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课时跟踪训练五十三［基础巩固I
一、选择题
1.
2017.广东汕头质检已知抛物线C2=以的焦点为尸，直线y=2x—4与C交于AB两点则cosNAM=44c3〃3c4A.tB.tC.-7D.—7［解析］•.•抛物线C2=4x的焦点为尸，，点尸的坐标为
10.又•・直线y=2x—4与交于A3两点，3两点坐标分别为1-244则的=0-26=34・・・cosNAF3=同警=是IMHFBI4=一彳.故选D.［答案］D
2017.北京东城期末过抛物线心=4%的焦点作一条直线与抛物线相交于AB两点，它们的横坐标之和等于3则这样的直线A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在［解析］过抛物线V=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A3两点，若直线A3的斜率不存在，则横坐标之和等于2不符合题意.设直线A8的斜率为Z则直线A8的方程为y=Ax—1代入抛物线方程2=4匚得标/-2乒+2氏+3=
0.・・・43两点的横坐标之和等于
3.・.2/:2=
3.解得、=±
2.・.符合题意的直线有且仅有两条.故选B.［答案］B（
2017.湖南长沙调研）设斜率为2的直线/过抛物线）=如（〃中0）的焦点R且和y轴交于点A若△QAF（O为坐标原点）的面积为4则抛物线的方程为（）A.）2=±4xB.y2=4xC.）=±8xD.V=8x［解析］•..抛物线产=以3工0）的焦点厂的坐标为0）・•直线/的方程为＞=21一£|.二直线/与y轴的交点为4（，一胃，/的面积为义点・5=4解得=±
8..•.抛物线的方程为＞2=±8匚故选C.［答案］c（2017•河南三门峡灵宝期末）已知抛物线方程为y2=2px（p＞（））过该抛物线焦点尸且不与R轴垂直的直线交抛物线于AB两点过点A点3分别作AMBN垂直于抛物线的准线，分别交准线于MN两点，那么NMEV必是（）A.锐角B.直角C.钝角D.以上皆有可能［解析］由题意画出图象，如图.由抛物线的定义，可知|NB|=|BF|.所以△8N尸是等腰三角形.因为BN〃OF所以N/平分NOFA同理M/平分/0孙，所以NNFM=
90.故选B.I答案］B
2017.黑龙江七台河期末已知抛物线C/=-8x的焦点为F直线/x=l点A是/上的一动点，直线A尸与抛物线的一个交——点、为B.若FA=-3FB则|AB|=A.20B.16C.10D.5［解析］由抛物线C2=一网，得/-
20.设Al，Bm►—h且“2=—8m.*•FA=-3FB1+2=—3m+2解得加=—3「.八=±2加.a=-3n:.a=±6\/^・•.|AB|=寸1+3/+2+6晌2=
20.故选A.［答案］A
6.
2017.湖北襄阳月考已知抛物线，=%的焦点为歹准线为/M在/上，线段M尸与抛物线交于N点，若|MM=g|NF|则|MF|=A.2B.3C./D.小［解析］如图，过N作准线的垂线N垂足为根据抛物线的定义可知W”|=|NQ在4NHM中\NM\=yj2\NH\贝UZNMH=45°.在中，NFMK=45，所以|MF］=W|FM.而|FM=
1.所以故选C.［答案］C.已知抛物线y2=2pQ0）的准线与曲线/+），2_以-5=0相切，则〃的值为.［解析］曲线的标准方程为（x—2产+）2=9其表示圆心为
（20）半径为3的圆，又抛物线的准线方程为工=一今，，由抛物线的准线与圆相切得2+9=3解得〃=
2.［答案I2
二、填空题.（2018•武汉模拟）抛物线y2=4x的焦点为F倾斜角等于45°的直线过厂交该抛物线于AB两点则依用=.［解析］由抛物线焦点弦的性质，得|AB|=；^=3^=
8.I答案］
8.（2017•黑龙江绥化期末）设抛物线V=16x的焦点为凡经过点——►P（1（））的直线/与抛物线交于AB两点且23=%，则|AF1+2|3F|［解析］设AS，yBg”・・・・PL0**•BP=1~X2j一＞2B4=xi—1yi.►—2BP=PA/.21—X2—1yi・・X|+2%2=3-2y2=”.将Am，］Bg”代入抛物线方程V=16x得y\=16xiyj=16x
2.又・-2y2=yi••4x2—xi.X.*xi+2x2=3解得X2=］九1=
2.・・・依4+2|58=为+4+2及+4=2+4+2*@+4=
15.［答案］15
三、解答题2017•河北沧州百校联盟已知抛物线C2=2/zxp0的焦点为F抛物线上一点尸的横坐标为2|Pf］=
3.1求抛物线的方程；2过点尸且倾斜角为30的直线交抛物线于A8两点，为坐标原点，求△OAB的面积.［解］⑴由抛物线定义可知，|尸F|=2+§=3・・.p=2・.•抛物线的方程为a=4x.2由y2=4x得/10・•过点尸且倾斜角为30的直线方程为y=¥x—
1.联立a=4x消去x得y—4小y—4=
0.设Axiyi3X2”则9+丁2=4小，”X2=—
4.I能力提升］
2017.辽宁沈阳二中期中抛物线C2=4x的焦点为凡斜率为2的直线/与抛物线C交于MN两点.若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为QG0〃=|MF|+|N9|则2一〃=A.2B.3C.4D.5［解析］由题意得尸10准线方程为x=-
1.线段MN的中点坐标为沏，yo.由抛物线的定义，得〃=眼~+|河=加+1+必+1=九必+孙+2=2%+
2.因为线段MN的垂直平分线方程为y—yo=——xo令y=0得x=6o+xo即a=6o+xo.由点差法可得6o=2所以xo=-2所以2一〃=2xo+4—2xo+2=
2.故选A.［答案］A2017•北京昌平期末已知△ABC的三个顶点均在抛物线/=不上，边AC的中线8M〃l轴，|8加|=2则△4BC的面积为.［解析］根据题意设4次aBZ2bQc2c不妨设〃c.CT+12〃+Q•・・M为边AC的中点，・・・吠三三，寄.又・.・3M〃x轴，.b=^^.|则=|中川牛_用=2••tz—c2=8••ci—c=2y［
2.作AHLBM交BM的延长线于H故S^abc=2S^=2X^\BM\-\AN\=2\a-b\=2a~^~=a-c=25［答案］2也
13.2017•福建厦门期中设抛物线Cy2=4x尸为的焦点，过点尸的直线/与C相交于A3两点.1若/的斜率为1求|4|的大小；2求证43是一个定值.［解］i・・直线/的斜率为1且过点尸10・••直线/的方程为y=x-LJX・・xi+x2=6X1X2=1♦・・=为+12+〃=
8.得2—46一4=0/
0.设A=X1yi8=x2-，则—+”=4左yi”=-4——OA=xiyiOB=g.——OA-OB=x\X2+y\y2=^1+162+1+y\yi=^y\yi+ky\+yi+1+y\y2=—4F+4F+1—4=—
3.►―.OAOB=-3是一个定值.
14.已知抛物线y2=2pxp09过点-20的直线I交抛物线——于A、5两点，坐标原点为O0408=
12.1求抛物线的方程；2当以AB为直径的圆与，轴相切时，求直线/的方程.［解］1设/工=加，一2代入2=2px得产-2pmy+4P=
0.*设AgyBm72则yi+y2=2〃myiy2=4p9则汨及=42=
4.——因为0408=12所以汨12+巾以=12即4+4p=12得p=2抛物线的方程为V=4x.21中*式可化为尸一4/町，+8=0y\+y2=4myy2=
8.设的中点为M则HR=2xm=x\+x2=i+丁2—4=4/w2—4
①又\AB\=y/]+柏]—y2\=^1+m216m2—32
②由
①②得1+216m2—32=4/n2—42解得—3m—^\[
3.所以直线/的方程为x+y[3y+2=0或x—y[3y+2=
0.[延伸拓展]已知过点4一40的动直线/与抛物线G x2=2〃y/»0相交于B、1——C两点.当直线/的斜率是2时，AC=4AB.1求抛物线G的方程；2设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b求b的取值范围.[解]⑴设伏汨，yiCx2刈，当直线/的斜率是3时，/的方程为y=gx+4即x=2y—
4./r=2〃y由J得22—8+py+8=0[x=2y—4卜1m=4
①・・{8+pc►—又・.・AC=4A3・・.”=4，
③由
①②③及〃0得y=l”=4〃=2则抛物线G的方程为*=4y.2设2产总+43C的中点坐标为刈，泗由｛z得％2—4日一16女=
④ly=kx+4XC+加3・xo=2=2kyo=kxo+4=2Z+4%.・・线段8C的中垂线方程为y—2产—4k=-2ZJ线段BC的中垂线在y轴上的截距为仁2s+4Z+2=2Z+1汽对于方程
④，由/=16R+64Q得Q0或％—
4././e2+
8.。
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