以MN〃AC又因为MNC平面RICACU平面3C所以MN〃平面PAC.⑵证明因为山,平面ABC3CU平面ABC所以PALBC.因为A3=AC=2M为3C的中点,所以AMLBC.因为AMG朋=4所以BCJ_平面PAM.因为BCU平面PBC所以平面PBC_L平面PAM.⑶解存在.过点M作MELAC交AC于点E因为B4J_平面ABCMEU平面ABC所以PA±ME.又因为MELACACAB4=A所以ME平面PAC.因为在△ABC中,A8=AC=2BC=2小M为BC的中点,所以ME=与..如图,在四棱锥P—ABCD中,PALCDAD//BCZADC=ZPAB=90°BC=CD=\AD.A⑴在平面处内找一点用,使得直线CM〃平面雨并说明理由;⑵证明平面%3_1_平面尸3D⑴解取棱AD的中点平面以),点M即为所求的一个点,理由如下因为AD〃BCBC=%D.所以3C〃AMkBC=AM.所以四边形AMC3是平行四边形,从而CM〃AA又ABU平面必3平面布3所以CM〃平面PAB.⑵证明连结8由已知,PAA.ABPALCD.因为AD〃8CBC=^AD所以直线A3与CO相交,所以南_!_平面ABCD.从而PAA.BD因为AD〃BCBC=^AD所以3〃/,且BC=MD所以四边形8CDM是平行四边形,所以3A/=CZ=9,所以5ZJ_AA又ABGAP=A所以3_1_平面B4A又3OU平面P所以平面B4BJ_平面P3D
三、探究与拓展.已知A3是球的球面上两点,ZAOB=90°C为该球面上的动点,若三棱锥一A5C体积的最大值为36则球的表面积为.考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题答案144兀解析如图所示,设球的半径为RNA08=90,•S^AOB—q^-•*V三棱锥-ABC=V三棱锥C-AOBy而△A05的面积为定值,,当点C到平面AOB的距离最大时,三棱锥一ABC的体积最大,•••当动点C为与球的大圆面A03垂直的直径的端点时,三棱锥一A3C的体积最大,此时V三棱锥O—A8C=V三棱锥C—AO8=gX护XR=93=36解得H=6则球的表面积为S=4兀72=144兀.
15.如图,菱形A3CQ的对角线AC与5交于点,点E尸分别在A,上,AE=CFEF交BD于点、H将△QE/沿E尸折到△/5E/的位置.1证明AC±HDf;2若A8=5AC=6AE=jOD=2吸,求五棱锥Q,—ABC/E的体积.CF1证明由已知得AC±BDAD=CD又由AE=CF得故AC//EF由此得EFLHDZIjL/折后石尸与〃保持垂直关系,^EFA.HD1所以AC,“.CHAF12解由EF//AC得do=AD=7由A5=5AC=6得0=8=4482—/12=4所以OH=1DH=DH=3于是02+OH2=2y[22+l2=9=DfH29故QJ_0”.由1知AC,,XAC±BDBDCHD=H所以ACJ_平面H,于是AC_L0又由010HACC]0H=0所以QDJ_平面ABC又由第=需得EF=T五边形ABCFE的面积c_lx/r\/o1x/2x/o_69S2X6Xo2X2X3a.所以五棱锥》-ABCFE的体积片9”=等.3空间中的平行关系的内在联系
4.垂直的判定与性质⑴线面垂直的判定与性质2面面垂直的判定与性质⑶空间中的垂直关系的内在联系
5.空间角⑴异面直线所成的角
①定义设与b是异面直线,经过空间任意一点,作直线/〃0bf//b9我们把4与b所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角.
②范围设两异面直线所成的角为伍则0<・
90.
(2)直线和平面所成的角
①平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.
②一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线与平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0的角.
(3)二面角的有关概念
①二面角一般地,一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
②二面角的平面角一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
6.几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式
1.简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.(J)
2.若平面q内的一条直线垂直于平面夕内的无数条直线,则_14(乂)
3.若a_L.〃_L人则a〃a.(X)类型一空间中的平行关系例1如图,EFG”分别是正方体ABCQ—A/CQ的棱3CCCi,Ci£i,A4i的中点求证
(1)G£〃平面⑵平面3DF〃平面BQiH.证明
(1)如图,取BQ1的中点O连结GOOB易证OG吗囱GOGBE••四边形BEGO为平行四边形,,OB//GE.又TOBU平面BDDBGE平面BDDB〃平面BDDyBy.⑵由正方体性质得BtDt〃BD•••BiDi平面BDFBDU平面BDF・・囱1〃平面BDF.连结HBDiF9易证HBFDi是平行四边形,.HDi//BF.又THOM平面BOFBFU平面BDF「•Qi〃平面BDF.•BtDiCHD尸Di•・平面3尸〃平面BiDiH.反思与感悟⑴判断线面平行的两种常用方法
①利用线面平行的判定定理.
②利用面面平行的性质,即当两平面平行时,其中一平面内的任一直线平行于另一平面.⑵判断面面平行的常用方法
①利用面面平行的判定定理.
②面面平行的传递性〃从p//y^a//yY
③利用线面垂直的性质(/_!_*/,4=Q〃份.跟踪训练1如图所示,四边形ABCO是平行四边形,尸B_L平面ABC,MA//PBPB=2MA.在线段P5上是否存在一点儿使平面AFC〃平面尸MD若存在,请确定点方的位置;若不存在,请说明理由.解当点尸是P5的中点时,平面AR2〃平面PMD.证明如下如图,连结6,和AC交于点,连结尸
0.四边形ABCD是平行四边形,•・是的中点.•・/〃PD又0网平面PMQPDU平面PMD.OF//平面PMD.又MA*PB・•PF^kMA.•・四边形AFPM是平行四边形,•・4月〃0团.又4网平面加〃,PA/U平面PMD二•Ab〃平面PMD.XAFAOF=FA/u平面AbCbu平面AR7•・平面A/〃平面PMD.类型二空间中的垂直关系例2如图,斜三棱柱A8C—4BG的底面是直角三角形,NAC3=90,点囱在底面A3C上的射影恰好是的中点,且BC=AA.求证⑴平面ACGA」平面B1GC2BCi±ABi.证明1设3C的中点为连结囱M.・•点Bi在底面ABC上的射影恰好是点M平面ABC.TACU平面ABC.B\MA.AC.XVBC1ACBiMCBC=M平面囱GCA又・・FCU平面ACC•・平面ACGA」平面BCCB.2连结BCTAC,平面BiGCB.AC±BQ.在斜三棱柱A3C—4囱G中,9BC=AAi=CG.•••四边形8cle8是菱形,.ByCLBC\.XVBiCnAC=C,台],平面AC
31.BC\LAB\反思与感悟空间垂直关系的判定方法1判定线线垂直的方法
①计算所成的角为90包括平面角和异面直线所成的角.
②线面垂直的性质若〃_LabUa则⑵判定线面垂直的方法
①线面垂直定义一般不易验证任意性.
②线面垂直的判定定理q_LZq_LcbUacUabC\c=M^a±a.
③平行线垂直平面的传递性质m〃,b1a^a±a.
④面面垂直的性质a_LQaC0=laU.aJ_/=a_La.
⑤面面平行的性质qj_aq〃夕今〃JL夕.
⑥面面垂直的性质04=/a_Ly^±y=/±y.3面面垂直的判定方法
①根据定义作两平面构成二面角的平面角,计算其为90°.
②面面垂直的判定定理_1£aUq今跟踪训练2如图,ABC为空间四点.在△ABC中,AB=2AC=BC=5等边△498以AB为轴运动.⑴当平面ADB_L平面ABC时,求CQ;2当△AO8转动时,是否总有48_LCO证明你的结论.解1如图,取A3的中点£连结DECE因为△A08是等边三角形,所以EL4A当平面AO8平面ABC时,因为平面ADBA平面ABC=AB所以平面ABC可知DELCE.由已知可得£=/,EC=1在RtZXQEC中,CZ=^DE2+EC2=
2.2当△AO8以A5为轴转动时,总有证明如下
①当在平面ABC内时,因为AC=3CAD=BD所以C都在线段A5的垂直平分线上,即ABLCD
②当不在平面43C内时,由1知ABIDE.又因为AC=5C所以又DECCE=E所以A3平面COE由COU平面COE得45J_CD综上所述,总有AB_LCD.类型三平行与垂直的综合应用例3如图,在四棱锥RA3CO中,尸C平面ABC,AB//DCDCA.AC.1求证QC_L平面B4C;⑵求证平面平面aC;⑶设点E为A8的中点,在棱P5上是否存在点尸,使得必〃平面£尸?说明理由.1证明平面ABC,OCU平面ABCZ•・2,.又4_1,PCDAC=CPCU平面B4cACU平面B4C,,平面/
4.2证明TAB,CD_L平面41C・・AB,平面RICABU平面B4B•・平面布8_1_平面PAC.⑶解棱尸3上存在点尸,使得布〃平面CEE证明如下取PB的中点乙连结£入CE凡石为的中点,/为△雨5的中位线,・・・石/〃弘.又以平面CEFEbU平面CEF,%〃平面CEF.反思与感悟平行、垂直也可以相互转化,如图.跟踪训练3在如图所示的几何体中,是AC的中点,EF//DB.1已知求证AC±FB;2已知GH分别是EC和所的中点.求证G〃平面A8C证明1因为所以EF与DB确定平面BDEF如图,连结QE.因为A£=EC为AC的中点,所以QE,AC同理可得80AC又BDCDE=D所以ACJ_平面BDEF.因为bBU平面BDEF所以⑵设尸C的中点为/连结GIHI.在/中,因为G是CE的中点,所以GI//EF.LEF//DB.所以GI//DB.在△CR5中,因为”是的中点,所以小〃8C又4/AG/=/所以平面G”/〃平面ABC因为GHU平面GH/所以G〃平面ABC.类型四空间几何体的表面积与体积例4如图,从底面半径为2m高为小的圆柱中,挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥,求圆柱的表面积S与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.解由题意知,Si=2兀义2Xy[3a+2兀*2a2=4^3+8兀/52=51+兀八//2+屋—兀/=4小+9兀/.S[§2=4/+845+
9.反思与感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法1等积变换法三棱锥也称为四面体,它的每一个面都可作底面来处理,恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.2割补法像求平面图形的面积一样,割补法是求几何体体积的一个重要方法,“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体;“补”就是通过补形,使它转化为熟悉的几何体.总之,割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.3展开法把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形,这样便把空间问题转化为平面问题,可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上球除外两点间的距离问题.4构造法当探究某些几何体性质较困难时,我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中,如正方体等这些对称性比较好的几何体,以此来研究所求几何体的性质.跟踪训练4如图所示的正方体A8CQ—A而的棱长为〃,求三棱锥4—A3的高.解设三棱锥Ay-ABxDx的高为h9则Va「abr斗X坐义曲尸号.又匕「m==|«Xp=^-所以4警=9,所以人=卓以V_zk_/所以三棱锥Ax-ABxDx的高为治..如图,AEJ_平面a垂足为点E即」_平面a垂足为点RICD^aAC1/则当BD与I时,平面ACE〃平面8丘.答案垂直解析当时,由3尸_1_/知,/_!_平面BOF.又同理可得LL平面ACE所以平面ACE〃平面BFD..已知平面a〃4〃彩两条直线/相分别与平面aB,y相交于点4BC和,EFDE2已知A5=67^=E,贝i」AC=.Urj答案15DE_2门DE_
2.AB=2由市一^^~EF~y^~BC~y而AB=
6.BC=
99.AC=AB-\-BC=l
5.设小,%/是三条不同的直线,是一个平面,/Ln则下列说法正确的是.(填序号)
①若加zl.La则m//a;
②若/_L〃,则mJ_〃;
③若l.Ln则m//〃;
④若〃2〃〃,〃u,则/J_a.答案
①解析若l-Lm/±n则m与〃可能平行,也可能相交或异面,即
②③都不正确;由l-Lmm//n可得/_L〃,不一定有/_La即
④不正确;对
①,可在/上取一点P过尸作机//m则m±Zm与/确定一个平面0[3Ca=a由/_La得/_La.又Ma/同在平面用内,则由/J_M/_L〃,得相//a于是根〃,又mQa所以相〃a故填
①..已知圆锥的母线长为10cm侧面积为60兀cn则此圆锥的体积为cm
3.答案96兀解析圆锥的侧面积为兀/7=10〃=60兀,得〃=
6.则h=y[P—P=^/102—62=8所以圆锥的体积为5,/z=%X62X8=96兀.如图所示,%J_平面A8c点在以为直径的圆上,点E为线段P8的中点,点M在A3上,且OM〃AC求证⑴平面MOE〃平面%C;2平面%C_L平面PCB.证明1因为点E为线段P5的中点,点为线段的中点,所以OE〃勿因为雨U平面布COEQ平面%C所以OE〃平面PAC.因为M〃AC又ACU平面%C的平面%C所以OM〃平面PAC.因为OEU平面MOEOMU平面MOEOEGOM=O所以平面MOE〃平面PAC.2因为点在以A3为直径的圆上,所以NAC8=90,BPBC.LAC.因为B4J_平面A3C3CU平面ABC所以B4_L3C因为ACU平面B4C必u平面RICPAHAC=A所以3CJ_平面PAC.因为3CU平面PC3所以平面出,平面PC
5..空间中平行关系的转化.空间中垂直关系的转化.空间角的求法⑴找异面直线所成角的三种方法
①利用图中已有的平行线平移.
②利用特殊点线段的端点或中点作平行线平移.
③补形平移.2线面角求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.
一、填空题判定性质定义定理图形aba*b]Z/z/条件bQa4〃ba」a〃〃aaCB=b结论a//ab//aa//b判定性质定义定理图形/d//B~b///石/z^7%/条件aU6bu}aCb=Palla、/〃aa〃/aC/=qa〃4,qU夕结论a//palla//ba//a文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直£kJ/U见l±a\〃性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面4a邛、aCB=aIElA-aP/J_a/J1面积体积圆柱S侧=2兀历V=S/z=7n%圆锥S侧=兀〃V—3S/Z—3兀广力—3兀厂Y卜r圆台S侧=兀(门+r2)/V—3(S上+S下+、/S上S下汝一3兀(齐+8+〃-2)力直棱柱S侧=chV=Sh正棱锥3侧—2c々V-\sh正棱台S侧=/c+〃hfv=;(s上+s下球S球面=4兀/2V—前3。