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课时跟踪训练五十三[基础巩固I
一、选择题
1.
2017.广东汕头质检已知抛物线C2=以的焦点为尸,直线y=2x—4与C交于AB两点则cosNAM=44c3〃3c4A.tB.tC.-7D.—7[解析]•.•抛物线C2=4x的焦点为尸,,点尸的坐标为
10.又•・直线y=2x—4与交于A3两点,3两点坐标分别为1-244则的=0-26=34・・・cosNAF3=同警=是IMHFBI4=一彳.故选D.[答案]D
2017.北京东城期末过抛物线心=4%的焦点作一条直线与抛物线相交于AB两点,它们的横坐标之和等于3则这样的直线A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在[解析]过抛物线V=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A3两点,若直线A3的斜率不存在,则横坐标之和等于2不符合题意.设直线A8的斜率为Z则直线A8的方程为y=Ax—1代入抛物线方程2=4匚得标/-2乒+2氏+3=
0.・・・43两点的横坐标之和等于
3.・.2/:2=
3.解得、=±
2.・.符合题意的直线有且仅有两条.故选B.[答案]B(
2017.湖南长沙调研)设斜率为2的直线/过抛物线)=如(〃中0)的焦点R且和y轴交于点A若△QAF(O为坐标原点)的面积为4则抛物线的方程为()A.)2=±4xB.y2=4xC.)=±8xD.V=8x[解析]•..抛物线产=以3工0)的焦点厂的坐标为0)・•直线/的方程为>=21一£|.二直线/与y轴的交点为4(,一胃,/的面积为义点・5=4解得=±
8..•.抛物线的方程为>2=±8匚故选C.[答案]c(2017•河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为y2=2px(p>())过该抛物线焦点尸且不与R轴垂直的直线交抛物线于AB两点过点A点3分别作AMBN垂直于抛物线的准线,分别交准线于MN两点,那么NMEV必是()A.锐角B.直角C.钝角D.以上皆有可能[解析]由题意画出图象,如图.由抛物线的定义,可知|NB|=|BF|.所以△8N尸是等腰三角形.因为BN〃OF所以N/平分NOFA同理M/平分/0孙,所以NNFM=
90.故选B.I答案]B
2017.黑龙江七台河期末已知抛物线C/=-8x的焦点为F直线/x=l点A是/上的一动点,直线A尸与抛物线的一个交——点、为B.若FA=-3FB则|AB|=A.20B.16C.10D.5[解析]由抛物线C2=一网,得/-
20.设Al,Bm►—h且“2=—8m.*•FA=-3FB1+2=—3m+2解得加=—3「.八=±2加.a=-3n:.a=±6\/^・•.|AB|=寸1+3/+2+6晌2=
20.故选A.[答案]A
6.
2017.湖北襄阳月考已知抛物线,=%的焦点为歹准线为/M在/上,线段M尸与抛物线交于N点,若|MM=g|NF|则|MF|=A.2B.3C./D.小[解析]如图,过N作准线的垂线N垂足为根据抛物线的定义可知W”|=|NQ在4NHM中\NM\=yj2\NH\贝UZNMH=45°.在中,NFMK=45,所以|MF]=W|FM.而|FM=
1.所以故选C.[答案]C.已知抛物线y2=2pQ0)的准线与曲线/+),2_以-5=0相切,则〃的值为.[解析]曲线的标准方程为(x—2产+)2=9其表示圆心为
(20)半径为3的圆,又抛物线的准线方程为工=一今,,由抛物线的准线与圆相切得2+9=3解得〃=
2.[答案I2
二、填空题.(2018•武汉模拟)抛物线y2=4x的焦点为F倾斜角等于45°的直线过厂交该抛物线于AB两点则依用=.[解析]由抛物线焦点弦的性质,得|AB|=;^=3^=
8.I答案]
8.(2017•黑龙江绥化期末)设抛物线V=16x的焦点为凡经过点——►P(1())的直线/与抛物线交于AB两点且23=%,则|AF1+2|3F|[解析]设AS,yBg”・・・・PL0**•BP=1~X2j一>2B4=xi—1yi.►—2BP=PA/.21—X2—1yi・・X|+2%2=3-2y2=”.将Am,]Bg”代入抛物线方程V=16x得y\=16xiyj=16x
2.又・-2y2=yi••4x2—xi.X.*xi+2x2=3解得X2=]九1=
2.・・・依4+2|58=为+4+2及+4=2+4+2*@+4=
15.[答案]15
三、解答题2017•河北沧州百校联盟已知抛物线C2=2/zxp0的焦点为F抛物线上一点尸的横坐标为2|Pf]=
3.1求抛物线的方程;2过点尸且倾斜角为30的直线交抛物线于A8两点,为坐标原点,求△OAB的面积.[解]⑴由抛物线定义可知,|尸F|=2+§=3・・.p=2・.•抛物线的方程为a=4x.2由y2=4x得/10・•过点尸且倾斜角为30的直线方程为y=¥x—
1.联立a=4x消去x得y—4小y—4=
0.设Axiyi3X2”则9+丁2=4小,”X2=—
4.I能力提升]
2017.辽宁沈阳二中期中抛物线C2=4x的焦点为凡斜率为2的直线/与抛物线C交于MN两点.若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为QG0〃=|MF|+|N9|则2一〃=A.2B.3C.4D.5[解析]由题意得尸10准线方程为x=-
1.线段MN的中点坐标为沏,yo.由抛物线的定义,得〃=眼~+|河=加+1+必+1=九必+孙+2=2%+
2.因为线段MN的垂直平分线方程为y—yo=——xo令y=0得x=6o+xo即a=6o+xo.由点差法可得6o=2所以xo=-2所以2一〃=2xo+4—2xo+2=
2.故选A.[答案]A2017•北京昌平期末已知△ABC的三个顶点均在抛物线/=不上,边AC的中线8M〃l轴,|8加|=2则△4BC的面积为.[解析]根据题意设4次aBZ2bQc2c不妨设〃c.CT+12〃+Q•・・M为边AC的中点,・・・吠三三,寄.又・.・3M〃x轴,.b=^^.|则=|中川牛_用=2••tz—c2=8••ci—c=2y[
2.作AHLBM交BM的延长线于H故S^abc=2S^=2X^\BM\-\AN\=2\a-b\=2a~^~=a-c=25[答案]2也
13.2017•福建厦门期中设抛物线Cy2=4x尸为的焦点,过点尸的直线/与C相交于A3两点.1若/的斜率为1求|4|的大小;2求证43是一个定值.[解]i・・直线/的斜率为1且过点尸10・••直线/的方程为y=x-LJX・・xi+x2=6X1X2=1♦・・=为+12+〃=
8.得2—46一4=0/
0.设A=X1yi8=x2-,则—+”=4左yi”=-4——OA=xiyiOB=g.——OA-OB=x\X2+y\y2=^1+162+1+y\yi=^y\yi+ky\+yi+1+y\y2=—4F+4F+1—4=—
3.►―.OAOB=-3是一个定值.
14.已知抛物线y2=2pxp09过点-20的直线I交抛物线——于A、5两点,坐标原点为O0408=
12.1求抛物线的方程;2当以AB为直径的圆与,轴相切时,求直线/的方程.[解]1设/工=加,一2代入2=2px得产-2pmy+4P=
0.*设AgyBm72则yi+y2=2〃myiy2=4p9则汨及=42=
4.——因为0408=12所以汨12+巾以=12即4+4p=12得p=2抛物线的方程为V=4x.21中*式可化为尸一4/町,+8=0y\+y2=4myy2=
8.设的中点为M则HR=2xm=x\+x2=i+丁2—4=4/w2—4
①又\AB\=y/]+柏]—y2\=^1+m216m2—32
②由
①②得1+216m2—32=4/n2—42解得—3m—^\[
3.所以直线/的方程为x+y[3y+2=0或x—y[3y+2=
0.[延伸拓展]已知过点4一40的动直线/与抛物线G x2=2〃y/»0相交于B、1——C两点.当直线/的斜率是2时,AC=4AB.1求抛物线G的方程;2设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b求b的取值范围.[解]⑴设伏汨,yiCx2刈,当直线/的斜率是3时,/的方程为y=gx+4即x=2y—
4./r=2〃y由J得22—8+py+8=0[x=2y—4卜1m=4
①・・{8+pc►—又・.・AC=4A3・・.”=4,
③由
①②③及〃0得y=l”=4〃=2则抛物线G的方程为*=4y.2设2产总+43C的中点坐标为刈,泗由{z得%2—4日一16女=
④ly=kx+4XC+加3・xo=2=2kyo=kxo+4=2Z+4%.・・线段8C的中垂线方程为y—2产—4k=-2ZJ线段BC的中垂线在y轴上的截距为仁2s+4Z+2=2Z+1汽对于方程
④,由/=16R+64Q得Q0或%—
4././e2+
8.。