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模块综合试卷二时间:120分钟满分160分
一、填空题本大题共14小题,每小题5分,共70分.下列说法中正确的是.填序号
①棱柱的侧面可以是三角形;
②正方体和长方体都是特殊的四棱柱;
③所有的几何体的表面都能展成平面图形;
④棱柱的各条棱都相等.答案
②解析
①不正确,棱柱的侧面都是四边形;
③不正确,如球的表面就不能展成平面图形;
④不正确,棱柱的各条侧棱都相等,但侧棱与底面的棱不一定相等;
②正确..直线〃x+Zy+4=0和1—ax—y一8=0都平行于直线x+2y+3=0则=,bP=2a-1搂=
2.已知圆G一22+-32=1圆G x—32+-42=9MN分别是圆G,Q上的动点,P为x轴上的动点,则IPM+FN的最小值为.考点题点答案5也一4解析由题意知,圆C\x—22+j—32=1圆Q%—3+y—4=9的圆心分别为G23C234且PM+PN2PG+PQ—4点G23关于x轴的对称点为C2-3所以PG+PC2=PC+PC229=5班即PM+PN^PCi+PC2-4^5V2-
4..等边圆柱底面直径和高相等的圆柱的底面半径与球的半径相等,则等边圆柱的表面积与球的表面积的比值为.解析设球的半径为R等边圆柱的表面积Si=2ttRX2R+2X7iR2=6兀R2球的表面积§2=4兀7RS67iR
23.已知圆C的圆心为2-2且圆上的点到y轴的最小距离是1则圆的标准方程为答案X—22++22=1解析由题意得圆上的点到y轴的最小距离是1得圆的半径厂=1•••圆的圆心为2-2•••圆C的标准方程为x—22++22=
1..已知两条不同的直线〃2I两个不同的平面GB,给出下列命题
①若/垂直于内的两条相交直线,则/,如
②若/〃
④则/平行于内的所有直线;
③若机U,/uQ且/_1_m,则4;
④若/U夕,/±«则aJ_Q;
⑤若mUq/u夕且q〃夕,则加///.其中正确命题的序号是.把你认为正确命题的序号都填上答案
①④解析
①由直线与平面垂直的判定定理知
①正确;
②一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内的直线可以平行、异面,故
②错误;
③两个平面内只有一组直线互相垂直并不能判定这两个平面垂直,故
③错误;由两个平面垂直的判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直,故
④正确;
⑤两个平面平行,则两个平面内的直线可以平行、异面,故
⑤错误..已知A8两点分别在两条互相垂直的直线2x—y=0和x+ay=O上,且线段A3的中点为《0与,则线段A3的长为.答案10解析直线2x—y=0的斜率为2x+ay=0的斜率为一E因为两直线垂直,所以一=一;,所以=
2.所以直线方程为x+2y=0线段AB的中点尸
05.设坐标原点为3则0P=5在直角三角形中斜边的长度AB=2OP=2X5=10所以线段AB的长为
10..如图,E尸分别为正方形ABCO的边8CCO的中点,AB=2沿图中虚线将该正方形折起来,围成一个三棱锥,则此三棱锥的体积是.解析折叠起来后,BC三点重合,设为点S则围成的三棱锥为S—其中,SA±SESA1SF所以S4平面SEF.又且SA=2SE=SF=\所以此三棱锥的体积V=^sepSA^X^X1X1X2=
1..直线y-1=网1一3被圆工-22+-22=4所截得的最短弦长等于.答案班解析直线y—l=Ax—3恒过定点尸31当圆被直线截得的弦最短时,圆心C22与定点尸31的连线垂直于弦,弦心距为72—32+2—12=•••所截得的最短弦长为2y22_也2=2吸..若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x—45+4=0关于直线I对称,则直线/的方程为答案%-y+2=0解析两圆的圆心分别为G002—22由题意知,直线/是线段CC2的垂直平分线,工/的方程为y—1=x+1即%—y+2=
0..已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球的球面上,且AB=6BC=2小则棱锥O—ABCD的体积为.答案85解析如图所示,连结矩形对角线的交点1和球心,则AC=
4、/§OiA=7;AC=2yl3四棱锥的高为010川42_2小2=2所以,体积为V=gx6X25X2=
85..已知点A02B
20.若点C在函数>=/的图象上,则使得△A5C的面积为2的点C的个数为.答案4解析设CGP由42B20易求得直线A5的方程为y=—x+
2.Saabc=5*I5+1~2|・令『+/—2|=2得—2=±2••2+/=0或於+/—4=0符合题意的,值有4个,故满足题意的点C有4个..如图,在正四棱锥S—ABC中,EMN分别是8CCDSC的中点,当动点P在线段MN上运动时,下列四个结论
①EP//BD;2EP±AC;
③平面SAC;
④EP〃平面SBD.其中恒成立的为.填序号答案
②④解析如图所示,连结AC80相交于点,连结EN.在
①中,只有当点尸与点M重合时,EP//BD故不正确;在
②中,由正四棱锥S—A3CO可得S,底面45CD.SO±AC.又ACLBQ且SO03=,♦.AC,平面SBD.:EMN分别是3GCDSC的中点,.EM//BDMN//SD而•・平面EMN〃平面S3・・・AC_L平面EMMAAC1EP故正确;在
③中,由
②同理可得石平面S4C当点P与点M不重合时,若_L平面SAC贝尸〃EM与EPn£M=石相矛盾,因此当点尸与点M不重合时,EP与平面SAC不垂直,故不正确;在
④中,由
②可知平面EM7V〃平面SBD•・〃平面S3,故正确.
14.在平面直角坐标系xOy中,已知点A02直线/x+厂4=0点8%y是圆C/+产一2x—1=0上的动点,A,/BEL垂足分别为DE则线段DE的最大值是.答案学解析•••A02AD±/••・直线AO的方程为y=x+2与x+y=4联立,得
13.依题意知,BE//AD.设直线3E的方程为y=x+b当直线BE与圆C相切时,可求得/=-3或8=1结合图形知b=\不合题意,舍去.故直线BE的方程为尸工—
3.y=x—3由|[x+y=4;5yli~
2.
二、解答题本大题共6小题,共90分.14分在平面直角坐标系工,中,已知直线/的方程为2x+Z—3y—2Z+6=0k^R.⑴若直线/在x轴、y轴上的截距之和为1求坐标原点到直线/的距离;⑵若直线/与直线小2x—y—2=0和京x+y+3=0分别相交于43两点,点PQ2到A3两点的距离相等,求的值.解1令x=0得直线/在y轴上的截距yo=2;令y=0得直线/在x轴上的截距项=%—3依题意得%—3+2=1解得人=2所以直线方程为2x-y+2=0所以原点到直线I的距离d=7普⑵由于点PQ2在直线/上,点P到A3的距离相等,所以点P为线段A5的中点.设直线/与2%——2=0的交点为Axy则直线I与x+y+3=0的交点为3—x4—yx=3解得即A34b=4又点A在直线/上,所以有2X3+攵-3X4—2义攵+6=0即%=
0..14分如图,在三棱锥A—BCD中,A5_L平面BCOCD1BD.1求证CDJ_平面A3;2若A3=BD=CO=1M为AO的中点,求三棱锥A—M8C的体积.1证明平面BCDCQU平面BCD.AB.LCD.•CDLBDABCBD=BAB8£u平面ABO・・.CQJ_平面A3D2解:川,平面BCDBDU平面BCD.AB±BD•/4B=BZ=19••SdABD=r^.•:M为AD的中点,/.S^abm=^S^abd=~^-平面A•e•%—M8c=Vc—abm=CD=
17.14分如图,在三棱柱ABC—A8G中,侧棱垂直于底面,AB.LBCA4i=AC=2BC=1Eb分别是4G,3c的中点.1求证平面A3E,平面313CG;2求证尸〃平面ABE;⑶求三棱锥E—ABC的体积.⑴证明在三棱柱ABC—ABG中,侧棱垂直于底面,.BBi±AB9VAB±BCBBgBC=BBBi3CU平面BiBCG・・A8平面BiBCG.〈ABU平面ABE•・平面A8EJ_平面BiBCCi.⑵证明取A5的中点G连结EGFG••]是3c的中点:・FG〃ACFG=;AC••E是4c的中点:・FG〃EC\FG=EG••四边形/GEG为平行四边形,C1F//EG.又・・・1网平面ABEEGU平面ABE••G尸〃平面ABE3ftVA4i=AC=2BC=1AB1BC小,e•yE—ABC=^S/\ABCAA1XIX2=^.16分已知圆M的方程为炉+一22=1直线/的方程为x—2y=0点尸在直线/上过点P作圆的切线B4PB切点为AB.⑴若NA尸3=60,试求点尸的坐标;⑵若点P的坐标为21过点P作直线与圆M交于C两点,当也时,求直线C的方程.解⑴设P2也加由圆的半径为1NMP4=;NAP3=30可知,MP=2所以2〃22+根-22=44解得〃2=0m=m,2易知直线8的斜率存在,设直线的方程为y—1=网九一
2.由题知圆心M到直线解得%=—1或%=—故所求直线CO的方程为x+y—3=0或x+7y—9=
0.16分如图1所示,在RtZXABC中,ZABC=90°点为AC的中点,于点E不同于点,延长AE交于点R将△A3沿8折起,得到三棱锥Ai—BCD如图⑵所示.⑴若点M是b的中点,求证直线M〃平面4ER2求证BD1A1F;⑶若平面480J_平面BCD试判断直线45与直线CO能否垂直,并说明理由.1证明在图⑴/XARS中,因为,M分别为ACbC的中点,所以0M〃石氏在图2中仍然成立.又因为E/U平面4£凡OMQ平面4ER所以0M〃平面A\EF.2证明因为EF_LBD且AiEE/u平面4EE所以80平面4EE又因为AFU平面4E凡所以⑶解直线43与直线CO不能垂直.理由如下因为平面平面BCD平面48Dn平面3CD=3OEFLBDEFU平面BCD所以政,平面ABD因为ABU平面A山,所以A]B_L£E又因为EFV/DM所以假设45_LCD因为Ai3_LQMCDnDM=D所以43_L平面5CQ所以Ai3_L3£显然不成立,所以直线48与直线CO不能垂直.(16分)在平面直角坐标系x0y中,已知圆心在x轴上、半径为2的圆位于y轴右侧,且与直线x-V3y+2=0相切.⑴求圆的方程;
(2)在圆上,是否存在点M几)使得直线/mx+〃y=l与圆O/+2=1相交于不同的两点AB且△QA8的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△043的面积;若不存在,请说明理由.解⑴设圆心为(沏0)(沏0)解得xo=2或xo=-6(舍去).所求圆的方程为(%—2)2+y2=
4.
(2)丁点”(加Q在圆上(m—2)2+n2=4层=4—(m—2=4加一於且0W/nW
4.又.••原点到直线/tx+〃y=l的距离解得1相
4.又45=2寸1一龈••1v1〃・mW茄1•e•当4舞=2即机=2时,S/\QA8取得最大值此时点M的坐标为¥)与(;,—孝}面积的最大值为今。