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《概率论与数理统计》第一章随机事件与概率.事件的关系A仁BA同BABA-B1业OAB=O.运算规则⑴A同B=B同AAB二BA⑵(A同B)同C=A同(B同C)(AB)C=A(BC)⑶A同BC=AC同BCAB同C=A同CB同C⑷A同B二ABAB二A同B.概率P(A)满足的三条公理及性质:⑴0共PA共1⑵P业=1⑶对互不相容的事件AA…,A,有P(Ua)=Xp(A)12nkkk=1k=14P0=05PA=1-PA7PA同B=PA+PB-PAB8PA同B同C=PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC.古典概型基本事件有限且等可能.几何概率.条件概率1定义若PB0则PA|B=可舞PB2乘法公式PAB=PBPA|B若BB…B为完备事件组,PB0则有12ni3全概率公式PA=XnpBPA|Biii=1c/c.A\PBPA\BBayes公式PB|A=1—kXnpBPA|Bii=1AB独立一PAB=PAPB1xLL|
2.若连续型随机变量X的概率密度为fx二「年二2^-WXWJ2”装其中山,装装〉0为常数,则称X服从参数为山,装的正态分布或高斯分布,记为X〜Nli|装2特别,当山二0装二1时称随机变量X服从标准正态分布§5随机变量的函数的分布定理设随机变量X具有概率密度fx-wxw又设函数gx处处可导且恒有Xg,x0则y=gX是连续型随机变量,其概率密度为fV=^y|l/ry|ayb丫V°,其他第三章多维随机变量§1二维随机变量定义设E是一个随机试验,它的样本空间是S={e}.X=Xe和Y=Ye是定义在S上的随机变量,称X=Xe为随机变量,由它们构成的一个向量XY叫做二维随机变量设XY是二维随机变量,对于任意实数xy二元函数Fxy=P{X共x后Y共y}记成P{X共x丫共y}称为二维随机变量XY的分布函数如果二维随机变量XY全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,则称XY是离散型的随机变量我们称PX=xY=y=pij=
12...为二维离散型随机变量XY的iJU分布律对于二维随机变量XY的分布函数Fxy如果存在非负可积函数fxy••使对于任意Xy有Fxy=JyJxfuvdudv则称XY是连续性的随机变量,-w-w函数fxy称为随机变量XY的概率密度,或称为随机变量X和Y的联合概率密度§2边缘分布二维随机变量XY作为一个整体,具有分布函数FXy.而X和Y都是随机变量,各自也有分布函数,将他们分别记为FxFy依次称为二维随机变量XYXY关于X和关于Y的边缘分布函数分别称PPj为XY关于X和关于Y的边缘分布律f(X)=J*f(Xy)dyxfy为XY关于X和关于Y的边缘概率密度Y§3条件分布定义设x丫是二维离散型随机变量,对于固定的j若P{Y=y}ojP{X二XY=y}p则称P{X二x」二y}二j=-i=
12...为在Y=y条件下ijP{Y=y}pjjjP{X=xY=y}p随机变量X的条件分布律,同样P{Y=yX=X|}=!!_=_JLj=
12...jliP{X二x}pii.为在X=x条件下随机变量X的条件分布律i设二维离散型随机变量XY的概率密度为fXyXY关于Y的边缘概率密度为fyy若对于固定的yfyy〉o则称f便y\y为在Y=y的条件下x的条件/r\fxy概率密度,记为f保/=/xiy1fy§4相互独立的随机变量定义设Fxy及FxFy分别是二维离散型随机变量XY的分布函XY数及边缘分布函数若对于所有xy有P{X=xY=y}=P{Xx}P{Yy}即F{xy}=FxFy则称随机变量X和丫是相互独立的XY对于二维正态随机变量XYX和Y相互独立的充要条件是参数P=0§5两个随机变量的函数的分布1,Z=X+Y的分布设XY是二维连续型随机变量,它具有概率密度fxy.则Z=X+Y仍为连续性随机变量,其概率密度为fz=jTz—yydy或fz=jxfxz—xdxX+Y_X+Y又若X和Y相互独立,设XY关于XY的边缘密度分别为fxfy则xYfx+Yz=p fxz—yfyydy和fx+Yz=pfxx£丫亿—xdx这两个公式称为ff的卷积公式XY有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布Y2Z=一的分布、Z=XY的分布XY设XY是二维连续型随机变量,它具有概率密度fxy则2=一,Z=XYX仍为连续性随机变量其概率密度分别为fz=p「fx」dx又若X和Y相互独立,设XY关于XY的边缘密度分别XY.x|x|X为fxfy则可化为fz=Pxfxfxzdxx丫yx-xxYfz=Cp”二fxf台dxXY_x|x|XYX3M=max{XY}N=min{XY}的分布设XY是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FXFy由于XYM=max{XY}不大于z等价于X和Y都不大于z故有P{Mz}=P{XzYVz}又由于X和Y相互独立,得到M=max{XY}的分布函数为Fz=FzFzmaxXYN=min{XY}的分布函数为Fz=1-tl-Fz][-Fz]minXY第四章随机变量的数字特征§
1.数学期望定义设离散型随机变量X的分布律为P{X=x}=pk=12…若级数2xp绝对kkkkk=1收敛,则称级数23cxp的和为随机变量X的数学期望,记为EX即EX=1xpkkkkk=1i设连续型随机变量X的概率密度为fx,若积分pxXfxdx绝对收敛,则称积分JwXfxdx的值为随机变量X的数学期望,记为EX即EX=J+Wxfxdxw一_w定理设Y是随机变量X的函数Y=gXg是连续函数⑴如果X是离散型随机变量,它的分布律为P{X=x[=pk=12…若XWgxpKKKKk=1绝对收敛则有EY=EgX=XWgxpkkk=1ii如果X是连续型随机变量,它的分概率密度为fx若Jwgxfxdx绝对收敛则_w有EY=EgX=jwgxfxdx_w数学期望的儿个重要性血1设C是常数,则有EC=C2设X是随机变量,C是常数,则有ECX=CEX3设XY是两个随机变量,则有EX+Y=EX+EY;4设X丫是相互独立的随机变量,则有EXY=EXEY§2方差定义设X是一个随机变量,若E{[x_EX12}存在,则称E{[x_EX12}为X的方差记为Dx即Dx=E{[x_EX12}在应用上还引入量px7记为装x称为标准差或均方差DX=EX_EX2=EX2_EX2方差的几个重要性质1设C是常数,则有DC=02设X是随机变量,C是常数,则有DCX=C2DXDX+C=DX设XY是两个随机变量,则有DX+Y=DX+DY+2E{X-EXY-EY}特别,若XY相互独立则有DX+Y=DX+DYDX=0的充要条件是X以概率1取常数EX即P{X=EX}=1切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望EX二装2则对于任意正数c不等式P{|X-dJe}共七成立e2§3协方差及相关系数定义量E{[X-EX][Y-EY]}称为随机变量X与丫的协方差为CovXY即CovXY=E[X-EXY-EY]=EXY-EXEYCovXY而p=-/三称为随机变量X和丫的相关系数内,DX\DY对于任意两个随机变量X和YDXV=DX+DY+2CovXY协方差具有下述性质1CovXY=CovYXCovaXbY=abCovXY2CovX+XY=CovXY+CovXY212定理1IPXYI»|PJ=1的充要条件是存在常数ab使P{Y=a+bx}=1XY当P=0时,称X和丫不相关XY附几种常用的概率分布表第五章大数定律与中心极限定理§
1.大数定律弱大数定理辛欣大数定理设X1X…是相互独立,服从统一分布的随机变量序列,并具有数学期望EX=Lljk=
12....作前n个变量的算术平均」X「x则对于任意knkk=1Unx-lLjnkk=1定义设YY…Y...是一个随机变量序列,a是一个常数,若对于任意正数C有12nlimP{|Y-a|C}=1则称序列YY,…丫…依概率收敛于a记为Yra伯努利大数定理设f是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试AlimpJL-pc}=0nwInI§2中心极限定理定理一独立同分布的中心极限定理设随机变量XXX相互独立,服从同一12n分布,且具有数学期望和方差EX二山,DX=装2k=12•••则随机变量之和ikXnx-EXnxXnx-milx「x标准化变量Y-k-1k―ri=1kn[DXnX由装,\k1k=1定理二李雅普诺夫定理设随机变量XXX…相互独立,它们具有数学期望12n和方差EX二山,DX=装20k=12…记B2=Xk2kkkknkk=1定理三棣莫弗-拉普拉斯定理设随机变量n=12…服从参数为np0pv1的二项分布,则对任意xWlimP{nn~np^x}=Jx-l=e2dt=^xneJnp1-P-xv2n第二章随机变量与概率分布
1.离散随机变量取有限或可列个值,PX=X=p满足1P之02Xp=1・・••IIII⑶对任意D仁RPX=D=Xpi以书■
2.连续随机变量具有概率密度函数fX满足1fX之Oj+Wfxdx=1;-wPa共X共b=jbfxdx;⑶对任意a=RPX=a=
03.几个常用随机变量
4.分布函数Fx=PX共X具有以下性质⑴F―W=0F+W=1;⑵单调非降;3右连续;4PaXftb=Fb—Fa特别PXa=1—F⑻;5对离散随机变量,Fx=Xp;ii:x*x・6对连续随机变量Fx=Jxftdt为连续函数且在fx连续点上,F-x=fx—w正态分布的概率计算以Cx记标准正态分布N01的分布函数,则有V—III⑴CO=
0.5;⑵C-x=1-Cx;⑶若X~N山G2贝旧x=C-r;4以u记标准正态分布N01的上侧a分位数,则PXu=a=1-Du随机变量的函数Y=gX1离散时,求Y的值,将相同的概率相加;2X连续,gx在X的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则fy=fg-iyIg-iyI,若不单调,先求分布函数,再求导YX第四章随机变量的数字特征
1.期望1离散时EX=ZxpEgX=Zgxp;iiii2连续时EX=JQxfxdxEgX=J〜gxfxdx;-ac-ac3二维时EgXY=XgxypEgX5Y=J^gxyfxydxdyij°-byi,J4EC=C;5ECX=CEX;6EX+Y=EX+EY;7XY独立时EXY=EXEY
2.方差1方差DX=EX-EX2=EX2_EX,标准差oX=、DXj;DC=0DX+C=DX;DCX=C2DX;XY独立时,DX+Y=DX+DY
3.协方差⑴CovXY=E[X-EXY-EY]=EXY-EXEY;⑵CovXY=CovYXCovaXbY=abCovXY;⑶CovX+XY=CovXY+CovXY;1212CovXY=0时,称XY不相关,独立=不相关,反之不成立,但正态时等价;DX+Y=DX+DY+2CovXY4•相关系数p=CovXY;有区1|p|=1多,bPY=aX+b=1xyoXaY
5.k阶原点矩v=EXkk阶中心矩A=EX-EXkkk第五章大数定律与中心极限定理.Chebyshev不等式P{|X-EX|e}DX_或P{|X-EX|e1-DX—£2£
2.大数定律.中心极限定理1设随机变量xXX独立同分布EX=|4DX=O2,则SnX-Nnpnc2或」2X〜Nt或——〜N012设m是n次独立重复试验中A发生的次数,PA=p则对任意x有limP{m二<x}=Dx或理解为若X〜Bnp,则X〜Nnpnpqnqnpq近似第六章样本及抽样分布
1.总体、样本简单随机样本即独立同分布于总体的分布注意样本分布的求法;样本数字特征样本均值元XEq=M口闪二三;样本方差S2=1AX二天2ES2=G2样本标准差s=l_LEnx-x2样本k阶原点矩v=!ZnXk,样本k阶中心矩口=LEx-Fk.统计量样本的函数且不包含任何未知数.三个常用分布注意它们的密度函数形状及分位点定义1X2分布%2=X2+x2+..・+X2〜/2n其中XXX独立同分布于标准正态分布N01若X〜%2nY〜X2n且独立,则X+Y〜%2n+n;X/n3F分布F=1—〜Fn5n其中X-pnY-pn且独立,有下面的Y/n12122性质--FnnFnn=\——F21i-u12Fnnu
21.正态总体的抽样分布Npa2/n;⑵—1Z“X-p2-y2n;C2iis13⑺-1S2〜72n—1且与X独立;02_S2/02「//J\
(6)F=11——〜F(n-1n-1)S2/021222第七章参数估计.矩估计
(1)根据参数个数求总体的矩;
(2)令总体的矩等于样本的矩;
(3)解方程求出矩估计.极大似然估计
(1)写出极大似然函数;
(2)求对数极大似然函数
(3)求导数或偏导数;
(4)令导数或偏导数为0解出极大似然估计(如无解回到
(1)直接求最大值,一般为min{x}或max{x}).估计量的评选原则⑴无偏性若E«r)=u则为无偏;
(2)有效性两个无偏估计中方差小的有效;
4.参数的区间估计(正态)《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§
2.样本空间、随机事件.事件间的关系A彳二B则称事件B包含事件A指事件A发生必然导致事件B发生AuB={x|x£A或x£B}称为事件A与事件B的和事件,指当且仅当AB中至少有一个发生时,事件AuB发生AnB={x|xgA且xgB称为事件A与事件B的积事件,指当AB同时发生时,事件AcB发生A—B={x|xgA且X茫B称为事件A与事件B的差事件,指当且仅当A发生、B不发生时,事件A—B发生AcB=0则称事件A与B是互不相容的,或互斥的,指事件A与事件B不能同时发生,基本事件是两两互不相容的=AcB=O则称事件A与事件B互为逆事件,又称事件A与事件B互为对立事件.运算规则交换律AuB=BuAAnB=BnA结合律AuBuC=AuBuCAnBC=ABrC分配律AuBcC=AuBnAuCAnBoC=AnBAnC德摩根律AuB=AnBAnB=AoB
3.频率与概率定义在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数n称为事A件A发生的频数,比值称为事件A发生的频率概率设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为PA称为事件的概率.概率PA满足下列条件1非负性对于每一个事件A0PA12规范性对于必然事件SPS=1⑶可列可加性设AAA是两两互不相容的事件,有PUA=XnpAn可12nkkk=1k=1以取W.概率的一些重要性质iP0=0ii若AAA是两两互不相容的事件,则有PUnA=XnpAn可以取w12nkkk=1k=1iii设AB是两个事件若A彳二B则PB-A=PB-PAPBPAiv对于任意事件APA共1vPXT=1-PA逆事件的概率vi对于任意事件AB有PA同B=PA+PB-PAB§4等可能概型古典概型等可能概型试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同若事件a包含k个基本事件,即A={e}U{e}U...U{e}里h]“1kii…,i是12…n中某k个不同的数,则有12kXkPokA包含的基本事件数rA=APfe}=ii_nS中基本事件的总数i=i.条件概率1定义设AB是两个事件,且PA0称PB|A=PAB.为事件A发生的条一A件下事件B发生的条件概率条件概率符合概率定义中的三个条件1非负性对于某一事件B有PB|A02规范性对于必然事件SPS|A=13可列可加性设BB…是两两互不相容的事件,则有12PUW^A=XwpE|Ai=1i=1乘法定理设PA0,则有PAB=PBPA|B称为乘法公式4全概率公式PA=XnpBPA|Biii=1PBPA|B贝叶斯公式PBJA=J।JkZp«BPAIBiii=
1.独立性定义设AB是两事件,如果满足等式PAB=PAPB则称事件AB相互独立定理一设AB是两事件,且PA0若AB相互独立,则PB|A=PB定理二若事件A和B相互独立,则下列各对事件也相互独立A与BK与B耳与B第二章随机变量及其分布§1随机变量定义设随机试验的样本空间为S={e}.X=Xe是定义在样本空间S上的实值单值函数,称X=Xe为随机变量§2离散性随机变量及其分布律.离散随机变量有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为离散型随机变量PX=X=P满足如下两个条件1p02XWP=1kkkkk=
1.三种重要的离散型随机变量10—1分布设随机变量X只能取0与1两个值,它的分布律是PX=k=pki-pikk=010p1则称x服从以p为参数的o-i分布或两点分布2伯努利实验、二项分布设实验E只有两个可能结果A与氏则称E为伯努利实验.设PA=p0p1此时PK=1-p.将E独立重复的进行n次,则称这一串重复的独立实验为n重伯努利实验PX=k=||||pkqn-kk=012…n满足条件⑴P0⑵乙P=1注意Kkk到||||pkqn-k是二项式p+qn的展开式中出现pk的那一项,我们称随机变量X服从参数K为np的二项分布3泊松分布设随机变量X所有可能取的值为012…,而取各个值的概率为PX=k=k=012…,其中入0是常数,则称X服从参数为入的泊松分布记为K!X~入§3随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量,x是任意实数,函数Fx=P{X不x}-wxw称为X的分布函数分布函数Fx=PX不x具有以下性质⑴Fx是一个不减函数20不Fx不1且F-w=0Fw=13Fx+0=Fx即Fx是右连续的§4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量如果对于随机变量X的分布函数Fx存在非负可积函数fX使对于任意函数x有Fx=jxftdt则称x为连续性随机变量,其中函数fx称为X-w的概率密度函数,简称概率密度■1概率密度fX具有以下性质,满足⑴fX之02J+Wfxdx二1;-W3Px不X不x二『2fxdx;⑷若fx在点x处连续,则有F,x=fx12X12三种重要的连续型随机变量1均匀分布|1Ila《xvh若连续性随机变量X具有概率密度fx二〈,则成X在区间ab上服从|l0其他均匀分布•记为X~Uab2指数分布|/1若连续性随机变量X的概率密度为fX=〈铲、9,工0苴中90为常数,则称X|10,其他服从参数为9的指数分布3正态分布分布参数分布律或概率密度数学期望方差两点分布0p1P{X=k=pk1-pi-kk=01pP1-p二项式分布n10p1PX=k=Ckpk1-pn-kk=
01...nnnpnp1-P泊松分布入0px二k二入ke-入jk=o/
2...k!入入几何分布0p1PX=k二1-pk-ipk=
12...1p1P2均匀分布abfx=Uaxb|l0,其他a+b2b-a212指数分布90fX=〈%6x9X|l0,其他992正态分布山装0fx=1e-安di装2名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布B1pPX=1=pPX=0=q=1—pppq二项式分布BnpPX=k=Ckpkqn-kk=
012...nnnpnpqPoisson分布P入入kPX=k=mWk=012・・・k!入入儿何分布GpPX=k=qk-ipk=
12...26qP2均匀分布Uabfx=—Ua共X共bb-aa+b2b—a212指数分布E入雄二入-入/之01A1入2正态分布N山G2fx=_2G
2、诙G山G2参数条件估计函数置信区间M2已知x-pu=O/布[x+U2]9y/n22未知-s/Vn[x5tn-12^]Uy/n2Q2M未知z2=n-1S202n-1s2n-1S2X2n-1n-1:
1.22。