专题10等式与不等式的性质

专题10等式与不等式的性质V【考点清单】

1、等式的性质性质

①如果=人性质

②如果=〃性质

③:如果=/性质

④:如果=人性质

⑤:如果=匕那么b=ab=c那么〃=c那么々土c=b土c那么ac—becwO那么cc

2、不等式的性质:性质

①如果b那么人；如果/〃，那么Z.即bo〃VQ（对称性）性质

②如果力，bc那么即abbc=ac・（传递」性）性质

③如果人，那么q+cZ+c.（可加性）性质

④如果人，c0那么QCZC.（可乘性）性质

⑤如果4bc〉d那么Q+cZ+d.（可加性）性质

⑥如果b0cd09那么acbd.（同向同正可乘性）性质

⑦如果〃b0那么诡（可乘方性）性质

⑧如果〃，那么心〉物（〃£N〃N2）.（可开方性）补充:不等式的倒数和分数性质

（1）倒数性质cibyab0^--6[0/=—-ab0dcQ=——.ababcdhh+m

（2）分数性质若〃人0机0则得到糖水变甜不等式一;aa+md【考向精析】法二11Oba八cc

0.•.一〈beg

3.ab0cd0yevO求证ci—cb—d【解析】c〈dO.，-c—d3又abO:.a-c〉b-d11ee即7;7；——x，又e0/.a-cb-da-cb-d

4.已知x且xwO则是，=”的（）xx即a+J2-4adb+c2-4hc即adbe故选项正确;adbeyac••一〈一bd即选项o错误;故选D.xy满足一1领k+y34^x-y9贝IA.啜k3B.—2漱/1【解析】解因为-1领k+y34融x-9所以两式相加可得3强帆12可得掇/4故A错误；因为慌::一;12所以磔…11解得孕步|故6错误；因为4x+y=2x+y+2x-y又一2颈以x+y6所以2蒯•％+》15故C正确；17118519因为x—y=—x+yH—2x—y又一1领J—x+y—可得q轰片2x-y6所以4轰/一—故O错33333333误.故选C.—掇k+y4且2麴k—y3贝Uz=2x—3y的取值范围是用区间表示.【解析】解法1z=—Jx+y+£x—y乙乙*e-3领J-不x+y+5x-y8/.ze

[38].2vqv3-4Z-3求a+ba-b-ab一的取值范围.ba【解析】解2a3-4Z-3r7111/.3-Z4一一-一一3Z4-2va+Z05a-b7111v-一-4b3即一h2*/6-6zZ12/.—12vabv-6\9b2163a23——8a综上—26+Z05q—b7—1一——126^7—693—

8.b2a国考向一由不等式性质比较数式大小.若实数，b满足abc0则（）A.acbcB.acbcC.a+cb+c【答案】B【分析】根据不等式性质判断.【详解】因为c0所以〃cbc故A错误，B正确；根据不等式可加性知a+cb+c故C错误.故选B.若〃Z则（）A.a2b2B.ac2be2C.|||〃|D.\a\b【答案】D【分析】举例说明判断ABC；推理判断D作答.【详解】对于AC令〃=11=-2满足而洋〈凡\a\\b\9AC错误;对于B令=0ac2=be2B错误；对于D\a\ahD正确.故选D.设、b、为实数且则下列不等式正确的是（）A.~B.ac2he2C.一D〃同abab11【答案】D【分析】根据不等式的性质判断A、D利用特例说明B利用作差法判断C.【详解】因为、b、c为实数，且〃力0所以向〉问，疝〉0故A错误，D正确；ab当c=0时ac1=be1，故B错误，因为=~—0所以—故C错误；ababab故选D.设％ywR则〃x3且y3〃是x+y6〃的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件【答案】A【分析】依据〃x3且y3〃与〃x+y6〃之间的逻辑关系进行推导即可解决.【详解】由x3且3可得x+y6当x=5y=T时，满足x+y6但不满足x3且y3则〃x3且y3〃是+y6〃的充分不必要条件，故选A..使〃成立的充要条件是A.a匕+1B.—1bC.a2b2D.a3b3【答案】D【分析】根据不等式的性质以及充分必要条件的概念求解.【详解】对A若+1则〃〉匕成立，即充分性成立，反之，若ab则ab+l不一定成立，所以〃+1是成立的一个充分不必要条件，不满足条件；对B当〃0时，由/1得人，则a不成立，b即f1不是充分条件，不满足条件；b对C由〉〃，若〃=-2b=\则〃/贝〃不一定成立，所以/不是的充分条件，不满足条件；对D由可得〃》，则/是”成立的充要条件，满足题意.故选:D..已知且一〃2=]贝I]A.a-b0B.a-b\C.tz4-/41D.【答案】B【分析】对于选项A结合已知条件，利用不等式性质即可求解；对于选项BC首先根据已知条件可得到+然后利用不等式性质即可求解；对于选项D首先对右和声+1平方，然后利用作差a+b法即可求解.【详解】对于A因为/一/=10故//，又因为0b0所以〃/从而一/0故A错误;对于B由题意可知，/—/=〃—与a+b=[因为aZ0所以一人=^—〃+/a+b故q+Z2i即q+Z1从而4—b=—^1故B正确，a+b对于C因为―Z2=l，所以=1+52所以八/=/_//+/=/+/=]+/+/=i+力2i故C错误；对于选项D因为右2—扬+12=—〃—1—2扬0所以々+1即1-1故D错误.故选B..若!4，则a0A.ab0B.ba0C.aObD.ab1a2b【答案】D【分析】利用作差法求解即可.【详解】若工4则，一，=号，贝lJS-av，即2一/人〈o.gpah2a2b9auabab故选D..如果0小那么下列不等式中正确的是A.网B.d-a\[bC.a2b2D.1ab【答案】D【分析】根据〃0，结合不等式的基本性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若=-1力=2则问网，故A不正确；对于B中，当〃0时，无意义，故B不正确；对于C中，a2-b1=aba-b由0/可得〃一/0但〃+Z不确定，所以/与从无法确定大小关系，故c不正确；对于D中，=由0〃，可得/一〉0且c活0abab所以宗黑＜，所以呆故D正确.故选D.国考向二作差法比较代数式的大小

9.设”=2a〃—2+7N=〃—2〃—3则有A.MNB.MNC.MND.MN【答案】A【分析】根据作差法判断两式大小.]Y3【洋解JM—N=26r—4q+7—/—5a+6=/+々+1=cih—h—00M〉N.\24故选A..已知加RM=2774-177-3N=〃-6〃+3+10则/，n的大小关系为A.MNB.MNC.MND.MN【答案】B【分析】作出MN的差，变形并判断符号作答.[详解]〃_N=2p+]p_3_[p_6p+3+lO]=p2_2p+5=p_l2+4〉0所以用〉N.故选B..已知〃0人0花，N=八+6，则M与N的大小关系为A.MNB.MNC.MND.MN大小关系不确定【答案】B【分析】平方后作差比较大小即可.[详解]M2-N2=q+9_q+/+2而=_2而0[WN.故选B.国考向三利用不等式求值或求范围.已知关于X的不等式〃2-1x12的解集是[-1」，则实数机的取值集合为A.{1}B.l+ooC.[h+ooD.01【答案】A【分析】解不等式即可.【详解】由已知，易知根20由根一国2得WWm，一根.勿2=1；故选A..设xeR则xl〃是〃的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.【详解】由xx可得x0则x1是xv0的必要不充分条件.故选Bx-y=k.已知关于xy的方程组女+3的解是正数且，的值小于y的值，则上的取值范围是【答案】C【分析】解方程得到工=胃+1y=i-T，根据X和V均为正数，X的值小于V的值，得至UI-g，7+102kkY+11-p解得答案..已知0c一/22q+Z4则3+人的范围是（）A.

（48）B.

（610）C.

（410）D.

（612）【答案】C【分析】首先用和〃+力表示3+/再根据条件的范围，求解3°+/7的范围.［详解］设34+人=%（_人）+）伍+人）=（%+））〃+（）_%）人x+y=3y-x=l所以3q+〃=〃-/+2卜2+人因为0〃一22a+b^所以42+人）84（〃一/）+2（〃+/）10所有为+》的范围是

（410）.故选C

二、多选题.对于实数力，下列说法正确的是（）A.若〃0则B.若a〉/？，则abC.若〃〉0〉b则［//D.若—^―—^―c-ac-b【答案】BC【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C对D选项取特殊值验证即可.【详解】对于A因为〃/（）所以一一〃0所以0v」一］所以，〉，故A错误；abab对于B因为碇2〉儿2所以0c20所以匕，故B正确；对于C因为〉0〉Z所以必vO/0所以必/故C正确;对于D取c=5m=4〃=1满足z.a44b11flu==4==—c-a5-4c-b5-14故选BC.”.下列不等式中‘与不等式不有2解集相同的是x+8r+2x+32x+82x~+2x+312jc+2x+3x+82x2+3x-20【答案】BD【分析】根据不等式的性质，由于/+2工+3=1+12+2〉20将分式不等式转化为整式不等式整理即可得出答案.【详解】解由于Y+2x+3=x+12+2220因此不等式•「二2等价于％+82Y+2x+3化X十十J简得2f+3x-

20.故选BD.

三、填空题

18.已知一14〃+方01—10一求2+3人的取值范围【答案】［-33］【分析】利用待定系数法设2+3〃=23+〃+4-〃，得到方程组，解出44再根据不等式基本性质即可得到答案.2=r1〃二—2[故2q+3b——q+/—q-b22由一l《a+〃“故+所以2〃+3〃£[-33].故答案为［-3引.■【巩固检测】1已知a0/0比较-^+-与的大小.（作差、作商）\Jb7a【解析】y[aba0b0y/a+Jb04ab〉0又0作商:卡啖（回3+（回3_（及+旬（.一y[a^-y[by[ab^y[a+-^=+-^=4a+\!byjbJacc

2.abc0证明一〉一.ab【解析】法cc_c{b-a）abababOc0ahQ.h-aO.c^h-a^Qcc\0abcc.——ab。