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排列排列数
一、单选题
1.下列问题属于排列问题的是（）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5678中任取两个不同的数作塞运算.A.
①④B.
①②C.
④D.
①③④【答案】A【分析】根据已知条件，结合排列的定义，即可求解.【解析】解
①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，故属于排列，
②选出的2人劳动内容相同，无顺序，故不属于排列，
③5人一组无顺序，故不属于排列，
④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，故属于排列，综上所述，属于排列的为
①④.
2.从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（）A.5B.10C.20D.60【答案】c【分析】计算从5个不同元素中取出2个元素的排列数即可.【解析】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，即共有=20（种）不同的送书方法.3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（）A.576B.432C.388D.216【答案】B【解析】先选2个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.【解析】由题意，先选2个女生捆绑看做一个整体4=6然后将男生全排列再将女生插空S.A=6xl2=72所以不同的排法有6x72=432种.一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字（如735414等），那么这样的三位数共有（）A.240个B.249个6A A；A10
（7）^=A；0【分析】
（1）分步先排甲，再排其他人根据乘法计数原理计算即可
（2）分步先排甲乙，再排其他人根据乘法计数原理计算即可
（3）根据间接法计算可得
（4）根据捆绑法计算可得
（5）根据捆绑法计算可得
（6）根据插空法计算可得
（7）根据定序法计算可得
（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有种，
（2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有种，
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A；；-2A；+A种，
（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有■种
（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A A；种，
（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A A种，A10外=A o
（7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，人；种..
0、
1、
2、
3、
4、5这六个数.
（1）可组成没有重复数字的数多少个？
（2）可组成没有重复数字的5位数中的偶数多少个？⑶可组成没有重复数字的5位数中比24305大的数有多少个？【答案】⑴1631
（2）312
（3）394【分析】
（1）注意到没有限定是几位数，则利用排列公式分别求出可以组成
1、
2、
3、
4、
5、6位数的个数，由加法原理计算可得答案.
（2）根据题意，第一种5位数中无0;第二种5位数中有且在个位;第三种5位数中有且0不在个位利用排列公式分别求出每种情况下5位数的个数，由加法原理计算可得答案.3根据题意，分4种情况讨论第一种首位以是345的5位数;第二种前2位是25的数;第三种前3位是245的数;第四种前3位是243的数.利用排列公式分别求出每种情况下符合条件的5位数的个数，由加法原理计算可得答案.【解析】1由
0、
1、
2、
3、
4、5这六个数，可以组成1位数A；=6个，可以组成2位数A xA；=25个，可以组成3位数A；xA；=100个，可以组成4位数A；xA；=300个，可以组成5位数A；xA=600个可以组成6位数A；xA；=600个则共可以组成6+25+100+300+600+600=1631个.2根据题意，要求是五位数且首位不能是0则个位必须是偶数，分3种情况讨论第一种5位数中无3个位有A；种取法，其余有A种取法，则共有A；A=48个，第二种5位数中有且在个位，共有A；=120个，第三种5位数中有且0不在个位，有A；A；A=144个，则共有48+120+144=312个.3根据题意，分4种情况讨论第一种首位以是345的5位数都符合要求，共计A；A；=360个，第二种其次前2位是25的数有A=24个，第三种前3位是245的数有A；=6个，第四种前3位是243的数的有4个数比24305大，贝I」共有360+24+6+4=394个.n
11.证明』二万一而？并利用这一结果化简⑴—+2+…+22!3!4!10!123m—।—।—f…+々2!3!4!【答案】1证明见详解，1—击；21一日迹.x2xl可得〃+l!=〃+lxM先证出.求证A+〃2A「；+〃2机一DA；=A、〃，meN且〃之相＞
2.【答案】证明见解析【分析】利用排列数计算公式化简计算等式左边即可得证.n\THn-11【解析】依题意，左边:『+71-吁1]!+小一力[1--2]!机加一1〉〃一1!〃+机・〃一1!m/7t-l*z-l!n+l-m!n-m!Ai+1-m!n+l-mn+m*n-l!m772-l«n-l!+根〃+/%+〃2加〃+l—机!n+l-m!n+l-m!〃+1〃・〃-1!m+1!n+l-m!n+l-m!所以原等式成立..用012345六个数字⑴能组成多少个没有重复数字的四位数；2能组成多少个没有重复数字的四位偶数；⑶能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数;4能组成多少个没有重复数字的比3210大的四位数.【答案】⑴
300215631084152.【分析】对特殊元素，特殊位置利用排列问题进行分析即可.⑴首位不能为零，先确定首位的数字有5种情况，然后其余的数字任意排列即可，所以共有5x5x4x3=300个.⑵因为是偶数，要满足末尾是偶数，当个位是0的有可=6个;个位是2或4的有RA=96所以共60+96=156个⑶个位是0的有6=60个；个位是5的有4x4x3=48个，所以共60+48=108个
（4）首位比3大的有2看个，首位是3百位是4或5时有2A个，当首位为3百位为2十位可以是4或5时有2可个，当首位为3百位为2十位为1时个为可以是4或5共2种，所以共有2可+2A；+24；+2=152个.
28.校园文化艺术节活动周.已知初中、高
一、高二分别选送了753个节目.现回答以下问题（用排列数表示，不需要合并化简）⑴若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种出场顺序？
（2）由于一些特殊原因，高一5个节目（分别为A，4，A3儿）中的A必须在其余4个节目前面演出，高二3个节目（分别为4，B2灰）中的名必须在其余2个节目前面演出，则共有多少种出场顺序？A15【答案】⑴A A；种⑵L^xA；xA种A5XA3【分析】
（1）根据插空法即可求解不相邻问题，
（2）根据定序问题中全排列以及除法计算即可求解.A8
（1）
（1）先对高
一、高二的节目进行全排列，有人8种不同的排法，再在高
一、高二的8个节目形成的9个空隙中选7个排初中的7个节目，有A；种排法，由分步乘法计数原理可得，共有A A；种不同的出场顺序.
（2）
（2）高一的5个节目全排列，有人；种不同的排法，其中A在其余4个节目前面，有人种排法.高二的3个节目全排列有A；种不同的排法，其中用在其余2个节目前面，有A；种排法.初中、高一和高二的15个节目全排列有A；；种不同的排法.A15所以不同的排法共有K^xA xA；种.C.285个D.330个【答案】C【分析】分十位数字是
0、
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、8讨论，即得解【解析】因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，所以当十位数字是0时有9x9=81种结果，当十位数字是1时有8x8=64种结果，当十位数字是2时有7x7=49种结果，当十位数字是3时有6x6=36种结果，当十位数字是4时有5x5=25种结果，当十位数字是5时有4x4=16种结果，当十位数字是6时有3x3=9种结果，当十位数字是7时有2x2=4种结果，当十位数字是8时有1种结果，所以共有81+64+49+36+25+16+9+4+1=285种结果..已知用］=1004，贝1=.A.11B.12C.13D.14【答案】C【解析】由排列数公式变形后求解.【解析】=100Aj=2x•2x-1•2x-2=100%-x-1则2x.2x—l・2x—l=100x.x—l约分得2x-l=25解得X=13经检验满足题意..五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫、商、角、徵、羽，如果将这五个音排成一排，宫、羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有A.20种B.24种C.32种D.48种【答案】C【分析】根据角音所在的位置分两类，根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.【解析】根据角音所在的位置按从左到右依次为位置
一、
二、
三、
四、五分两类第一类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有2A；A；=24种；第二类，角音排在位置二或四，贝I」不同的排歹U顺序有2A；A；=8种；根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有24+8=32种.
7.旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为【答案】D【分析】小李可选的旅游路线分两种情况
①最后去甲景区旅游，可的路线有A；条；
②不最后去甲景区旅游，可选路线有2A；条.【解析】解小李可选的旅游路线分两种情况:
①最后去甲景区旅游，则可选的路线有A条；
②不最后去甲景区旅游，则可选的路线有2A；条.所以小李可选的旅游路线的条数为A；+2A；=
10..某同学有7本不同的书，其中语文书2本、英语书2本、数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻则不同的排法种数（）A.12B.24C.48D.720【答案】C【分析】根据捆绑法、插空法进行排列计算即可得解.【解析】先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，然后排成一排，有A；种不同的排法，再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有A；种不同的排法，再排2本语文书，有A；种不同的排法，最后排2本英语书，有A；种不同的排法.根据分步乘法计数原理，得共有=48种不同的排法..在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1234这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（）种.A.12B.14C.16D.18【答案】B【解析】甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.【解析】
①甲在2道的安排方法有6=6种；
②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有2x2xA；=8种，共有6+8=14种方案..某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，3C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（）A.A；种B.种C.AjAjgA；；种D.A/；；种【答案】D【分析】先安排A再排C两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.【解析】先安排A只有1种选择；再排B两人，有A；种选择；最后排其他人，有A；；种选择.故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有A；A；；种选择..8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得分，并按总得分由高到低进行排序，比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是（）A.14B.13C.12D.11【答案】C【分析】根据完成本题主要抓住了“每场产生的分数”、“第二名的得分与最后四名所得的总分一样多”、“得分互不相同”这三个关键点进行分析的.【解析】解每名需要进行7场比赛，则全胜的得14分，而最后4人之间赛6场至少共得12分所以第二名的得分至少为12分.如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符.所以，第二名得分为12分..若用5种不同颜色去涂五边形A8CDE的五点顶点，若相邻两点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A.1440B.1020C.1260D.1480【答案】B【分析】考虑反CE三点的涂色情况，就氏CE三点涂三种颜色、涂两种颜色分类计数后可得所有的涂色方法种数.【解析】如图，考虑BCE三点的涂色情况，若民CE三点涂三种颜色，则该三点共有匿=60种涂色方法，此时A有3种涂色方法，有3种涂色方法，故氏CE三点涂三种颜色时共有60x3x3=540种涂色方法，若昆CE三点涂两种颜色，则5与8同色或与C同色，当石与3同色时，该三点共有=20种，此时A有4种涂色方法，有3种涂色方法，故氏CE三点涂两种颜色时共有20x4x3=240种涂色方法，同理当E与同色时，共有20x4x3=240种涂色方法，综上，所求的不同的涂色总数为1020
二、多选题.下列各式中，等于加的是（）A.A『B.A3C.D.m\C【答案】AC【分析】根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答案.【解析】解根据题意，依次分选项对于AA『=九x（〃_1）xx2=n!故A正确；对于3A、=（^+1）xnx（/1-1）xx2=（〃+l）!故3错误；对于C碉；二=〃x（l）xxl=n!故正确；对于，m!C=mU=A故错误；ml.由0123456789这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（）A.蜀+A.4•看B.阖+A；（尺一尺）c.aX+a；（阁-看）d.A2-蜀-A（蜀-8）【答案】ABD【分析】由题意按照个位是
0、个位不是0分类，结合分步乘法、排列的知识可得无重复数字偶数的个数，即可判断A；再由排列数的运算逐项判断其它选项即可得解.【解析】对于A如果个位是0则有A个无重复数字的偶数；如果个位不是0则有A；•
4.霍个无重复数字的偶数，所以共有+・羯个无重复数字的偶数，故A正确；对于b由于4・4=阂-4所以禺+
4.4・8=阂+4；（蜀-4）故b正确；对于C由于4一尺蜀，所以用+A；q—4）wA阂+（阖一4）故C错误；对于D由于大一用一次（用一用）=41区=弱+心
4.短，故D正确.
15.2022年2月5日晚，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（）A.武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法B.范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法C.任子威在范可欣的右边，共有120种排法D.任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法【答案】ABD【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.【解析】解A项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有A；种排法，再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有A种排法，由分步乘法计数原理得，共有A；A=48（种）排法，故选项A正确；B项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有A；种排法，再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有A；种排法，由分步乘法计数原理得，共有A；A；=72（种）排法，故选项B正确；C项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有A；种排法剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有A；=60（种）排法，故选项C错误；D项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有A；种排法，任子威在最左边，有A种排法，武大靖在最右边，有A种排法，任子威在最左边，且武大靖在最右边，有A；种排法，所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有A-2A+A=78（种）排法，故选项D正确..甲、某人设计一项单人游戏，规则如下先将一棋子放在如图所示正方形ABCQ（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i=l26）则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去.某人抛掷〃次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（）ABA.若〃=2时，则共有3种不同走法B.若〃=2时，则共有5种不同走法C.若〃=3时，则共有25种不同走法D.若及=3时，则共有27种不同走法【答案】BD【分析】当〃=2时，骰子的点数之和是8列举出点数中两个数字能够使得和为8的情况，即可判断A、B若〃=3时，三次骰子的点数之和是816列举出在点数中三个数字能够使得和为816的情况，再按照分类分步计数原理计算可得.【解析】解由题意知正方形A3CO（边长为2个单位）的周长是8・当〃=2时，骰子的点数之和是8列举出在点数中两个数字能够使得和为8的有
（26）
（35）
（44）共3种组合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果，故A错误，B正确；若〃=3时，三次骰子的点数之和是816列举出在点数中三个数字能够使得和为816的有
（125）
（134）
（116）
（224）
（233）
（466）
（556）共有7种组合，前2种组合25）
（134）每种情况可以排列出A；=6种结果，共有2A=2x6=12种结果，其中
（116）
（224）
（233）
（466）（5中6）各有3种结果共有5x3=15种结果根据分类计数原理知共有12+15=27种结果.
三、填空题.计算应=5!【答案】\【解析】由排列和阶乘直接计算出.【解析】=32=L5!5x4x3x2xl
5.有5名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有种.【答案】60【分析】甲不排在乙的左边，即甲排在乙的左边，则甲乙的顺序确定，将剩下的三个人排好，然后把甲乙按顺序排入即可.【解析】解甲不排在乙的左边，即甲排在乙的左边，则甲乙的顺序确定，将剩下的三个人排好，然后把甲乙按顺序排入，则有A；=60种排法..把标号为1234的四个小球分别放入标号为1234的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有种.【答案】12【分析】利用分步原理求解，先从34号球中选一个球放入1号盒子，然后剩下的3个球分别在234号盒子中各放入一个即可.【解析】由于1号盒子不能放1号球和2号球，则1号盒子可以放3号球或4号球，有2种方法，剩下的3个盒子各放一个球有A；种方法，则由分步乘法原理可得一共有2xA；=12种方法..由123这三个数字抽出一部分或全部数字没有重复所组成的自然数有.【答案】15【分析】分别讨论抽出1个，抽出2个，抽出3个求解即可得出.【解析】若抽出1个数字，则有=3个，若抽出2个数字，则有A；=6个，若抽出3个数字，则有用=6个，则一共可以组成的自然数有3+6+6=15个.
四、解答题.计算⑴A；；⑵A；A；⑶石；⑷A xA；.【答案】1210284032104720【分析】根据排列数公式计算可得.A；=7x6x5=210；A=7x6x5x4=840；々=4=7x6x5=210；A4!A^xA^=6x5x4x3x2x1=61=
720.1一天有6节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？2上午有4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个教师的课有几种排法？【答案】1720；
212.【分析】1根据排列数的定义表示课程表的排法数并化简；2先求从4节课中选取三节不相连的课的方法，再求安排教师的上课顺序的方法，由此可得总的排课方法数.【解析】1一天有6节课，安排6门学科相当于将6个元素按顺序排成一列，所以课程表的排法与6个元素排成一列的排列数相等，故这一天的课程表有可种排法，即720种排法.⑵安排该教师的课课分为两步实现，第一步从上午的四节课中选3节不相连的课有选124和选134两种选法，第二步将该教师所教的3个班级安排到所选的三个位置，由分步乘法计数原理可得总的排法数为2可，即12所以这个教师的课有12种排法.6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？用式子表达1男甲必排在首位；⑵男甲、男乙必排在正中间；3男甲不在首位，男乙不在末位；4男甲、男乙必排在一起；54名女生排在一起；6任何两个女生都不得相邻；7男生甲、乙、丙顺序一定.【答案】1A；⑵A；A；3A；；-2A；+A；4A；A；⑸A A；。
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