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集合的含义与表示知识剖析1元素与集合的概念一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).2集合的元素特征
①确定性给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.Eg街上叫声帅哥,是男的都回个头,帅哥没有明确的标准,故“帅哥”不能组成集合.
②互异性一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.Eg两个学生名字都是“熊涛”,老师也要给他们起小名“熊大““熊二”,以视区别.若集合/={12a]就意味aH1且aW
2.
③无序性集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换.Eg高一
(1)班每月都换座位也改变不了它是⑴班的事实,{123}={231).3元素与集合的关系若a是集合4的元素,则称a属于集合4记作QE4;若a不是集合/的元素,则称不属于集合4记作a《4Eg菱形€{平行四边形}0e/V0《{1234).脑筋急转弯你能证明上帝不是万能的么?答案如果上帝万能,他能否创造一块他举不起来的石头么?(这跟集合有什么关系呢?)4常用数集自然数集(或非负整数集),记作N;正整数集,记作N*或以;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R5集合的分类有限集,无限集,空集
0.Eg奇数集{犬|久=2n+1fneZ}属于无限集,{xeR\x2+1=0}=
0.6集合的表示方法
①列举法把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}〃括起来表示集合的方法叫列举法.
②描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法.方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值或变化范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般格式{%e41P%}.用符号描述法表示集合时应注意1弄清元素所具有的形式即代表元素是什么是数还是点、还是集合、还是其他形式?2元素具有怎么的属性?当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑.⑶Eg A={x\x2—x-2=0}方程%2—x—2=0的解,即4={-12};B={x\x2-x-20}不等式--x—20的解集,即8={%|-1%2];C-{x\y=x2-x—2}函数y=x2—x—2的定义域,即C=R;D={y\y=x2-x-2}函数y=%2-%-2的值域,即={y\y一};E={xy|y=%2-%-2函数y=%2-x-2的图像,它是个点集.【典题1】下列说法正确的是4某个村子里的高个子组成一个集合;8所有小的正数组成的集合;C集合{12345}和{54321}表示同一个集合;D.
10.5|一g这些数组成的集合有五个元素.22474【解析】由于“高个子〃、“小的〃没有一个明确的标准,A8的对象不具备确定性;中的
0.51月三个数相等,|相等,故集合只有3个元素;27424集合具有无序性,所以是正确的;故选C.【点拨】本题考核集合元素的三要素.【典题2]设集合4=[21—aa2—a+2}若4eA则a=.【解析】4eA1—a=4或a—a+2=4i若1—a=4则a=-3此时M—a+2=149-A=2414};ii若M—q+2=4则a=2或a=-1a=2时,止匕时1—a=-1A=[2-14};a=一1时,此时1一a=2则4={224}不符合集合的“互异性,故aH-
1.综上Q=-3或
2.【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系;当=一1时,1一a=2此时4={224}不符合集合的”互异性〃,故H-
1.故求出集合后最好做下检查.【典题3】用列举法表示集合4={三EZ|%eN]=.【解析】根据%eN且三ez可得X-2%=0时,-^―=—3;%=1时,-^―=—6;%=3时,-^―=6;X—2X—2X—2%=4时,-^―=3;%=5时,-^―=2;%=8时,-^―=1;X—2X—2X—2A=[—3—
66321.【点拨】
①看集合先确定元素类型本题中元素是“三”,而不是5”,再看元素需要满足的条件;X—2
②集合若能化简先化简,用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.【典题4]若集合4=[x\ax2+2x+1=0aeR}至多有一个元素,则a的取值范围是【解析】•・集合4={x\ax2+2%+1=0aER}至多有一个元素,・.a=0或…,解得”0或g1△=4-4a0・•.a的取值范围是{a|a=0或a1].【点拨】注意二次项系数是否等于0先确认函数类型.巩固练习★下列各组对象能构成集合的是A.充分接近的所有实数B.所有的正方形C.著名的数学家D.12334444【答案】B【解析】选项人不满足集合的确定性;集合B正方形是确定的,故能构成集合;选项不满足集合的互异性.故选B.2★以实数Y溟-丁声为元素所组成的集合最多含有个元素.A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】当%0时,%=|%|=,溟0—=—x0此时集合共有2个元素;当%=0时,x=\x\=Vx2=—=—%=0此时集合共有1个兀素;当%V0时,—%=|%|=Vx2=—\[x^0x0此时集合共有2个元素,故由以实数居-工团疡-泞为元素所组成的集合最多含有元素的个数为2个.故选C.3*下面有四个命题⑴集合N中最小的数是1;20是自然数;3{123}是不大于3的自然数组成的集合;4aeNbEN则a+b不小于
2.其中正确的命题的个数是1个B.2个C・3个D.4个【答案】A【解析】1集合N中最小的数是02对,3不大于3的自然数组成的集合是{0123}4因为OWN所以a+b可能小于2因此只有2是对的,故选A.4★★设集合M={x\x=3kkEZ}9P={x\x=3/c+1kEZ}Q=[x\x=3k—1kEZ}若a6MbePceQ则a+b—ceA.MB.PC.QD.MUP【答案】A5**已知招yz为非零实数,代数式自+三+A+焉的值所组成的集合是M则下列判断正确的是I人I\yIlzI|26MC・0CMD.一4cM【答案】A【解析】根据题意,分4种情况讨论;
①、x、y、z全部为负数时,则xyz也为负数,则亩+击+后+寿y=-4
②、%、y、z中有一个为负数时,则xyz为负数,则亩+击+向+工|]=,
③、%、y、z中有两个为负数时,则xyz为正数,则向+古+以+^^=0
④、%、y、z全部为正数时则孙z也正数,则亩+击+后+蔷]=%则用={4-40};分析选项可得4符合.”★★点的集合M={xy|xy0}是指A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C.第
一、第三象限内的点集D.不在第
二、第四象限内的点集【答案】D【解析】砂20指%和y同号或至少一个为零,故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点.故选7★★已知含有三个实数的集合既可表示成又可表示成色2+40}则q2oi7+b2oi8=【答案】-1【解析】根据题意,由{见1}=m2@+40}可得=0或3=0又蛇的意义,则”0必有=0则b=0则{q01}={a2a0}则有=1即Q=1或Q=—1集合{/01}中,awl则必有=一1则2017+炉018=-12017+218二一1故答案为—1★★若集合/=[x]kx2+4%+4=0%GR}中只有一个元素,则实数k的值为.【答案】或1【解析】由集合4=x\kx2+4%+4=01xeR}中只有一个元素,当k=0时,4%+4=0即%=—L4={—1},成立;当kH0时△=16-4*fc4=0解得k=
1.A={x\x2+4%+4=0}={-2}成立.综上,忆=0或
1.帆★★用列举法表示集合{刈^^6NmENm10]=.【答案】{
258.【解析】根据题意,•・・meN77i10**•tyi-28旦1—2eZ又因中GN・・・山一2€N且是3的整数倍,m-2=0或3或6・・.m=2或5或8・・・集合{刈三二ENmENm10}={258}.故答案为{2吊8}.★★集合4=卜€z|y=€z}的元素个数为【答案】12【解析】由题意,集合{X€2|丫=为€2}中的元素满足%是整数,且y是整数,由此可得%=-15-9-7-6-5-4-2-10139;此时y的值分别为:一1一2—3—4一6—121264331符合条件的%共有12个,★★用列举法表示下列集合111以内偶数的集合;⑵方程%+1/—4=0的所有实数根组成的集合;3一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合.【解析】1{246810};⑵解方程%+1/—4=0得%1=—1%2=-2%3=2故方程Q+1/_4=0的所有实数根组成的集合为{-2-12};⑶解方程组学得忧;,因此一次函数y=2%与y=%+1的图象的交点为12故所求的集合为{L2}.★★★已知集合A={%|ax2—3x+2=0aER}1若/是空集,求a的取值范围;2若4中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;3若力中至多只有一个元素,求a的取值范围•【答案】la2若q=0则有4=[|1;若Q=|,则有4=仁1;3a=0或a|.oJoo【解析】1若/是空集,则方程a/—3%+2=0无解,此时七W0且4=9—8a0即a82若4中只有一个元素则方程a/—3%+2=0有且只有一个实根当a=0时,方程为一元一次方程,满足条件;Q当a0此时A=9—8a=0解得Q=-.8・•・a=0或a=-8若a=0则有4={};若a=1则有4=c};3若4中至多只有一个元素,则4为空集,或有且只有一个元素由12得满足条件的a的取值范围是=0或
2.O。